学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程212解一元二次方程2125解一元二次方程.docx

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学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程212解一元二次方程2125解一元二次方程

21.2.5解一元二次方程-换元法

学校：

___________姓名：

___________班级：

___________

一．选择题（共15小题）

1．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（　　）

A．x1=﹣1，x2=﹣3.5B．x1=1，x2=﹣3.5

C．x1=1，x2=3.5D．x1=﹣1，x2=3.5

2．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（　　）

A．﹣2B．4C．4或﹣2D．﹣4或2

3．已知x、y都是实数，且（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，那么x2+y2的值是（　　）

A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或3

4．已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（　　）

A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6D．x1=﹣2，x2=﹣6

5．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（　　）

A．1B．﹣4C．1或﹣4D．﹣1或3

6．已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（　　）

A．3B．﹣3或1C．1D．﹣1或3

7．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，则x2+y2的值为（　　）

A．1B．2C．2或﹣1D．2或﹣2

8．若实数x、y满足（x+y﹣3）（x+y）+2=0，则x+y的值为（　　）

A．﹣1或﹣2B．﹣1或2C．1或﹣2D．1或2

9．已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（　　）

A．x1=1，x2=﹣4B．x1=﹣1，x2=﹣4C．x1=﹣1，x2=4D．x1=1，x2=4

10．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（　　）

A．﹣5或3B．﹣3或5C．3D．5

11．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8=0，则m2+n2=（　　）

A．4B．2C．4或﹣2D．4或2

12．用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（　　）

A．x1=1，x2=3B．x1=﹣2，x2=3C．x1=﹣3，x2=﹣1D．x1=﹣2，x2=﹣1

13．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8=0，那么x2+2x的值为（　　）

A．﹣2或4B．4C．﹣2D．2或﹣4

14．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（　　）

A．1B．﹣3C．﹣3或1D．﹣1或3

15．若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（　　）

A．1B．﹣1C．5D．5或﹣1

二．填空题（共5小题）

16．若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b=　　．

17．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）=20，则这个直角三角形的斜边长为　　．

18．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2的值是　　．

19．若（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，则x2+y2﹣5=　　．

20．如果（m+n）（m+n+5）=6，则m+n=　　．

三．解答题（共4小题）

21．阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．

当y=1时，x2=1，∴x=±1；

当y=4时，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四个根：

x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　　法达到　　的目的，体现了数学的转化思想．

（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．

22．（3x﹣2）2﹣5（3x﹣2）+4=0．

23．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）=45，求x2+y2的值．

24．阅读下面的材料，解答后面的问题

材料：

“解方程x4﹣3x2+2=0”

解：

设x2=y，原方程变为y2﹣3y+2=0，（y﹣1）（y﹣2）=0，得y=1或y=2

当y=1时，即x2=1，解得x=±1；

当y=2时，即x2=2，解得x=±

综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=

．x4=﹣

问题：

（1）上述解答过程采用的数学思想方法是　　

A．加减消元法B．代入消元法C．换元法D．待定系数法

（2）采用类似的方法解方程：

（x2﹣2x）2﹣x2+2x﹣6=0．

2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习：

21.2.5解一元二次方程-换元法

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．

解：

把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，

所以2x+3=1或2x+3=﹣4，

所以x1=﹣1，x2=﹣3.5．

故选：

A．

2．

解：

设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，

可得y﹣4=0或y+2=0，

解得：

y1=4，y2=﹣2，

∴a2﹣b2=4或﹣2．

故选：

C．

3．

解：

（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，

（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣3=0，

（x2+y2+3）（x2+y2﹣1）=0，

x2+y2﹣1=0，

x2+y2=1，

故选：

B．

4．

解：

∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，

∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，

解得：

x=﹣2或﹣6，

即x1=﹣2，x2=﹣6，

故选：

D．

5．

解：

设x+2y=a，则原方程变形为a2+3a﹣4=0，解得a=﹣4或a=1．故选C．

6．

解：

由y=x2+3x，

则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，可化为：

y2+2y﹣3=0，

分解因式，得，（y+3）（y﹣1）=0，

解得，y1=﹣3，y2=1，

当x2+3x=﹣3时，经△=32﹣3×4=﹣3＜0检验，可知x不是实数

当x2+3x=1时，经检验，符合题意．

故选：

C．

7．

解：

设t=x2+y2，则t≥0，

原方程变形为（t+2）（t﹣2）=0，

解得：

t=2或t=﹣2（舍去）．

故选：

B．

8．

解：

t=x+y，则由原方程，得

t（t﹣3）+2=0，

整理，得

（t﹣1）（t﹣2）=0．

解得t=1或t=2，

所以x+y的值为1或2．

故选：

D．

9．

解：

设t=x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为at2+at+c=0，

因为方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，

所以t1=2，t2=﹣3，

当t=2时，x+1=2，解得x=1；

当t=﹣3时，x+1=﹣3，解得x=﹣4，

所以方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是x1=1，x2=﹣4．

故选：

A．

10．

解：

设t=x2+y2，则原方程可化为t2+2t﹣15=0，

∴t=x2+y2=3或t=x2+y2=﹣5，

又∵t≥0，

∴x2+y2=3．

故选：

C．

11．

解：

设m2+n2=t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8=0，

整理，得（t﹣4）（t+2）=0，

解得t=4或t=﹣2（舍去），

所以m2+n2=4．

故选：

A．

12．

解：

（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，

设2x+5=y，

则原方程变形为y2﹣4y+3=0，

解得：

y1=1，y2=3，

当y=1时，2x+5=1，

解得：

x=﹣2，

当y=3时，2x+5=3，

解得：

x=﹣1，

即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，

故选：

D．

13．

解：

设x2+2x=y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8=0，

解得：

y=4或﹣2，

当y=4时，x2+2x=4，此时方程有解，

当y=﹣2时，x2+2x=﹣2，此时方程无解，舍去，

所以x2+2x=4．

故选：

B．

14．

解：

设y=x2+x+1=y，

则（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，可化为：

y2+2y﹣3=0，

分解因式得：

（y+3）（y﹣1）=0，

解得：

y1=﹣3，y2=1，

当x2+x+1=﹣3时，经△=12﹣4×1×4＜0检验，可知x不是实数，

当x2+x+1=1时，经检验，符合题意．

故选：

A．

15．

解：

设t=x2+y2（t≥0），

由原方程得：

（t﹣2）2=9，

解得t﹣2=±3，

解得t=5或t=﹣1（舍去）．

故选：

C．

二．填空题（共5小题）

16．

解：

设a+b=x，则由原方程，得

2x（2x﹣2）﹣8=0，

整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，

分解得：

（x+1）（x﹣2）=0，

解得：

x1=﹣1，x2=2．

则a+b的值是﹣1或2．

故答案是：

﹣1或2．

17．

解：

设x2+y2=t，则原方程可化为：

t（t﹣1）=20，

∴t2﹣t﹣20=0，

即（t+4）（t﹣5）=0，

∴t1=5，t2=﹣4（舍去），

∴x2+y2=5，

∴这个直角三角形的斜边长为

，

故答案为：

．

18．

解：

（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，

（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，

（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，

x2+y2+3=0，x2+y2﹣4=0，

x2+y2=﹣3，x2+y2=4，

∵不论x、y为何值，x2+y2不能为负数，

∴x2+y2=4，

故答案为：

4．

19．

解：

设x2+y2+3=t

∵（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，

∴t2﹣6t+8=0

∴t=2或t=4

当t=2时，

x2+y2+3=2

∴x2+y2=﹣1

故t=2舍去

当t=4时，

x2+y2+3=4

∴x2+y2=1

∴原式=1﹣5=﹣4

故答案为：

﹣4

20．

解：

设m+n为x则（m+n）（m+n+5）=6变形为x（x+5）=6

移项去括号得x2+5x﹣6=0

因式分解得（x+6）（x﹣1）=0

解得x=1或﹣6

即m+n=1或﹣6．

三．解答题（共4小题）

21．

解：

（1）换元，降次

（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，

解得y1=6，y2=﹣2．

由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．

由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，

b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．

所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．

22．

解：

设（3x﹣2）=y，原方程等价于

y2﹣5y+4=0

因式分解，得

（y﹣4）（y﹣1）=0，

于是，得

y﹣4=0或y﹣1=0，

解得y=4或y=1，

3x﹣2=4，3x﹣2=1，

解得x1=2，x2=1．

23．

解：

设x2+y2=a，则a（a﹣12）=45，

a2﹣12a﹣45=0，

（a﹣15）（a+3）=0，

a1=15，a2=﹣3，

∵x2+y2=a≥0，

∴x2+y2=15．

24．

解：

（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．

故答案是：

C；

（2）设x2﹣2x=y，原方程化为y2﹣y﹣6=0，

整理，得

（y﹣3）（y+2）=0，

得y=3或y=﹣2

当y=3时，即x2﹣2x=3，解得x=﹣1或x=3；

当y=﹣2时，即x2﹣2x=2，解得x=1±

综上所述，原方程的解为x1=﹣1，x2=3，x3=1+

．x4=1﹣

．