北师大版一元二次方程学案.docx

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北师大版一元二次方程学案

2.1认识一元二次方程的学案（第一课时）

学习目标

了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；

重难点关键

1．重点：

一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

2．难点：

通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，

学习过程

一、自主学习：

自学教材P31—32页，思考：

1、一元二次方程的定义:

2、一元二次方程的一般形式是：

自主检测

1、下列方程：

（1）x2-1=0；

（2）4x2+y2=0；（3）（x-1）（x-3）=0；（4）xy+1=3．

（5）

其中，一元二次方程有（）

A．1个　　　B．2个　　C．3个　D．4个

2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。

（1）（3x-1）（2x+3）=4；

（2）（x+1）（x-2）=-2.

（3）-5x2+1=6x

二、合作互学

1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.3（x+1）2=2（x+1）B.

C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x2-1

2、把下列方程化成ax2+bx+c=0的形式，写出a、b、c的值：

（1）3x2=7x-2

（2）3（x-1）2=2（4-3x）

3、当m为何值时，关于x的方程（m-2）x2-mx+2=m-x2是关于x的一元二次方程？

4、判断下列关于x的方程是否为一元二次方程：

（1）2（x2－1）=3y；

（2）

；（3）（x－3）2=（x＋5）2

（4）mx2＋3x－2=0；（5）（a2＋1）x2＋（2a－1）x＋5―a=0.

三、拓展延伸

1、若关于的方程（a-5）x∣a∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a的值?

2、求证：

关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

3、.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？

在什么条件下此方程为一元一次方程？

2．1认识一元二次方程的学案（第2课时）

学习目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．用“夹逼”方法估算方程的根．

重难点关键

1．重点：

判定一个数是否是方程的根；

2．难点关键：

由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．

学习过程

一、自主学习：

自学教材P33---34页，思考

1、一元二次方程的解是：

2、一元二次方程的解也叫一元二次方程的根

3、如何估算地毯花边的宽和梯子底端滑动的距离？

二、合作互助

1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

2、.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2007（a+b+c）的值

3、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值

4．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？

设长为xcm，则宽为cm

列方程，即

请根据列方程回答以下问题：

（1）x可能小于5吗？

可能等于10吗？

说说你的理由．

（2）完成下表：

x

10

11

12

13

14

15

16

17

…

x2-5x-150

（3）你知道铁片的长x是多少吗？

5、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0

（2）3x2-6=0

（3）x2-3x=0

6．方程x（x-1）=2的两根为（）．

A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=2

7．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．

8．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

三、综合提高题

1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：

-1必是该方程的一个根．

3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（

）2-2x

+1=0，令

=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：

在（x2-1）2+（x2-1）=0中，

求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．

2.2.1直接开平方法

学习过程

一、复习引入

问题1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；

（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．

问题2：

目前我们都学过哪些方程?

二元怎样转化成一元？

一元二次方程于一元一次方程有什么不同？

二次如何转化成一次？

怎样降次？

以前学过哪些降次的方法？

二、合作探索

例1：

解方程：

（1）（2x-1）2=5

（2）x2+6x+9=2（3）x2-2x+4=-1

练习、下列解方程的过程中，正确的是（）

（1）x2=-2,解方程，得x=±

（2）（x-2）2=4,解方程，得x-2=2,x=4

（3）4（x-1）2=9,解方程，得4（x-1）=±3,x1=

;x2=

（4）（2x+3）2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

三、巩固练习

1、方程

的解为（）

A、0B、1C、2D、以上均不对

2、已知一元二次方程

，若方程有解，则必须（）

A、n=0B、n=0或m，n异号C、n是m的整数倍D、m，n同号

3、方程

（1）x2＝2的解是；

（2）x2=0的解是。

4、解下列方程：

（1）4x2－1＝0；

（2）3x2+3=0；

（3）（x-1）2=0；（4）（x+4）2=9；

5、解下列方程：

（1）81（x-2）2=16；

（2）（2x+1）2=25；

6、解方程：

（1）4（2x+1）2-36=0；

（2）

。

四、提高拓展

．

1．解关于x的方程（x+m）2=n．

2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．

（1）鸡场的面积能达到180m2吗？

能达到200m吗？

（2）鸡场的面积能达到210m2吗？

2.2一元二次方程的解法配方法第1课时

学习目标

会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法理解配方法的意义

重难点关键

重难点关键

1．重点：

“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．

2．难点与关键：

不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

一、自主学习：

自学教材53—54页，思考

1、如何将一元二次方程的一般式转化为（x＋h）2=k（n≥0）形式？

2、配方配什么？

3、用配方法解方程的一般步骤是

自主检测

1、填空：

（1）x2+6x+=（x+）2；

（2）x2-2x+=（x-）2；

（3）x2-5x+=（x-）2；（4）x2+x+=（x+）2；

（5）x2+px+=（x+）2；（6）x2++4=（x+）2

2、将方程x2+2x-3=0化为（x+h）2=k的形式为；

3、用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是，第二步是，第三步是，解是。

二、合作互助

例1、用配方法解下列方程：

（1）x2-4x=5；

（2）x2-100x-101=0；

（3）x2+8x+9=0；（4）y2+2

y-4=0；

练习、用配方法解下列方程：

（1）x2-6x-16=0；

（2）x2+3x-2=0；

（3）x2+2

x-4=0；（4）x2-

x-

=0

三、提高拓展

1试用配方法证明：

代数式x2+3x-

的值不小于-

。

2、已知直角三角形的三边a、b、b，且两直角边a、b满足等式（a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0，求斜边c的值。

．

3、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

2.2一元二次方程的解法配方法

（2）

学习目标

会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法

1．重点：

配方法的解题步骤．

2．难点与关键：

把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．

一、自主学习：

自学教材P38—39页，思考

1、用配方法解方程x2+8x+9=0

2、二次项系数不为1的一元二次方程如何用配方求解方程？

自主检测

1、填空：

（1）x2-

x+=（x-）2,

（2）2x2-3x+=2（x-）2.

（3）2x2-6x+3=2（x-）2-；（4）x2+mx+n=（x+）2+.

2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是，第二步是

第三步是。

3、方程2（x+4）2-10=0的根是.

4、用配方法解方程2x2-4x+3=0，配方正确的是（）

A.2x2-4x+4=3+4B.2x2-4x+4=-3+4

C.x2-2x+1=

+1D.x2-2x+1=-

+1

5、用配方法解下列方程：

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）2x2-4x+1=0。

二、合作互助

6、用配方法解方程2y2-

y=1时，方程的两边都应加上（）

A.

B.

C.

D.

试用配方法证明：

2x2-x+3的值不小于

.

7、用配方法解下列方程：

（1）2x2+1=3x；

（2）3y2-y-2=0；

（3）3x2-4x+1=0；（4）2x2=3-7x.

8、求证:

无论y取何值时,代数式-3y2+8y-6恒小于0.

三、综合提高题

1．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2+3=2

x

2．已知：

x2+4x+y2-6y+13=0，求

的值．

2.3一元二次方程的解法公式法

学习目标

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．

重难点关键

1．重点：

求根公式的推导和公式法的应用．

2．难点与关键：

一元二次方程求根公式法的推导．

学习过程

一、自主学习：

自学教材P41—43页，思考

1、一元二次方程的求根公式是如何推到的？

2、利用求根公式的前提条件是什么？

用公式法解方程的一般步骤是

自主测试

1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0（a≠0）形式为，b2-4ac=.

2、用公式法解方程

x2+4

x=2

其中求的b2-4ac的值是（）

A.16B.

4C.

D.64

3、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=，方程的根是.。

4、用公式法解下列方程：

（1）3y2-y-2=0

（2）2x2+1=3x

（3）4x2-3x-1=x-2（4）3x（x-3）=2（x-1）（x+1）

应用公式法解一元二次方程的步骤:

1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2）找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。

3）计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。

二、合作互助

5用公式法解下列方程：

（1）x2-2x-8=0；

（2）x2+2x-4=0；

（3）2x2-3x-2=0；（4）3x（3x-2）+1=0.

6、三角形两边长分别是3和5，第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，则此三角形是三角形.

7、方程（x-1）（x-3）=2的根是（）

A.x1=1,x2=3

B.x=2

2

C.x=2

D.x=-2

2

8、关于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是

-2，则m=，方程的另一个根是.

9．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．

三、综合提高题

1．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，

（1）试推导x1+x2=-

，x1·x2=

；

（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．

判别一元二次方程根的情况

学习目标

会用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况，并会用它们解决问题

重难点关键

1．重点：

b2-4ac>0

一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0

一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0

一元二次方程没有实根．

2．难点与关键

从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．

学习过程

一、复习引入

用公式法解下列方程．

（1）2x2-3x=0

（2）3x2-2

x+1=0（3）4x2+x+1=0

二、探索新知

方程

b2-4ac的值

b2-4ac的符号

x1、x2的关系

（填相等、不等或不存在）

2x2-3x=0

3x2-2

x+1=0

4x2+x+1=0

请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。

证明你的猜想。

结论：

（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根

（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

例1．不解方程，判定方程根的情况

（1）16x2+8x=-3

（2）9x2+6x+1=0

（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0

（5）x2+10x+26=0（6）x2-x-

=0

（7）x2-

x-

=0（8）4x2-6x=0

例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

练习1．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．

A．a=0B．a=2或a=-2

C．a=2D．a=2或a=0

2．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．

A．k≠2B．k>2C．k<2且k≠1D．k为一切实数

3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．

4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．

.

2.4因式分解法

学习目标

会用因式分解法解一元二次方程．并应用因式分解法解决一些具体问题．

重难点关键

1．重点：

用因式分解法解一元二次方程．

2．难点与关键：

通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．

教学过程

一、自主学习

自学教材P67----68页，思考

1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为

2、用公式法解一元二次方程的应先将方程转化为

3、a.b=0，a=或b=

4、用因式分解法解一元二次方程的关键是

（1）通过移项，将方程右边化为零，

（2）将方程左边分解成两个因式的乘积，

（3）分别令每个因式为零，得到两个一元一次方程，

（4）分别解这两个，求的方程的解。

自主检测

1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．

A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=

，x2=

C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2

D．x2=x两边同除以x，得x=1

2、一元二次方程（x-1）（x-2）=0可化为两个一次方程为和，方程的根是.

3、方程3x2=0的根是，方程（y-2）2=0的根是，方程（x+1）2=4（x+1）的根是.

4．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0

（2）25y2-16=0（3）3x（x+2）=0

二、合作互助

5、用因式分解法解下列方程：

（1）x2+16x=0

（2）5x2-10x=-5

（3）x（x-3）+x-3=0（4）2（x-3）2=9-x2

6、用适当的方法解下列方程：

（1）（3x-1）（x-2）=（4x+1）（x-2）

（2）4x2-20x+25=7

（3）3x2-4x-1=0（4）x2+2x-4=0

三、巩固拓展

7、已知9a2-4b2=0，求代数式

的值．

8．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0

（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

（4）x2-12x-28=0（5）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．