春人教版七年级下册 第八章 二元一次方程组.docx

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春人教版七年级下册第八章二元一次方程组

第八章　二元一次方程组

8．1　二元一次方程组

1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解．

2．学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受学习数学的乐趣．

重点

理解二元一次方程组的解的意义．

难点

求二元一次方程的正整数解．

一、创设情境，引入新课

古老的“鸡兔同笼”问题：

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？

”

解：

设鸡有x只，则兔有（35－x）只，则可列方程：

2x＋4（35－x）＝94，

解得：

x＝23，

则鸡有23只，兔有12只．

二、尝试活动，探索新知

1．讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念．

教师提问：

上面的问题可以用一元一次方程来解，那么还有其他方法吗？

设有x只鸡，y只兔，依题意得：

x＋y＝35　　　　①

2x＋4y＝94　　　②

针对学生列出的这两个方程，教师提出如下问题：

（1）你能给这两个方程起个名字吗？

（2）为什么叫二元一次方程呢？

（3）什么样的方程叫二元一次方程呢？

教师结合学生的回答，板书定义1：

含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程．

同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移和类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念．

教师追问：

在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程．把①、②两个二元一次方程结合在一起，用大括号来连接．我们也给它起个名字，叫什么好呢？

学生思考，教师板书定义2：

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

2．讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念．

探究活动：

满足x＋y＝35，且符合问题的实际意义的值有哪些？

请填入表中．

x

…

y

…

　　教师启发：

（1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？

（2）你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？

（3）它与一元一次方程的解有什么区别？

教师板书定义3：

使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，记为

二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．

注意：

二元一次方程组的解是成对出现的，用大括号来连接，表示“且’．

三、例题讲解

【例】　下列各对数值中不是二元一次方程x＋2y＝2的解的是（　　）

A.

　　　　　　B.

C.

D.

解法分析：

将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程，选D.

变式练习：

上题中的选项是二元一次方程组

的解的是（　　）

解法分析：

在例题的基础上，进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x＋y＝－2，使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程．

四、巩固练习

1．根据下列语句，列出二元一次方程：

（1）甲数的一半与乙数的3倍的和为11；

（2）甲数和乙数的2倍的差为17.

2．方程x＋2y＝7在自然数范围内的解（　　）

A．有无数组B．有一组

C．有两组D．有四组

3．若mx＋y＝1是关于x，y的二元一次方程，那么（　　）

A．m≠0B．m＝0

C．m是正有理数D．m是负有理数

【答案】　1.

（1）0.5x＋3y＝11　

（2）x－2y＝17

2.D　3.A

五、课堂小结

本节课学习了哪些内容？

你有哪些收获？

（什么叫二元一次方程？

什么叫二元一次方程组？

什么叫二元一次方程组的解？

）

本课的设计是从提出“鸡兔同笼”的求解问题入手，让学生经历了从不同角度寻求不同解决方法的过程，体现了解决问题策略的多样性，以列一元一次方程求解衬托出列二元一次方程组求解的优越性，更使学生感到二元一次方程组的引入顺理成章，所以本课的整体设计，突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，主动迁移知识，建立新的概念，使得基础知识和基本技能在学生的头脑中留下较深刻的印象．

8．2　消元——解二元一次方程组

第1课时　代入消元法

1．用代入法解二元一次方程组．

2．了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想．

3．会用二元一次方程组解决实际问题．

重点

用代入法解二元一次方程组．

难点

探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程．

一、创设情境，引入新课

教师出示下列问题：

问题1：

篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？

问题2：

在上述问题中，我们也可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，那么怎样求解二元一次方程组呢？

二、尝试活动，探索新知

教师引导：

什么是二元一次方程组的解？

（方程组中各个方程的公共解）

学生列式计算后回答：

满足方程①的解有：

……

满足方程②的解有：

……

这两个方程的公共解是

师：

这种列举法比较麻烦，有没有简单一点的方法呢？

师：

由方程①进行移项得y＝22－x，由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用（22－x）来代换，即得2x＋（22－x）＝40.由此一来，二元就化为一元了．

解得x＝18.

问题解完了吗？

怎样求y?

将x＝18代入方程y＝22－x，得y＝4.

能代入原方程组中的方程①、②来求y吗？

代入哪个方程更简便？

这样，二元一次方程组的解就是

教师归纳并板书：

这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．

三、例题讲解

【例1】　用代入法解方程组

分析：

方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便．

解：

由①，得

　　　x＝y＋3.　③

把③代入②，得

　　　3（y＋3）－8y＝14.

解这个方程，得

　　　y＝－1.

把y＝－1代入③，得

　　　x＝2.

所以这个方程组的解是

【例2】　根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？

分析：

问题中包含两个条件：

大瓶数∶小瓶数＝2∶5，

大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量．

解：

设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶．

根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得

由①，得

　　　y＝

x.　　　　　　　　　③

把③代入②，得

　　　500x＋250×

x＝22500000.

解这个方程，得

　　　x＝20000.

把x＝20000代入③，得

　　　y＝50000.

所以这个方程组的解是

答：

这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶．

上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

教师解后学生及时反应：

（1）选择哪个方框代入另一个方框？

其目的是什么？

（2）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？

（3）列二元一次方程组解应用题的关键是：

找出两个等量关系．

（4）列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：

审、设、列、解、检、答．

四、巩固练习

1．二元一次方程组

的解是（　　）

A.

　　　　　　B.

C.

D.

2．方程组

的解是（　　）

A.

B.

C.

D.

3．解方程组

【答案】

1．A　2.B

3．解：

由①得x＋3＝3y，即x＝3y－3，③

由②得2x－y＝4，④

把③代入④得y＝2.

把y＝2代入③得x＝3，

因此原方程组的解为

五、课堂小结

你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么？

主要步骤有哪些？

让学生在互相交流的活动中完成本节课的小结，并能通过总结与归纳，更加清楚地理解代入消元法，体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想．

通过创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识的发现过程融于有趣的活动中，重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组比较，从而得到二元一次方程组的代入（消元）解法，这种比较可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成的过程是十分重要的．

第2课时　加减消元法

1．掌握用加减法解二元一次方程组．

2．使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法．

重点

如何用加减法解二元一次方程组．

难点

如何运用加减法进行消元．

一、创设情境，引入新课

教师提出问题：

王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨，共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售价是多少？

比一比看谁求得快．

教师总结最简便的方法：

抵消掉相同的部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．

二、例题讲解

教师板书：

解方程组

（由学生自主探究，并给出不同的解法）

解法一：

由①得x＝

，代入方程②，消去x.

解法二：

把2x看作一个整体，由①得2x＝－1－3y，代入方程②，消去2x.

教师肯定两种解法都正确，并由学生比较两种方法的优劣．

由学生观察，得出结论：

解法二整体代入更简便，准确率更高．

教师启发：

有没有更简洁的解法呢？

问题1：

观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？

（相等）

问题2：

除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？

（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．）

解法三：

①－②得：

8y＝－8，

所以y＝－1.

代入①或②，

得x＝1.

所以原方程组的解为

变式一：

解方程组

教师启发：

问题1：

观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？

（互为相反数）

问题2：

除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？

（两个方程的两边分别对应相加，就可消去x，得到一个一元一次方程．）

教师板书：

两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

教师提问：

能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？

（两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等．）

变式二：

解方程组

学生观察：

本例可以用加减消元法来做吗？

教师引导：

问题1：

这两个方程直接相加减能消去未知数吗？

为什么？

问题2：

那么怎样使方程组中某一未知数的系数的绝对值相等呢？

教师启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成整数倍数关系．

因此：

②×2，得4x－10y＝14.　③

由①－③即可消去x，从而使问题得解．

（教师追问：

③－①可以吗？

怎样更好？

）

变式三：

解方程组

教师提问：

本例题可以用加减消元法来做吗？

让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数的系数的绝对值相等呢？

分析得出解题方法：

解法1：

通过①×3、②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．

解法2：

通过①×5、②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．

教师追问：

怎样更好呢？

通过对比，学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．

解后反思：

用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型的方程组求解．

师生共析：

1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．

2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

第一步：

如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．

第二步：

如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元．

第三步：

对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑．

【例】　2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5h共收割小麦8hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

分析：

如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦xhm2和yhm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦________hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦________hm2.由此考虑两种情况下的工作量．

解：

设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦xhm2和yhm2.

根据两种工作方式中的相等关系，得方程组

去括号，得

②－①，得

　　　11x＝4.4.

解这个方程，得

　　　x＝0.4.

把x＝0.4代入①，得

　　　y＝0.2.

因此，这个方程组的解是

答：

1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2.

上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

三、巩固练习

1．用加减法解下列方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法．

（1）

消元方法：

________．

（2）

消元方法：

________．

2．用加减法解下列方程组：

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】

1．

（1）①×2－②消去y

（2）①×2＋②×3消去n

2．

（1）

（2）

（3）

（4）

四、课堂小结

本节课，我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减消元法，通过把方程组中的两个方程进行相加或相减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”，请同学们回忆：

加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？

用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

在学习加减法解题之前，学生已经知道了代入法解二元一次方程组的核心是代入“消元”，以使二元方程转化为一元方程求解．本课设计没有直接告诉学生加减法解题的过程，而是通过引导学生观察不同方程组的结构特点，比较不同解法的优劣，自己探索发现解题的技巧．这样使学生积极地参加到学习的过程中，不仅能感受到学习的乐趣，更重要的是在这种积极求索的学习中，品尝到了成功的喜悦，促使其能力得到充分的发挥、提高．

8．3　实际问题与二元一次方程组

（1）

1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用．

2．通过应用题教学，学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性．

重点

能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组．

难点

正确找出问题中的两个等量关系．

一、创设情境，引入新课

复习提问：

列方程解应用题的步骤是什么？

学生回答：

审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答．

教师讲述：

前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．

教师出示问题：

养牛场原有30头大牛和15头小牛，一天约需用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需用饲料18kg～20kg，每头小牛1天约需用饲料7kg～8kg.你能否通过计算检验他的估计是否正确吗？

二、探索分析，解决问题

根据问题中给定的数量关系如何计算平均每头大牛和每头小牛1天各约需用的饲料量？

主要思路：

学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．

问题：

1．题中有哪些已知量？

哪些未知量．

2．题中的等量关系有哪些？

3．如何解这个应用题？

解：

设平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料xkg和ykg.

找出相等关系列方程组：

解这个方程组，得

这就是说，平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料20kg和5kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．

教师请同学们好好思考：

以上问题还能列出不同的方程组吗？

结果是否一致？

（个别学生可能会列出如下方程组：

但结果一致．）

思考题：

《一千零一夜》中有这样一段文字：

有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：

“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的

；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

三、巩固练习

1.某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少？

2．有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

【答案】

1.解：

设现在的初中在校生有x人，高中在校生有y人．

根据题意列方程，得

解这个方程组，得

答：

现在的初中在校生有1400人，高中在校生有2800人．

2.解：

设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x吨和y吨．

根据题意列方程，得

解这个方程组，得

则3x＋5y＝24.5.

答：

3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨．

四、课堂小结

通过这节课的学习，你知道了用方程组解决实际问题有哪些步骤吗？

本节课从实际问题出发，通过分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组，通过对方程组解的检验，让学生认识到检验不仅要检查求得的解是否符合方程组中的每一个方程，而且还要考查所得的解答是否符合实际问题的要求，从而使学生初步体验用方程组解决实际问题的全过程．

8．3　实际问题与二元一次方程组

（2）

1．经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．

2．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组．

3．学会开放性地寻求设计方案，培养分析能力．

重点

经历和体验用方程组解决实际问题的过程．

难点

用方程组刻画和解决实际问题．

一、创设情境，引入新课

前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．

教师出示问题：

据以往的统计资料，甲、乙两种作物单位面积的产量比是1∶1.5.现要在一块长200m、宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比是3∶4.（结果取整数）

问题：

1.“甲、乙两种作物单位面积的产量比是1∶1.5”是什么意思？

2.“甲、乙两种作物的总产量比为3∶4”是什么意思？

3.本题中有哪些等量关系？

提示：

若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物的单位产量是多少？

二、例题讲解

教师提问：

以上问题有哪些解法？

学生自主探索、合作交流、整理思路：

1.先确定有两种方法分割长方形，再分别求出两个小长方形的面积，最后计算分割线的位置．

2.先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置．

3.设未知数，列方程组求解．

如图，一种种植方案为：

甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE＝xm，BE＝ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组：

解这个方程组，得

过长方形土地的长边上离一端约106m处，把这块地分为两个长方形，较大的一块地种甲作物，较小的一块地种乙作物．

教师提问：

你还能设计别的种植方案吗？

（用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长方形．）

教师巡视、指导，师生共同讲评．

三、巩固练习

某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：

农作物品种

每公顷需劳动力

每公顷需投入资金

水稻

4人

1万元

棉花

8人

1万元

蔬菜

5人

2万元

　　已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？

【答案】

解：

设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花，则安排（51－x－y）公顷种蔬菜．

根据题意列方程组，得

解这个方程组，得

那么种蔬菜的面积为51－15－20＝16（公顷）．

答：

安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公顷种蔬菜．

四、课堂小结

通过本节课的学习，你对用方程组解决实际问题的方法又有何新的认识？

本课所提供的例题、练习题、作业题突出体现以下特点：

1.活动性．学生在图形分割、手工操作、拼图游戏中展开数学问题的讨论，更具趣味性，学生在玩中学、做中学，在增强能力的同时，收获快乐．

2．探索性．问题解决的策略不易获得，问题中的数量关系不易发现，问题中的未知数不易设定，这为学生开展探究活动提供了机会．

3．开放性．解决问题的策略、方法、问题的结论的开放性设计，意在增强学生的创新意识和培养勇于挑战、克服困难的能力．

8．3　实际问题与二元一次方程组（3）

1．进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．

2．会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组．

重点

用列表、画图的方法分析题意，建立模型．

难点

如何应用列表法、图象法分析问题，建立模型．

一、例题讲解

教师出示例题：

如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

学生自主探索、合作交流．

设问1：

如何设未知数？

销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x吨，原料重y吨．

设问2：

如何确定题中的数量关系？

列表分析：

产品x吨

原料y吨

合计

公路运费（元）

铁路运费（元）

价值（元）

　　由上表可列方程组

解这个方程组，得

因为毛利润＝销售款－原料费－运输费，所以这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．

教师引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的思路：

合理设定未知数，找出相等关系．

二、巩固练习

1．某工厂现在年产值是150万元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，设新增加的投资额为x万元，总产值为y万元，求x、y所满足的方程．

2.学校购买35张电影票