八年级数学全等三角形添加辅助线学案精品文件.doc

八年级数学全等三角形添加辅助线学案精品文件.doc

《八年级数学全等三角形添加辅助线学案精品文件.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学全等三角形添加辅助线学案精品文件.doc（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

添加辅助线证三角形全等题库

考点分析：

全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。

判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。

一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等

变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形

全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，

是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、

差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，

利用三角形面积的知识解答。

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；

（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形；

②利用翻折，构造全等三角形；

③引平行线构造全等三角形；

④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

证明：

方法1

在AB上选一点F，使AF=AC，连接EF。

因AE是∠CAB的平分线，∠CAE=∠FAE，

又AC=AF，AE=AE

所以，△CAE≌△FAE

则∠C=∠AFE

又由AC//BD知∠C+∠D=180°

而∠AFE+∠BFE=180°

所以，∠D=∠BFE

又已知EB是∠ABD的平分线，即∠DBE=∠FBE，另外，还有EB=EB

所以利用三角形全等的判断定理AAS知△DBE≌△FBE，

所以，FB=DB

因此，AB=AF+FB=AC+BD。

例1：

如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：

BD=2CE。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用

2）解题思路：

要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。

解答过程：

证明：

延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，

∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，

∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

解题后的思考：

等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。

 1.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，并交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，求△DEB的周长。

2.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：

AD平分∠BAC.

（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：

如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：

ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

2）解题思路：

在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。

解答过程：

证明：

延长AD到E，使DE=AD，连接BE。

又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC

又∠BDE=∠CDA

ΔBED≌ΔCAD，

故EB=AC，∠E=∠2，

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠1=∠2，

∴∠1=∠E，

∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解题后的思考：

题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例3：

已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。

求证：

∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查角平分线定理的应用。

2）解题思路：

因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。

解答过程：

证明：

作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。

∵AC平分∠BAD，

∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，

∵CE=CF，CB=CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CDF，

∴∠B=∠CDF，

∵∠CDF+∠ADC=180°，

∴∠B+∠ADC=180°。

（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例6：

如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求证：

CD=AD+BC。

思路分析：

1）题意分析：

 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：

截长法或补短法。

2）解题思路：

结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：

在CD上截取CF=BC，如图乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），

∴∠2=∠1。

又∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∴∠DCE+∠CDE=90°，

∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠3=∠4。

在△FDE与△ADE中，

∴△FDE≌△ADE（ASA），

∴DF=DA，

∵CD=DF+CF，

∴CD=AD+BC。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：

a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

（一）、截取构全等

如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：

BC=AB+CD。

例2．已知：

如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC

例3．已知：

如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：

AB-AC=CD

分析：

此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。

试试看可否把短的延长来证明呢？

练习

1．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：

AB+BD=AC

2．已知：

在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：

AE=2CE

3．已知：

在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。

求证：

BM-CM>AB-AC

4．已知：

D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。

求证：

BD+CD>AB+AC。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1．如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：

∠ADC+∠B=180 

分析：

可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。

求证：

BC=AB+AD

分析：

过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。

此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

求证：

∠BAC的平分线也经过点P。

分析：

连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，

如果PC=4，则PD=（）

A4B3C2D1

2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

五、延长已知边构造三角形：

例如：

如图6：

已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，

求证：

AD＝BC

第2页

六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：

如图7：

AB∥CD，AD∥BC求证：

AB=CD。

八、连接已知点，构造全等三角形。

例如：

已知：

如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：

∠A＝∠D。

1．已知