几何证明题的基本结构和方法Word格式.doc

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　　2．“执果索因”的方法也就是证明的思维方法中的“综合法”，“由因导果”的方法也就是证明的思维方法中的“分析法”。

“两头凑”的方法也就是证明的思维方法中的“分析综合法”。

　　3．“综合法”、“分析法”，“分析综合法”是证明的思维方法中的直接证法。

　　注：

今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法：

反证法和同一法。

这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们。

　八．思维方法的训练

　　例1．已知如图，AOC为一直线，OB为任一射线，OP平分∠AOB，OE平分∠BOC，

　　求证：

OE⊥OP。

　　分析：

1、由逆推法分析要证明OE⊥OP，由垂直定义只要证明∠EOP=90°

，而∠EOP由∠1、∠2所组成，只要证明∠1+∠2=90°

。

由于OE，OP分别是∠BOC和∠AOB的角平分线，∠1=∠BOC，∠2=∠AOB，又由于AOC为一直线，∠AOB+∠BOC=180°

，那么（∠AOB+∠BOC）=90°

，即∠1+∠2=90°

　　2．由顺推法分析：

①由AOC为直线推出∠AOB+∠BOC=180°

，②由OP，OE分别为∠AOB，∠BOC平分线推得

∠2=∠AOB，∠1=∠BOC，③由∠POE=∠1+∠2=（∠AOB+∠BOC）推得∠POE=90°

再推得OP⊥OE。

　　3．上述分析中①和②的两个推理是并列的，因而在证明中先写①或②没有什么关系，但③是①和②共同的结果，所以③必须在①和②的后面。

　　证明：

（1）

（2）

　　（3）∵∠POE=∠1+∠2（全量等于部分之和）

　　　　　　　　=（∠AOB+∠BOC）（等量代换）

　　　　　　　　=×

180°

（等量代换）

　　　　　　　　=90°

　　∴OP⊥OE（垂直定义）

　　整个证明过程由3部分推理所组成，书写证明过程要用顺推法由前向后写。

　　例2、已知如图，∠AOC，∠BOD为对顶角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求证：

OE，OF互为反向延长线。

（1）OE，OF互为反向延长线是指EOF为一条直线，即证明E、O、F三点共线。

证明这类问题首先要克服视觉给我们带来的干扰，如∠1和∠2并不能看成是一对对顶角，因为缺乏构成对顶角的必要条件。

OE与OF互为反向延长线，而这一点恰恰是本题证明的目标。

（2）证明E、O、F三点共线通常采用∠EOF=180°

，利用平角定义完成三点共线证明。

　　（3）为证明∠EOF=180°

，只要证明∠1+∠AOF=180°

，从已知∠AOC与∠BOD为对顶角，可推知A、O、B三点共线：

即∠AOF+∠2=180°

，只要证明∠1=∠2，题设中由∠AOC和∠BOD为对顶角又可知∠AOC=∠BOD，又由OE，OF分别为∠AOC和∠BOD平分线，正好创设了证明∠1=∠2的条件。

∵∠AOC，∠BOD为对顶角（已知）

　　∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）

　　∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD（已知）

　　∴∠1=∠AOC，∠2=∠BOD（角平分线定义）

　　∴∠1=∠2（等量之半相等）

　　∵∠AOC，∠BOD为对顶角（已知）

　　∴AB为直线（对顶角定义）

　　∴∠AOF+∠2=180°

（平角定义）

　　∴∠AOF+∠1=180°

　　∴∠EOF=180°

　　∴OE，OF互为反向延长线（平角定义）