完整版电磁场与电磁波答案第四版谢处方.docx

1、完整版电磁场与电磁波答案第四版谢处方一章习题解答1.1 给定三个矢量A、B和C如下：Aex ey 2 ez3Bey 4ezC ex 5 ez2求：（ 1） aA ；（ 2） AB ；（ 3） AgB ；（ 4）AB ；（ 5） A 在 B 上的分量；（ 6） AC ；（ 7） Ag(BC)和(AB )gC ；（ 8） ( AB )C和A (BC ) 。解 （ 1） aAAexey 2 ez 3123A1222ex14eyez( 3)21414（2）（3）A B (exey 2 ez3)( ey 4 ez ) ex ey6 ez453AgB (exey 2 ez3) g(ey 4 ez) 11（

2、 4）由 cosABAgB141111，得ABcos 1 (11 ) 135.5oAB17238238（5） A 在 B 上的分量ABAcos ABAgB11B17exeyez（6）A C1 23ex 4 ey13 ez10502exeyez（ 7）由于 BC041ex 8 ey 5ez 20502exeyezA B123ex 10 ey1 ez 4041所以Ag(B C )(exey 2ez 3)g (ex8 ey 5 ez 20)42( A B )gC( ex10 ey1 ez 4)g( ex 5 ez 2)42exeyez（8）(A B) C10 1 4 ex 2 ey 40 ez550

3、2exeyezA(BC)1 23ex55 ey 44 ez118520- 1 -1.2 三角形的三个顶点为 P1(0,1,2) 、 P2 (4,1,3) 和 P3 (6, 2,5) 。（1）判断 PP12 P3 是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解 （ 1）三个顶点P1 (0,1,2) 、 P2 (4,1, 3) 和 P3 (6, 2,5)的位置矢量分别为r1eyez 2 ， r2ex 4 eyez 3 ， r3ex 6 ey 2 ez5则R12r2r1ex 4 ez ，R23r3r2 ex 2 eyez8 ，R31r1r3ex 6 eyez 7由此可见R12 gR23 (ex 4ez

4、 )g(ex 2 eyez 8)0故 PP12 P3 为一直角三角形。（ 2）三角形的面积S1 R12R231 R12R231 1769 17.132221.3求 P (3,1,4) 点到 P(2, 2,3) 点的距离矢量 R 及 R 的方向。解rPex 3eyez 4 ， rPex 2ey 2 ez 3 ，则RP PrPrPex 5ey 3ez且 RPP与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为x cosy cosz cos1.4 给定两矢量B上的分量。1( ex gRP PRP P1( ey gRP PRP P1( ez gRP PRP PA ex 2)cos 1(5 )32.31o35)co

5、s 1 (3 )120.47 o35)cos 1(1 )99.73o35ey 3 ez 4和 Bex 4 ey5 ez 6 ，求它们之间的夹角和A 在解A 与 B 之间的夹角为ABcos 1 ( AgB)cos 1(31) 131oA B29 77A 在 B 上的分量为ABAgB313.532B771.5给定两矢量 A ex 2 ey 3ez4 和 Bex 6ey 4ez ，求 AB 在 C ex ey ez上的分量。exeyez解AB234ex13 ey 22 ez10641所以 AB 在 C 上的分量为( A( AB)gC2514.43B )CC31.6证明：如果 AgBAgC 和 A B

6、A C，则BC ；- 2 -解由 ABAC，则有A( AB )A(A C)，即( AgB) A( AgA)B( AgC ) A( AgA)C由于 AgBAgC ，于是得到( AgA)B( AgA)C故BC1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 A 为一已知矢量，pAgX 而 PAX ， p 和 P 已知，试求 X 。解由 PAX ，有APA( AX )( AgX ) A( AgA) XpA( AgA) X故得XpAAPAgA1.8在圆柱坐标中，一点的位置由(4, 2,3) 定出，求该点在： （1）直角坐标中的坐标；（ 2）球坐标中的坐标。3解 （ 1

7、）在直角坐标系中x4cos(23)2 、 y4sin(23)2 3 、 z3故该点的直角坐标为( 2,23,3) 。（ 2）在球坐标系中r225、tan1(4 3)o、2 3120o4353.1故该点的球坐标为 (5,53.1 o,120o)1.9用球坐标表示的场Eer25 ，r 2（ 1）求在直角坐标中点(3,4,5) 处的 E 和 Ex ；（ 2）求在直角坐标中点(3,4,5)处 E 与矢量 Bex 2ey 2ez构成的夹角。解 （ 1）在直角坐标中点( 3,4,5) 处， r 2(3)242( 5)250 ，故Eer251r 22Exex gEE cos rx133225220（ 2）在

8、直角坐标中点(3,4,5) 处， rex 3ey 4ez 5 ，所以E2525rex 3ey 4ez 5r2r 3102故 E 与 B 构成的夹角为EBcos 1(E gB )cos 1 (19 (102) )153.6oE gB3 21.10球坐标中两个点 (r1, 1 ,1) 和 ( r2 ,2 , 2 ) 定出两个位置矢量R1和 R2 。证明 R1 和 R2间夹角的余弦为coscos1 cos 2sin1 sin2 cos(12 )解由R1exr1 sin1 cos1eyr1 sin1 sin1ezr1 cos1R2ex r2 sin2 cos2ey r2 sin 2 sin2ez r2

9、 cos 2- 3 -得到R1gR2cosR2R1sin1 cos 1 sin2 cos2sin1 sin1 sin 2 sin2cos 1 cos 2sin1 sin2 (cos1 cos21 sin1 sin2 )cos 1 cos 2sin1 sin2 cos( 12 )cos1 cos21.11一球面 S 的半径为5 ，球心在原点上，计算：?(er3sin)gd S 的值。S(e 3sin)gd S(e 3sin)ge d S222解d3sin5sin d75蜒 rrrSS001.12在由 r 5 、 z0 和 z4 围成的圆柱形区域，对矢量Aer r 2ez 2z 验证散度定理。解在

10、圆柱坐标系中gA1(rr 2 )(2 z)3r2rrz425所以gA dd zd(3r2)r d r1200000又AgdS(e r 2e 2z)g(e d Se d Se d S )蜒rzrrzzSS4 2525 25dd z24r d r d12000000故有gA d1200?Agd SS1.13求（ 1）矢量 Aexx2e x2 y2e 24 x2 y2 z3 的散度；（ 2）求gA对中心在原点的yz一个单位立方体的积分； （ 3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。解 （ 1） gA(x2 )(x2 y2 )(24 x2 y2z3 )2x 2x2 y72x2 y2 z2xyz

11、（ 2） gA 对中心在原点的一个单位立方体的积分为1 21 21 21gA d(2 x 2x2 y 72 x2 y2 z2 )d x d y dz1 21 21 224（ 3） A 对此立方体表面的积分1 21 21 21 21 21 2?Agd S( ) d ydz) d y dzS1 21 221 21 221 21 22x2 ( 1) 2 d x dz1 21 22x2 ( 1 )2 d x dz1 21 221 21 221 21 211 21 21124x2 y2 ()3 d x dy24 x2 y 2 ()3 d xd y1 21 221 21 2224- 4 -故有gA d1?

12、Agd S24S1.14计算矢量 r对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求gr 对球体积的积分。223解蜒r ger d Sdaa sind4ar gd SSS00又在球坐标系中，gr1r(r 2r )3 ，所以r 22agr d3r 2 sind r dd4a300 01.15求矢量 Ae xex2e y2 z 沿 xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，xyz此正方形的两边分别与x 轴和 y 轴相重合。再求A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。22222解?Agd lxd xxd x2 d y0d y 8C0000exeyez又Axyzex 2 yzez 2xxx2y2 z2 2所以Agd S(ex 2 yzez 2x) gez d x d y 8S0 0故有?Agd l 8SAgd SC1.16求矢量 Aex xey xy 2 沿圆周 x2y2a2 的线积分， 再计算A 对此圆面积的积分。蜒Agd lx d xxy2 d y2a2 cos sina4