第八章二元一次方程组教案人教版七年级下.docx

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第八章二元一次方程组教案人教版七年级下

第八章二元一次方程组

二元一次方程组

一、知识概要

　1.二元一次方程：

像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.

　2.二元一次方程的解：

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

　3.二元一次方程组：

把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为

像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

　4.二元一次方程组的解：

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

　5.代入消元法：

由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

　6.加减消元法：

两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

二、重点难点

　代入消元法和加减消元法是本周学习的重点，也是本周学习的难点.

二元一次方程组的实际应用

　　一、知识概要

　列方程组解应用题的常见类型主要有：

　１.行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：

路程＝速度×时间；

　２.工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.

　基本等量关系为：

工作量＝工作效率×工作时间；

　3.和差倍分问题.基本等量关系为：

较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×1倍量；

　4.航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：

　顺流（风）：

航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速

　逆流（风）：

航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速

　5.几何问题、年龄问题和商品销售问题等.

　　三、重点难点

　建立数学模型（二元一次方程组）是本周的重点，也是本周的难点.

第二节、教材解读

1．二元一次方程：

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．从定义中可以看出：

二元一次方程具备以下四个特征：

（1）是方程；

（2）有且只有两个未知数；

　（3）方程是整式方程，即各项都是整式；

　（4）各项的最高次数为1.

　例如：

像

+y＝3中，

不是整式，所以

+y＝3就不是二元一次方程；像x+1=6，x+y-3z=8，不是含有两个未知数，也就不是二元一次方程；像xy+6=1中，虽然含有两个未知数x、y且次数都是1，但未知项xy的次数为　2，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必须同时具备以上四点．

　2．二元一次方程组

　含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两个特点：

一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数，如

一次方程组．

　3．二元一次方程的一个解

　符合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．

　一般地二元一次方程的解有无数个，例如x+y=2中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解．

　4．二元一次方程组的解

　二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．

　定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时满足每一个方程，所以，二元一次方程组一般情况下只有惟一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解．

　　　【例4】某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的

，问晚会上男、女生各有几人？

　错解:

设晚会上男生有x人，女生有y人.

　根据题意，得

　把①代入②，得x=

（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.

　所以

答:

晚会上男生3人，女生5人.

　【分析】本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.

　正解:

设晚会上男生有x人，女生有y人.

　根据题意，得

　把③代入④,得

　x=

［2（x-1）－1－1］，

　解得x=12.

　把x=12代入④，得y=21.

　所以

　答：

晚会上男生12人，女生21人.

第四节、思维点拨

【例1】小红到邮局寄挂号信，需要邮资３元８角.小红有票额为６角和８角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？

【思考与解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系.　寄信需邮资３元８角，由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元.再接着往下找数量关系，所需邮票的总票额等于所需６角邮票的总票额加上所需８角邮票的总票额.所需６角邮票的总票额等于单位票额６角与所需６角邮票数目的乘积.同样的，所需８角邮票的总票额等于单位票额８角与所需８角邮票数目的乘积.这就是题中蕴含的所有数量关系.

　第二步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式.　由图可知最主要的数量关系是：

　所需邮资=所需邮票的总票额.

　第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系中牵涉到哪些已知量和未知量.　已知量是所需邮资３.8元，两种邮票的单位票额０.6元和0.8元，未知量是两种邮票的数目.

　第四步是设元（即设未知量），并用数学符号语言将数量关系转化为方程.设0.6元的邮票需x张，0.8元的邮票需y张，用字母和运算符号将其转化为方程：

　0.6x+0.8y=3.8.

　第五步是解方程，求得未知量.由于两种邮票的数目都必须是自然数，此二元一次方程可以用列表尝试的方法求解.方程的解是

　第六步是检验结果是否正确合理.方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均成立，所以结果是正确合理的.

　第七步是答，需要1张6角的邮票和4张8角的的邮票，或需要5张6角的邮票和1张8角的的邮票.

【例2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片１２０张.商店里有两种型号的胶卷：

　Ａ型每卷３６张底片，Ｂ型每卷１２张底片.小聪一共买了４卷胶卷，刚好有１２０张底片.求两种胶卷的数量.

【思考与解】第一步：

　找数量关系.Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数.Ａ型胶卷的底片总数=每卷Ａ型胶卷所含底片数×Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷的底片总数＝每卷Ｂ型胶卷所含底片数×Ｂ型胶卷数.

　第二步：

　找出最主要的数量关系，构建等式.Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数.

　第三步：

　找出未知量和已知量.已知量是：

　胶卷总数，度片总数，每卷Ａ型胶卷所含底片数，每卷Ｂ型胶卷所含底片数；未知量是：

　Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷数.

　第四步：

　设元，列方程组.设Ａ型胶卷数为x，Ｂ型胶卷数为y，根据题中数量关系可列出方程组：

　第五步：

答：

Ａ型胶卷数为3，Ｂ型胶卷数为1.

【小结】我们在解这类题时，一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步，如有必要可以加上验证这一步.其他步骤可以省略.

【例8】甲、乙两厂，上月原计划共生产机床90台，结果甲厂完成了计划的112％，乙厂完成了计划的110％，两厂共生产机床100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？

　【思考与分析】我们可以采用两种方法设未知数，即直接设法和间接设法.直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数，本题中就是设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台；而间接设法就是问什么并不设什么，而是采用先设出一个中间未知数，求出这个中间未知数，再利用它同题中要求未知数的联系，解出所要　求的未知数，题中我们可设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.

　解法一：

直接设法.

　设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台，则共超额了100－90＝10（台），而甲厂计划生产的台数是

台，乙厂计划生产的台数是

台.

　根据题意，得

　答：

上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.

　解法二：

间接设法.

　设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.

　根据题意，得

　所以x×（112％－1）＝50×12％＝6，

　y×（110％-1）＝40×10％＝4.

　答：

上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.

【例9】某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.

　【思考与分析】我们从行程问题的3个基本量去寻找，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，有题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半的人，车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组.如图所示是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系.

　解：

设先坐车的一半人下车点距起点x千米，这个下车点与后坐车的一半人的上车点相距y千米，根据题意得

　化简得

　从起点到终点所用的时间为

　所以出发时间为：

17－10＝7.即早晨7点出发.

　答：

要使学生下午5点到达，必须早晨7点出发.

　【例10】小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？

（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）

　【思考与分析】设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：

　解：

设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则

 　答：

存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.

　【反思】我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.

第五节、竞赛数学

【例1】　已知方程组

的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.

【思考与分析】　本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.

　（１）　由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.

　（２）　把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.

　（３）　将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.

　把

代入①，得

，解得　k=-4.

　解法二：

　①×3－②×２，得　17y=k-22，

　解法三：

　①+②，得　5x-y=2k+11.

　又由5x-y=3，得　2k+11=3，解得　k=-4.

【小结】　解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.

【例2】　某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品.若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？

哪种付款方式付出的张数最少？

　【思考与分析】　本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式.然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.

最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.

　解：

　设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数.依题意可得方程：

　2x+5y=33.

　因为5y个位上的数只可能是０或５，

　所以2x个位上数应为３或８.

　又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：

　由

得x+y=12；由

得x+y=15.所以第一种付款方式付出的张数最少.

　答：

　付款方式有３种，分别是：

　付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱.　其中第一种付款方式付出的张数最少.

　【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：

当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：

建造的这4道门是否符合安全规定？

请说明理由.

　【思考与解】

（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.

　　根据题意，得

　所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.

（2）这栋楼最多有学生4×8×45=1440（人）.拥挤时5分钟4道门能通过

　5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.

　因为1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定.

　答:

平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定.

【例5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：

　张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？

　【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.

　解：

设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得0

　①当0

　②当040时，由题意，得

（与0

　③当20

综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.

　答：

张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.

　【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.

【例6】用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？

　【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2０００，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数.而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：

　每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的正方形纸板数×横式纸盒个数=正方形纸板的总数

　每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的长方形纸板数×横式纸盒个数=长方形纸板的总数

　通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用１张正方形纸板和４张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用２张正方形纸板和３张长方形纸板.

　解：

由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.

　设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个.根据题意，得

　①×4-②，得５y=2000，

　解得y=400.

　把y=400代入①，得x+800=1000，

　解得x=200.

　所以方程组的解为

　因为200和400均为自然数，所以这个解符合题意.

　答：

竖式纸盒做２００个，横式纸盒做４００个，恰好将库存的纸板用完.

第六节、本章训练

基础训练题

一、填空题（每题7分，共35分）

   1.一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是         .

   2.已知甲、乙两人从相距３６km的两地同时相向而行，1

h相遇.如果甲比乙先走

h，那么在乙出发后

h与甲相遇.设甲、乙两人速度分别为xkm/h、ykm/h，则x＝      ，y＝       .

   3.甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数是                   .

   4.一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，全队一天就超额30件；若平均每人一天做4件，全队一天就比定额少完成20件.若设这队工人有x人，全队每天的数额为y件，则依题意可得方程组                  .

   5.某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：

答对1题加4分；答错1题扣1分；不答记0分.已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了         .

 二、选择题（每题7分，共35分）

   1.一个两位数的十位数字比个位数字小2，且能被3整除，若将十位数字与个位数字交换又能被5整除，这个两位数是（     ）.

   A.53     B.57     C.35     D.75

   2.甲、乙两车相距150km，两车同时出发，同向而行，甲车4h可追上乙车；相向而行，1.5h后两车相遇.设甲、乙两车的平均速度分别为xkm/h、ykm/h.以下方程组正确的是（     ）.

   3.甲、乙二人从同一地点出发，同向而行，甲骑车乙步行.若乙先行12km，那么甲1小时追上乙；如果乙先走1小时，甲只用

小时就追上乙，则乙的速度是（     ）km/h.

   A.6       B.12         C.18     D.36

   4.一艘船在一条河上的顺流速度是逆流速度的2倍，则船在静水中的速度与水流的速度之比为（     ）.

   A.4：

3    B.3：

2       C.2：

1     D.3：

1

   5.某校初中毕业生只能报考第一高中和第二高中中的一所.已知报考第一高中的人数是报考第二高中的2倍，第一高中的录取率为50％，第二高中的录取率为60％，结果升入第一高中的人数比升入第二高中的人数多64人，则升入第一高中与第二高中的分别有（     ）.

   A.320人，160人    B.100人，36人

   C.160人，96人    D.120人，56人

 三、列方程组解应用题（每题15分，共30分）

   1.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？

   2.师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”.问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？

提高训练题

1.甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度.

2.2.小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组

中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知小丽的结果是

你能由此求出原来的方程组吗？

强化训练题

1.解关于x，y的方程组

，并求当解满足方程4x－3y＝21时的k值

2.有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积.

3.甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，你能求出原来的两个加数吗？

4.某校2006年初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2007年秋季初一年级招生人数增加20％，高一年级招生人数增加25％，这样2007年秋季初一年级、高一年级招生总数比2006年将增加21％，求2007年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少？

答案

综合训练题

    1.一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米.则轮船在静水中的速度为 ______，水流速度为______.

   2.一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件.则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为______件.

   3.已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时相向而行，1

小时相遇.再同向而行如果甲比乙先走

小时，那么在乙出发后

小时乙追上甲.设甲、乙两人速度分别为x千米/时、y千米/时，则x＝______，y＝______.

   4.甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果乙让甲先跑2秒钟，那么乙跑6秒钟落后于甲28米，甲每秒钟跑______，乙每秒钟跑______.

   5.小强拿了十元钱去商场购买笔和圆规.售货员告诉他：

这10元钱可以买一个圆规和三支笔或买两个圆规和一支笔，现在小强只想买一个圆规和一支笔，那么售货员应该找给他______元.

 三、耐心做一做（每题10分，共30分）

   1.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.

   2.一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元.若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？

   3.《参考消息》报道，巴西医生马廷恩经过10年研究得出结论：

卷入腐败行列的人容易得癌症，心肌梗塞，脑溢血，心脏病等病，如果将