高考数学难点突破化归思想.docx

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高考数学难点突破化归思想

难点39化归思想

化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.

●难点磁场

1.（★★★★★）一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为.

2.（★★★★★）已知平面向量a=（

–1）,b=（

）.

（1）证明a⊥b;

（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+（t2–3）b，y=–ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）;

（3）据

（2）的结论，讨论关于t的方程f（t）–k=0的解的情况.

●案例探究

［例1］对任意函数f（x）,x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；

②若x1

D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去.

现定义

（1）若输入x0=

，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；

（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；

（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围.

命题意图：

本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：

函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.

错解分析：

考生易出现以下几种错因：

（1）审题后不能理解题意.

（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.

技巧与方法：

此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.

解：

（1）∵f（x）的定义域D=（–∞,–1）∪（–1,+∞）

∴数列{xn}只有三项，

（2）∵

即x2–3x+2=0

∴x=1或x=2，即x0=1或2时

故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（n∈N*）

（3）解不等式

，得x＜–1或1＜x＜2

要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2

对于函数

若x1＜–1，则x2=f（x1）＞4，x3=f（x2）＜x2

若1＜x1＜2时，x2=f（x1）＞x1且1＜x2＜2

依次类推可得数列{xn}的所有项均满足

xn+1＞xn（n∈N*）

综上所述，x1∈（1,2）

由x1=f（x0）,得x0∈（1,2）.

［例2］设椭圆C1的方程为

（a＞b＞0），曲线C2的方程为y=

，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.

（1）试用a表示点P的坐标；

（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S（a）的值域；

（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个.设g（a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f（a）=min{g（a）,S（a）}的表达式.

命题意图：

本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：

两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.

错解分析：

第

（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a、b的关系.第

（2）问中考生易忽略a＞b＞0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将min{g（a）,S（a）}转化为解不等式g（a）≥S（a）.

技巧与方法：

将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.

解：

（1）将y=

代入椭圆方程，得

化简，得b2x4–a2b2x2+a2=0

由条件，有Δ=a4b4–4a2b2=0，得ab=2

解得x=

或x=–

（舍去）

故P的坐标为（

）.

（2）∵在△ABP中，｜AB｜=2

，高为

∴

∵a＞b＞0,b=

∴a＞

即a＞

得0＜

＜1

于是0＜S（a）＜

，故△ABP的面积函数S（a）的值域为（0,

）

（3）g（a）=c2=a2–b2=a2–

解不等式g（a）≥S（a），即a2–

≥

整理，得a8–10a4+24≥0，即（a4–4）（a4–6）≥0

解得a≤

（舍去）或a≥

.

故f（a）=min{g（a）,S（a）}

●锦囊妙计

转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.

应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：

正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.（★★★★）已知两条直线l1:

y=x,l2:

ax–y=0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在（0,

）内变动时，a的取值范围是（）

A.（0，1）B.（

，

）

C.（

，1）∪（1，

）D.（1，

）

2.（★★★★）等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若

，则

的值为（）

A.

B.1C.

D.

二、填空题

3.（★★★★）某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是.（列式表示即可）

4.（★★★★★）函数f（x）=x3–3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是.

三、解答题

5.（★★★★）已知f（x）=lg（x+1）,g（x）=2lg（2x+t）,（t∈R是参数）.

（1）当t=–1时，解不等式f（x）≤g（x）;

（2）如果x∈［0,1］时，f（x）≤g（x）恒成立，求参数t的取值范围.

6.（★★★★★）已知函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n∈N*且a1、a2、a3、……、an构成一个数列{an}，满足f

（1）=n2.

（1）求数列{an}的通项公式，并求

；

（2）证明0＜f（

）＜1.

7.（★★★★★）设A、B是双曲线x2–

=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？

为什么？

8.（★★★★★）直线y=a与函数y=x3–3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围.

参考答案

●难点磁场

1.解析：

9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程故有C

=10种

答案：

10

2.

（1）证明：

∵a·b=

=0，∴a⊥b

（2）解：

∵x⊥y,∴x·y=0

即［a+（t2–3）b］·（–ka+tb）=0，整理后得

–ka2+［t–k（t2–3）］a·b+t（t2–3）·b2=0

∵a·b=0,a2=4,b2=1

∴上式化为–4k+t（t2–3）=0，∴k=

t（t2–3）.

（3）解：

讨论方程

t（t2–3）–k=0的解的情况，可以看作曲线f（t）=

t（t2–3）与直线y=k的交点个数

于是f′（t）=

（t2–1）=

（t+1）（t–1）.

令f′（t）=0,解得t1=–1,t2=1.当t变化时，f′（t）,f（t）的变化情况如下表：

t

（–∞,–1）

–1

（–1,1）

1

（1,+∞）

f′（t）

+

0

–

0

+

f（t）

↗

极大值

↘

极小值

↗

当t=–1时，f（t）有极大值，f（t）极大值=

；

当t=1时，f（t）有极小值，f（t）极小值=–

.

而f（t）=

（t2–3）t=0时，得t=–

0,

.

所以f（t）的图象大致如右：

于是当k>

或k<–

时，直线y=k与曲线y=f（t）仅有一个交点，则方程有一解；

当k=

或k=–

时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k=0，直线与曲线有三个交点，但k、t不同时为零，故此时也有两解；当–

时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解

●歼灭难点训练

一、1.解析：

分析直线l2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解

答案：

C

2.解析：

化和的比为项的比∵

.

∴

取极限易得

答案：

A

二、3.解析：

转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率

答案：

4.解析：

转化为f′（x）=3x2–3b在（0，1）内与x轴有两交点只须f′（0）<0且f′

（1）>0.

答案：

0

三、5.解：

（1）原不等式等价于

即

∴x≥

∴原不等式的解集为{x|x≥

}.

（2）x∈［0,1］时，f（x）≤g（x）恒成立.∴x∈［0,1］时

恒成立.即

恒成立

即x∈［0,1］时，t≥–2x+

恒成立，于是转化为求–2x+

x∈［0,1］的最大值问题

令μ=

则x=μ2–1,则μ∈［1,

］.

∴2x+

=–2（μ–

）2+

.

当μ=1即x=0时，–2x+

有最大值1

∴t的取值范围是t≥1.

6.

（1）解：

{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an=f

（1）=n2,由an=Sn–Sn–1=n2–（n–1）2=2n–1（n≥2）,又a1=S1=1满足an=2n–1.故{an}通项公式为an=2n–1（n∈N*）

∴

（2）证明：

∵f（

）=1·

+3·

+…+（2n–1）

①

∴

f（

）=1·

+3·

+…+（2n–3）

+（2n–1）

②

①–②得：

f（

）=1·

+2·

+2·

+…+2·

–（2n–1）·

∴f（

）=

+

+

+

+…+

–（2n–1）

=1–

.

∵

（n∈N*）

∴0<

<1,∴0<1–

<1，即0

）<1

7.解：

（1）设AB∶y=k（x–1）+2代入x2–

=1.

整理得（2–k2）x2–2k（2–k）x–（2–k）2–2=0①

设A（x1,y1）、B（x2,y2）,x1,x2为方程①的两根

所以2–k2≠0且x1+x2=

.又N为AB中点，

有

（x1+x2）=1.∴k（2–k）=2–k2,解得k=1.故AB∶y=x+1.

（2）解出A（–1，0）、B（3，4）得CD的方程为y=3–x.与双曲线方程联立.消y有x2+6x–11=0②

记C（x3,y3）、D（x4,y4）及CD中点M（x0,y0）由韦达定理可得x0=–3,y0=6.

∵|CD|=

∴|MC|=|MD|=

|CD|=2

.

又|MA|=|MB|=

.即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.

8.提示：

f′（x）=3x2–3=3（x–1）（x+1）易确定f（–1）=2是极大值，f

（1）=–2是极小值.当–2