完整版电磁场与电磁波答案第四版谢处方.docx
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完整版电磁场与电磁波答案第四版谢处方
一章习题解答
1.1给定三个矢量
A、B和C如下：
A
exey2ez3
B
ey4
ez
Cex5ez2
求：
（1）aA；
（2）A
B；（3）AgB；（4）
AB；（5）A在B上的分量；（6）A
C；
（7）Ag（B
C）和（A
B）gC；（8）（A
B）
C和A（B
C）。
解
（1）aA
A
ex
ey2ez3
1
2
3
A
12
22
ex
14
ey
ez
（3）2
14
14
（2）
（3）
AB（ex
ey2ez3）
（ey4ez）exey6ez4
53
AgB（ex
ey2ez3）g（
ey4ez）－11
（4）由cos
AB
AgB
14
11
11
，得ABcos1（
11）135.5o
A
B
17
238
238
（5）A在B上的分量
AB
A
cosAB
AgB
11
B
17
ex
ey
ez
（6）AC
12
3
ex4ey13ez10
5
0
2
ex
ey
ez
（7）由于B
C
0
4
1
ex8ey5
ez20
5
0
2
ex
ey
ez
AB
1
2
3
ex10ey1ez4
0
4
1
所以
Ag（BC）
（ex
ey2
ez3）g（ex8ey5ez20）
42
（AB）gC
（ex10ey1ez4）g（ex5ez2）
42
ex
ey
ez
（8）（AB）C
1014ex2ey40ez5
5
0
2
ex
ey
ez
A（BC）
12
3
ex55ey44ez11
8
5
20
-1-
1.2三角形的三个顶点为P1（0,1,
2）、P2（4,1,
3）和P3（6,2,5）。
（1）判断PP12P3是否为一直角三角形；
（2）求三角形的面积。
解
（1）三个顶点
P1（0,1,
2）、P2（4,1,3）和P3（6,2,5）
的位置矢量分别为
r1
ey
ez2，r2
ex4ey
ez3，r3
ex6ey2ez5
则
R12
r2
r1
ex4ez，
R23
r3
r2ex2ey
ez8，
R31
r1
r3
ex6ey
ez7
由此可见
R12gR23（ex4
ez）g（ex2ey
ez8）
0
故PP1
2P3为一直角三角形。
（2）三角形的面积
S
1R12
R23
1R12
R23
117
6917.13
2
2
2
1.3
求P（
3,1,4）点到P（2,2,3）点的距离矢量R及R的方向。
解
rPex3
ey
ez4，rP
ex2
ey2ez3，
则
RPP
rP
rP
ex5
ey3
ez
且RPP
与x、y、z轴的夹角分别为
xcos
ycos
zcos
1.4给定两矢量
B上的分量。
1
（exgRPP
RPP
1（eygRPP
RPP
1（ezgRPP
RPP
Aex2
）
cos1（
5）
32.31o
35
）
cos1（
3）
120.47o
35
）
cos1（
1）
99.73o
35
ey3ez4
和B
ex4ey5ez6，求它们之间的夹角和
A在
解
A与B之间的夹角为
AB
cos1（AgB
）
cos1（
31
）131o
AB
2977
A在B上的分量为
AB
Ag
B
31
3.532
B
77
1.5
给定两矢量Aex2ey3
ez4和B
ex6
ey4
ez，求A
B在Cexeyez
上的分量。
ex
ey
ez
解AB23
4
ex13ey22ez10
6
4
1
所以A
B在C上的分量为
（A
（A
B）gC
25
14.43
B）C
C
3
1.6
证明：
如果AgB
AgC和AB
AC，则B
C；
-2-
解
由A
B
A
C，则有A
（A
B）
A
（AC），即
（AgB）A
（AgA）B
（AgC）A
（AgA）C
由于AgB
AgC，于是得到
（AgA）B
（AgA）C
故
B
C
1.7
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。
设A为一已知矢量，
p
AgX而P
A
X，p和P已知，试求X。
解
由P
A
X，有
A
P
A
（A
X）
（AgX）A
（AgA）X
pA
（AgA）X
故得
X
pA
A
P
AgA
1.8
在圆柱坐标中，一点的位置由
（4,2
3）定出，求该点在：
（
1）直角坐标中的坐标；
（2）球坐标中的坐标。
3
解
（1）在直角坐标系中
x
4cos（2
3）
2、y
4sin（2
3）
23、z
3
故该点的直角坐标为
（2,2
3,3）。
（2）在球坐标系中
r
2
2
5
、
tan
1
（43）
o
、
23
120
o
4
3
53.1
故该点的球坐标为（5,53.1o,120o）
1.9
用球坐标表示的场
E
er
25，
r2
（1）求在直角坐标中点
（
3,4,
5）处的E和Ex；
（2）求在直角坐标中点
（
3,4,
5）处E与矢量B
ex2
ey2
ez
构成的夹角。
解
（1）在直角坐标中点
（3,4,
5）处，r2
（
3）2
42
（5）2
50，故
E
er
25
1
r2
2
Ex
exgE
Ecosrx
1
3
3
2
2
5
2
20
（2）在直角坐标中点
（
3,4,
5）处，r
ex3
ey4
ez5，所以
E
25
25r
ex3
ey4
ez5
r
2
r3
10
2
故E与B构成的夹角为
EB
cos1（
EgB）
cos1（
19（10
2））
153.6o
EgB
32
1.10
球坐标中两个点（r1,1,
1）和（r2,
2,2）定出两个位置矢量
R1和R2。
证明R1和R2
间夹角的余弦为
cos
cos
1cos2
sin
1sin
2cos（
1
2）
解
由
R1
exr1sin
1cos
1
eyr1sin
1sin
1
ezr1cos
1
R2
exr2sin
2cos
2
eyr2sin2sin
2
ezr2cos2
-3-
得到
R1gR2
cos
R2
R1
sin
1cos1sin
2cos
2
sin
1sin
1sin2sin
2
cos1cos2
sin
1sin
2（cos
1cos
2
1sin
1sin
2）
cos1cos2
sin
1sin
2cos（1
2）
cos
1cos
2
1.11
一球面S的半径为
5，球心在原点上，计算：
?
（er
3sin
）gdS的值。
S
（e3sin
）gdS
（e3sin
）gedS
2
2
2
解
d
3sin
5
sind
75
蜒r
r
r
S
S
0
0
1.12
在由r5、z
0和z
4围成的圆柱形区域，对矢量
A
err2
ez2z验证散度定
理。
解
在圆柱坐标系中
gA
1
（rr2）
（2z）
3r
2
r
r
z
4
2
5
所以
gAd
dz
d
（3r
2）rdr
1200
0
0
0
又
AgdS
（er2
e2z）g（edS
edS
edS）
蜒
r
z
r
r
z
z
S
S
42
52
52
5d
dz
2
4rdrd
1200
0
0
0
0
故有
gAd
1200
?
AgdS
S
1.13
求
（1）矢量A
e
x
x2
ex2y2
e24x2y2z3的散度；
（2）求
gA
对中心在原点的
y
z
一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。
解
（1）gA
（x2）
（x2y2）
（24x2y2z3）
2x2x2y
72x2y2z2
x
y
z
（2）gA对中心在原点的一个单位立方体的积分为
12
12
12
1
gAd
（2x2x2y72x2y2z2）dxdydz
12
12
12
24
（3）A对此立方体表面的积分
12
12
12
12
12
12
?
AgdS
（
（）dydz
）dydz
S
12
12
2
12
12
2
12
12
2x2
（1）2dxdz
12
12
2x2
（1）2dxdz
12
12
2
12
12
2
12
12
1
12
12
1
1
24x2y2（
）3dxdy
24x2y2（
）3dxdy
12
12
2
12
12
2
24
-4-
故有
gAd
1
?
AgdS
24
S
1.14
计算矢量r
对一个球心在原点、半径为
a的球表面的积分，并求
gr对球体积的积
分。
2
2
3
解
蜒
rgerdS
d
aasin
d
4
a
rgdS
S
S
0
0
又在球坐标系中，
gr
1
r
（r2r）
3，所以
r2
2
a
grd
3r2sin
drd
d
4
a3
0
00
1.15
求矢量A
ex
e
x2
ey2z沿xy平面上的一个边长为
2
的正方形回路的线积分，
x
y
z
此正方形的两边分别与
x轴和y轴相重合。
再求
A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托
克斯定理。
2
2
2
2
2
解
?
Agdl
xdx
xdx
2dy
0dy8
C
0
0
0
0
ex
ey
ez
又
A
x
y
z
ex2yz
ez2x
x
x2
y2z
22
所以
AgdS
（ex2yz
ez2x）gezdxdy8
S
00
故有
?
Agdl8
S
AgdS
C
1.16
求矢量A
exx
eyxy2沿圆周x2
y2
a2的线积分，再计算
A对此圆面积的积
分。
蜒Agdl
xdx
xy2dy
2
a2cossin
a4
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