模糊集合fuzzyset与归属函数membershipfunction.docx

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模糊集合fuzzyset与归属函数membershipfunction

高等資料庫報告

模糊資料庫

（FuzzyDatabase）

指導老師/陳彥良

學　　生/林芳助87423017

　　　　/張兆源87423021

目錄：

壹、前言

在傳統的資料庫中所儲存的資料必須是明確的，當我們以查詢語言從資料庫抓取所要的資料集合時，這個查詢式也必須是一個明確的描述，如此資料庫系統才有辦法根據我們所要求的條件，明確的把資料找出。

但在真實的情況下，資料可能會遺失，資料也可能並不遺失但卻是模糊的，此外我們所希望使用的查詢式子也可能並不是非常明確，而是充滿口語或形容詞的（例如我們想要找出班上年紀較大或成績較好的同學）。

因此在本文中我們將把模糊理論應用在資料庫上，來改善傳統資料庫中無法處理的這類問題

大抵上，如何在資料庫內加入處理模糊的能力的研究主要可分為三種做法。

第一種做法並不真的改變資料庫結構，也就是說它仍然假設資料模式為標準的關聯式結構，所以嚴格說來它並沒有儲存模糊資料的能力。

但它在資料庫的查詢語言之上另外附加一層的前處理器，也就因為這前處理器的緣故，使用者可用模糊的述詞或形容詞來表達它們所要查詢的條件，而這些模糊查詢就由前處理器加以轉換成標準的資料庫SQL查詢式子，然後再由DBMS來加以處理與執行。

第二種做法和第三種做法則涉及資料庫結構和模式的改變，也就是說我們讓資料庫可以真的存放模糊資料，而不只是在上面附加一層查詢前處理器而已。

第二種做法是假設資料庫的每一屬性不再只是單值而已，而是一個可能性分布（PossibilityDistribution），也即他用一個類似機率分布的分布來代表以往資料庫中的一個單值。

第三種做法則是在資料庫的關聯中，它假設有一些欄位是模糊屬性，而另外的欄位則是一般正常的屬性。

而對於每一個模糊屬性的定義域，我們都必須要有一個類似矩陣（SimilarityRelation）或近似矩陣（ProximityRelation）來定義不同模糊資料間的類似程度。

當然除了這三種做法外，還有一些其他的做法以處理模糊資料，但因為這些做法並不是非常成功，因此在本報告中我們將僅對上述的三種方法做一介紹。

貳、模糊學數的基本概念

一、模糊集合（fuzzyset）與歸屬函數（membershipfunction）

傳統的普通集合其推論是基於二值邏輯，即對於每個元素，若屬於這個集合，其特徵函數為1；若不屬於這個集合，則其特徵函數為0，我們可以表示成：

1965年Zadeh教授提出「模糊集合論」用來解決在現實生活中必須允許「是與否」之間擁有中界狀態的模糊現象，他仿照特徵函數表示普通集合的方法，建立歸屬函數來表示模糊集合。

即歸屬函數表示出論域（universeofdiscourse）U中至[0,1]上的一個映射u

uA:

U→[0,1]

對於任何x屬於U，都有一個uA（x），其值介於0與1之間，來代表x屬於模糊集合A的歸屬度。

例：

U為代表年齡的論域，young與old為U中的兩個模糊子集，則歸

屬函數uyoung（x）與uold（x）表示如下

假如uyoung（30）=0.5，而uold（80）=0.97，這意味著30歲為年輕的歸屬度為0.5，80歲為年老的歸屬度為0.97。

二、模糊集合的表示方式

模糊集合具體表示方式有很多種，以下為兩種常用的表示法：

1、Zadeh表示法

其中並非分數，而是表示論域中的元素xi及其歸屬度之間的對應關係，"+"也並不表示"求和"，而是表示模糊集合在論域上的整體。

例如：

假設U={1,2,…..6}，為「靠近於4」的數，其模糊集合表示式為

2、

序偶表示法

前例中的模糊集合A，可以表示為

或

三、可能性理論（possibilitytheory）

Zadeh教授的可能性理論，就是將歸屬函數值解釋為某一個元素屬於這個模糊集合的可能程度。

不過對於歸屬函數值還有其他不同的解釋；例如：

解釋為相對於模糊集合所表示事實的確信程度、真實的程度。

假設A為論域U中的一個模糊集合，其歸屬函數為uA（x）。

若x為來自U的變數，則模糊集合A對x而言是扮演著模糊限制（fuzzyrestriction）的角色R（x）；也就是說模糊集合A限制了x可以被給予的值，此時陳述”xisA”，可以被轉換為R（x）=A，對x來說存在著一個可能性分配x，使x能符合模糊集合A的概念。

可能性分配函數x（u）能以可能性分配x描述；x被定義為與模糊集合A的歸屬函數UA（u）是相等的，也就是x=UA

例如：

若年齡（x）28歲，其屬於模糊集合”年輕的”的歸屬度是0.7，首先我們可以將0.7解釋為28歲符合”年輕的”這個概念的程度，然後我們陳述”約翰是年輕的”，將0.7的意義由28歲符合”年輕的”這個概念的程度為0.7，轉換為在陳述”約翰是年輕”的前題下，約翰是28歲的可能性程度為0.7，簡而言之，x的某一個值對年輕的符合度可以轉換為當巳知”約翰是年輕的”時，x為那一個值的可能性。

四、模糊集合的運算

下以為運用在模糊集合的七種運算法：

1、等集

2、補集

3、空集

4、全集

5、子集

6、聯集

7、交集

五、λ水平截集（λCut）

λ水平截集是在模糊集合與普通集合轉換中的一個重要的概念。

假設給定論域U上的模糊集合A，對任意[0,1]，稱為普通集合。

為A的水平截集。

也就是說藉著取一個模糊集合的水平截集Aλ，將歸屬函數依照下式轉換為特徵函數。

如下圖所示：

例：

若某班有八名學生，在某次考試中，將他們的成績除以100，而得到成績是否優異的歸屬度；結果如下：

u1=100分，歸屬度U（u1）=1

u2=92分，歸屬度U（u2）=0.92

u3=35分，歸屬度U（u3）=0.35

u4=68分，歸屬度U（u4）=0.68

u5=82分，歸屬度U（u5）=0.82

u6=74分，歸屬度U（u6）=0.74

u7=80分，歸屬度U（u7）=0.80

u8=55分，歸屬度U（u8）=0.55

故

藉著不同的λ水平截集，可以確定出不同的普通集合。

普通集合是在確定了門檻值λ（0≦λ≦1）後，對原來的模糊集合A中歸屬度大於等於λ的元素加以挑出所成的集合

假設成績優良的門檻值分別是λ=0.6，0.8，0.9而得到答案為

A0.6={u1,u2,u4,u5,u6,u7}

A0.8={u1,u2,u5,u7}

A0.9={u1,u2}

參、外掛式模糊查詢語言

模糊查詢語言的設計理念，在於從使用者親和性的觀點，將模糊理論應用於資料庫的查詢語言上，讓使用者能以更口語化的語詞來查詢資料庫。

以下我們將介紹一種將模糊語詞應用在傳統的結構化查詢語言上，可以直接在現有的非模糊資料庫系統下（不須改變現有的資料庫結構）完成模糊查詢的方法，此種方法改進了傳統結構化查詢語言僅可依標準語法進行查詢的缺點。

一、模糊查詢語言的語法

模糊查詢的語法大致可分為下列五種形式

1、簡單的模糊語詞形式（simple-type）

其格式如下：

XisA

A是一個簡單型的模糊語詞。

例如：

溫度是高的（temperatureishigh），溫度是低的（temperatureislow），約翰是年輕的（Johnisyoung），約翰是年老的（Johnisold），┌　年老的（old）┘都是簡單型的模糊語詞，而其他如┌　漂亮的┘，┌　醜的┘，┌　聰明的┘，┌　笨的┘，　┌　小的┘，┌　中的┘，┌　大的┘　．．等等也都是簡單型的模糊語詞。

2、修飾型的模糊語詞形式（modification-type）

又可分為應用於簡單型式的修飾型模糊語詞與應用於比較型式的修飾型模糊語詞二種：

a、應用於簡單型式的修飾型模糊語詞

其格式如下

XisMA

比如說「高」是一模糊集合，我們可利用修飾詞來修飾此一模糊集合，而得到新的模糊集合如「非常高」、「不高」、「一點高」、「非常不高」、「非常非常高」等等。

b、應用於比較型式的修飾型模糊語詞

其格式如下：

XisMOPB

其中，M是修飾詞，例如slightly、much、approximately。

OP是一個比較運算子，例如>、<、=。

B則代表我們所要比較的對象。

這類的例子有「溫度略高於10oC」（emperatureisslightlyhigherthan10oC）、「溫度遠低於10oC」（temperatureismuchlowerthan10oC）、「溫度大概是10oC」（temperatureisapproximatelyequalto10oC）。

3、組合型的模糊語詞形式（composition-type）

其格式如下

XisA1LOPA2

A1，A2是模糊詞，LOP是邏輯運算子為：

而且（AND），或者（OR）。

例如：

溫度是中的或高的（Temperatureismediumorhigh），瑪麗是美麗的而且是聰明的（Maryisbeautifulandintelligent），句子中的或者（OR），而且（AND），都是邏輯運算子，其構成了組合型的模糊語詞形式。

4、量化型的模糊語司形式（quantification-type）

其格式如下：

XissuchthatQy（P（ｘ，ｙ））

其中Ｑ是量化型的模糊語詞，Ｐ是模糊的或非模糊的式子，ｘ與ｙ是式子中的變數。

例如：

許多人喜歡旅行（manypeopleliketotravel），大部分女人喜歡逛街（Mostwomenliketogoshopping），約翰有多個孩子（Johnhasseveralchildren），句中「許多的」（many），「大部分的」（most），「多個的」（several）等都是量化型的語助詞。

二、模糊語詞的歸屬函數

1、簡單的模糊語詞形式（simple-type）

其格式如下：

XisA

A為一個模糊陳述，以「溫度是高的」為例，其歸屬函數uhigh（x）可以定義為

…….

（1）

x為溫度變數，它的範圍為-40。

C≦x≦50。

C；另一個為「距離是近的」的例子，其歸屬函數uclose（x）可以定義為

…….

（2）

在這種模糊查詢的方法中，只須要將簡單型的模糊語詞（例：

「High」、「Close」、「Cold」….）的歸屬函數定義並儲存在一個函數庫中，而對於其他形式（修飾型、組合型、量化型）的歸屬函數則利用這些之前已定義在函數庫中的歸屬函數去做定義（即它們並不需將歸屬函數定義並儲存在函數庫中）。

2、修飾型的模糊語詞形式（modification-type）

a、應用於簡單型式的修飾型模糊語詞

其格式如下

XisMA

M是一個修飾詞，而A為一個模糊陳述，MA這個模糊語詞為模糊集合[MA]所表示，例如：

「溫度非常高」（temperatureisveryhigh）。

其歸屬函數u[MA]（x）可以由u[A]（x）和修飾詞M來定義

以下為一些例子：

（a）.如果M為not，例：

溫度不是高的

u[notA]（x）=1-u[A]（x）…….（3）

（b）.如果M為very，例：

溫度是非常高的

u[veryA]（x）=（u[A]（x））2…….（4）

（c）.如果M為moreorless，例：

距離比近距離較遠或較近的

u[moreorlessA]（x）=（u[A]（x））1/3…….（5）

b、應用於比較型式的修飾型模糊語詞

其格式如下：

XisMOPB

M是修飾詞，OP為一個比較運算，而B是一個範圍變數或常數，例如：

「溫度略高於10。

C」（temperatureisslightlyhigherthan10。

C）。

其歸屬函數u[MOPB]（x）可以由u[OPB]（x）和修飾詞M來定義

u[MOPB]（x）=u[OPB]（x）⊙σ[MOPB]（x）…….（6）

σ[MOPB]是一個修飾函數而來修飾u[OPB]去產生u[MOPB]，而⊙是為一個算術運算。

在大部份的例子裡，[OPB]是一個布林數值的集合。

例如：

「溫度大於10。

C」的歸屬函數，可定義為[>10。

C]，且表示如下：

…….（7）

「溫度等於10。

C」的歸屬函數，可以表示為

…….（8）

以下為一些u[MOPB]的例子：

（a）.如果M為「slightly」，OP為「>」，B為範圍常數「x0」，語句為

…….（9）

…….（10）

「xisslightlygreaterthanx0」，

00（圖1），當x從x0增加到x0+b，u[slightly>x0]從1降到a。

（b）.如果M為「much」，OP為「>」，B為範圍常數「x0」，語句為「xismuchgreaterthanx0」，

…….（11）

…….（12）

00（圖2），當x從x0增加到x0+b，u[much>x0]從0增加到a。

（c）.如果M為「approximately」，OP為「=」，B為範圍常數「x0」，語句為「xisapproximatelyequaltox0」，

…….（13）

…….（14）

00（圖3），當x從x0移到x0+b或x0-b，u[approximately=x0]從1降至a。

3、組合型的模糊語詞形式（composition-type）

這個型態的語法包括了對兩個或多個模糊語詞進行交集和聯集

一個組合型的模糊語詞其格式如下：

XisA1LOPA2

A1，A2是模糊詞，LOP是邏輯運算子為：

而且（AND），或者（OR）。

例如：

溫度是中的或高的（Temperatureismediumorhigh）。

其歸屬函數u[A1LOPA2]可以由u[A1]、u[A2]和LOP來定義

…….（15）

…….（16）

4、量化型的模糊語司形式（quantification-type）

這個型態的語句包括了量化詞，像是「至少存在一些」、「存在許多」。

這個型態可以用來查詢像是「尋找至少鄰近於一些露營站的城市」，「尋找大部份的房子是在1990年前建造的地區」，這個型態的格式如下：

XissuchthatQy（P（ｘ，ｙ））

其中Ｑ是量化型的模糊語詞，Ｐ是模糊的或非模糊的式子，ｘ與ｙ是式子中的變數。

量化詞Q可以表示成一個模糊集合[Q]。

例如，[atleastseveral]可以表示成：

[atleastseveral]={（3,0.4）,（4,0.6）,（5,0.8）,（6.1.0）,（8,1.0）,…..}

而歸屬函數u[suchthatQy（p）]可以從u[Q]和u[P]來定義

u[suchthatQy（p）]（x）=u[Q]（count（{y|u[P]（x,y）≧θ}））╳θ…….（17）

count函數傳回{y|u[P]（x,y）≧θ}集合中y的數目（給一個x值使得u[P]（x,y）不低於θ）

範例：

尋找至少有鄰近幾個露營站的城市（Findallthecitieswhichareclosetoatleastseveralcampingsites）

假設門檻值θ為0.75，我們從上式得到u[close]（25）=0.75，因此距小於或等於25km對於考量「距離是近的」具有高可信度。

接下來，我們對每一個城市去尋找與它距離小於或等於25km的露營站，總計這些露營站的數量。

一個城市在[thecitywhichiscloseatleastseveralcampingsites]的歸屬度等於之前尋找到的露營站的數量在[atleastseveral]模糊集合的歸屬度乘以θ。

例如：

在城市c1尋找到的露營站的數量（符合距離是近的）為4個，所以c1的歸屬度為

u[atleastseveral]（4）╳θ=0.6╳0.75=0.45

若城市c2尋找到的露營站的數量為5個，則c2的歸屬度為

u[atleastseveral]（5）╳θ=0.8╳0.75=0.60

三、模糊語詞的解譯

利用模糊查詢來檢索一個非模糊的資料庫，我們必須將模糊格式轉換成非模糊格式，這個轉換的作業就稱為解譯（defuzzification）。

一般在對模糊格式「xisF」進行解譯，必須包含下列三個步驟：

（a）決定歸屬函數u[F]，（b）設定門檻值θ，（c）決定符合u[F]（x）不底於θ的x範圍值。

之後便可利用這個範圍去建立一個非模糊格式。

1、簡單的模糊語詞形式（simple-type）

模糊格式「xisC」可以利用u[C]的反函數來解譯，在大部份的情況下u[C]-1（θ）會傳回1個或2個值，如果傳回單一1個值，則轉換公式為：

xisC→x≦u[C]-1（θ）…….（18）

或xisC→x≧u[C]-1（θ）…….（19）

範例：

解譯一個語句「溫度是高的」（temperatureishigh）

設定門檻值θ為0.75，利用上述的歸屬函數可得u[high]-1（0.75）=33.75，也就是說溫度高於或等於33.75。

C可代表「溫度高」，因此我們可以轉換格式為：

temperature≧33.75

如果u[C]-1（θ）傳回2個值，則轉換公式為：

…….（20）

或

…….（21）

2、修飾型的模糊語詞形式（modification-type）

模糊格式為「xisMA」或「xisMOPB」可以利用和「簡單型」相同的方法來進行解譯，只是將[MA]或[MOPB]看成是是「簡單型」的[C]來處理即可。

3、組合型的模糊語詞形式（composition-type）

我們可以將「組合型」的解譯方式分成兩個步驟：

（a）轉換組合型態的格式成為兩個非組合型態的格式，

xisA1orA2→（xisA1）or（xisA2）…….（22）

xisA1andA2→（xisA1）and（xisA2）…….（23）

（b）解譯這兩個格式。

4、量化型的模糊語司形式（quantification-type）

「xissuchthatQy（P（x,y））」的模糊格式等於Qy（xisP（x,y））…….（24）

我們可以利用兩個步驟來解譯上述的式子，（a）選定一個門檻值θ1並利用「簡單型、修飾型或組合型」使用的解譯方法對「xisP（x,y）」進行解譯，（b）選定另一個門檻值θ2並計算u[Q]-1（θ2）。

Qy（xisP（x,y））→count（{y|P（x,y）≧θ1}）♁u[Q]-1（θ2）…….（25）

在這裡，Count為items傳回的數量，♁為一個比較的運算。

四、處理多重背景的查詢

通常，u[c]的定義和應用的環境及背景有關。

例如：

u[High]應用在北極和非洲就可能有不同的定義，且u[close]若考慮到運輸的工具可能也會有不同的定義。

在處理多重背景查詢上，多重模糊集合可以被定義在單一的陳述，每一個模糊集合處理一個可能的背景，例如：

模糊集合[closewalking]和[closedriving]在上述的查詢裡被用來陳述「close」。

利用指定的背景和一個預設的背景可以用來處理目前的查詢作業。

對於一個指定背景的語句，尋找符合的模糊集合來做格式的轉換。

如果沒有背景被指定，則就將預設的模糊集合拿來使用。

許多實際的應用可能須要大量的模糊集合和可能的背景去限制。

對於每一個背景的集合定義一個歸屬函數將導致大量的函數。

這可能造成系統在發展和維護上的一個困難。

五、作法與範例

要完成這一章所使用的模糊查詢方法必須包含了三個主要元件：

資料字典，函數庫和查詢處理器

（a）資料字典：

資料字典儲存有關資料庫檢索的meta資料，這些資料包括了資料庫中關係的定義，關係屬性的型態和限制等等。

資料字典使用在檢查資料是否合法來確定所有的關係和屬性在轉換查詢時是合法的。

（b）函數庫：

包含了模糊集合的歸屬函數和修飾函數。

每一個模糊集合，函數庫儲存了它的歸屬函數和反歸屬函數。

（c）查詢處理器：

包含了三個處理器（剖析器，有效性檢查器和翻譯機），對於每一個SQL查詢的輸入，剖析器將它轉換成一個內部的表示並在須要時處理多重背景的作業，有效性檢查器用來檢查在進行查詢時是否所有的關係和屬性和資料字典上的描述是否一致並且檢查模糊語句、修飾詞、量化詞是否在函數庫中擁有符合的函數，翻譯機用來將所有的模糊格式解譯成為標準的SQL查詢。

底下為一個實作的範例

資料庫中有下列三個關聯，關聯的scheme為：

CITY（name,temperature）

DISTANCE_TO_CAMPING_SITE（city_name,camp_name,diatance）

DISTANCE_TO_HISTORIC_SPOT（city_name,hist_name,distance）

第一個關聯紀錄不同城市的平均溫度，第二個關聯紀錄不同城市到露營地的距離，第三個關聯紀錄不同城市到古蹟的距離。

此外，對於下列的模糊集合（FuzzySet），它們的歸屬度函數（MembershipFunction）的定義如下：

…….（26）

…….（27）

…….（28）

…….（29）

…….（30）

以下的討論中，門檻值皆以θ=0.75來表示高可信度。

Query1：

Findallthecitieswherethetemperaturesarehigh

Selectname

FromCITY

Wheretemperatureishigh

這是一個「簡單型」的查詢語句，利用u[high]-1（0.75）可得單一值33.75我們可以將查詢轉換成：

Selectname

FromCITY

Wheretemperature33.75

Query2：

Findallthecitieswherethetemperaturesaremedium

Selectname

FromCITY

Wheretemperatureismedium

同樣是一個「簡單型」的查詢語句，從方程式（27）中，利用u[medium]-1（0.75）可得兩個值17.5和22.5我們可以再利用方程式（20）將查詢轉換成：

Selectname

FromCITY

Wheretemperature22.5andTemperature17.5

Query3：

Findallthecitieswherethetemperaturesareveryhigh

Selectname

FromCITY

Wheretemperatureisveryhigh

利用方程式（4）與（26）中，我們可得

u[veryhigh]（36.65）=（u[high]（36.65））2=（0.886）2=0.75

這一查詢可被替換為：

Selectname