八年级数学全等三角形添加辅助线学案精品文件.doc

1、 添加辅助线证三角形全等题库 考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与

2、半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体

3、做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线

4、的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，求证;ABAC+BD证明：方法1在AB上选一点F，使AF=AC，连接EF。因AE是CAB的平分线，CAE=FAE，又AC=AF，AE=AE所以，CAEFAE则C=AFE又由AC/BD知C+D=180而AFE+BFE=180所以，D=BFE又已知EB是ABD的平分线，即DBE=FBE，另外，还有EB=EB

5、所以利用三角形全等的判断定理AAS知DBEFBE，所以，FB=DB因此，AB=AF+FB=AC+BD。例1：如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，从而CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1

6、=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。1.如图所示，在ABC中，C90，ACBC， AD平分CAB，并交BC于D，DEAB于E，若AB6cm，求DEB的周长。2.如右图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分BAC.（2）若遇到三角形的中线，可倍长

7、中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC，E=2

8、，AD是BAC的平分线1=2，1=E，AB=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例3：已知，如图，AC平分BAD，CD=CB，ABAD。求证：B+ADC=180。思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路：因为AC是BAD的平分线，所以可过点C作BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明

9、：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180，B+ADC=180。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CD=AD+BC

10、，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距

11、离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1 如图1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。例2 已知：如图1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证DCAC

12、例3 已知：如图1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1 已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求证：AB+BD=AC2 已知：在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE3 已知：在ABC中，ABAC,AD为BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CMAB-AC4 已知：D是ABC的BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB

13、、DC。求证：BD+CDAB+AC。（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图2-1，已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180分析：可由C向BAD的两边作垂线。近而证ADC与B之和为平角。例2 如图2-2，在ABC中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD分析：过D作DEBC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3 已知如图2-3，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：BAC

14、的平分线也经过点P。分析：连接AP，证AP平分BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。练习：1如图2-4AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，则PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC中，C=90，AD平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。五、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求证：ADBC第2页六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图7：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。八、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且ABDC，ACBD，求证：AD。1已知