一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合.doc

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一元二次方程的有理根总结

求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根的判别式为完全平方数来讨论。

1、如果是完全平方式，求的值

2、若是整数，求所有满足条件的正整数的值

3、关于，的方程有整数解，求满足条件的的值

4、设k为整数，且，方程有有理根，求k的值。

5、当是什么实数时，对于任意有理数，方程有有理根？

6、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_________个。

7、已知是正整数，且使得关于方程至少有一个整数根。

求的值。

8、试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根。

9、试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．

10、已知为质数，使一元二次方程的两根都是整数，求出的所有可能值。

11、已知，求方程的整数根。

12、设关于的二次方程的两根都是整数。

求满足条件的所有实数的值。

13、已知关于的方程的两个根都是正整数，求的值。

一元二次方程的公共根与整数根

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：

设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特点，设法将二次方程转化为两个一次式，再根据整数根确定其解。

其转化途径：

或直接分解因式；或利用根与系数的关系；或利用求根公式。

求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论，但在运用时，要具体问题具体分析。

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴为完全平方数；

⑵或，其中为整数．

以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中、、均为有理数）

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

例题

一、一元二次方程的公共根

例1求的值，使得一元二次方程，有相同的根，并求两个方程的根．

例2设为的三边，且二次三项式与有一次公因式，证明：

一定是直角三角形．

例3三个二次方程，，有公共根．

⑴求证：

；

⑵求的值．

例4试求满足方程与有公共根的所有的值及所有公共根和所有相异根．

例5二次项系数不相等的两个二次方程和

（其中，为正整数）有一个公共根，求的值．

二、一元二次方程的整数根

例6：

为什么实数时，关于的方程的解都是整数？

例7：

若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个．

例8：

已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．

练习1、若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值．

练/2、关于的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数的值．

练/3、当为何整数时，方程有整数解．

练习/4已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？

若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由．

练习/5求所有有理数，使得方程的所有根是整数．

练习6/已知关于的方程的两根都是整数，求的值．

练习7、已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值．

练/8、已知为质数，二次方程的两根都是整数，请求出的所有可能的值．

练/9已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数．

练习10、若一直角三角形两直角边的长，、均为整数，且满足．试求这个直角三角形的三边长．

练习11、关于的方程至少有一个整数解，且是整数，求的/1．

练习12、已知方程（是非负整数）至少有一个整数根，那么．

练/13、当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．

练/14、设为整数，且，方程有两个整数根，求的值及方程的根．

练/15、当为何整数时，方程有整数解．

练/16、已知方程（是非负整数）至少有一个整数根，那么．

练/17、若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个．

/18设方程有整数解，试确定整数的值，并求出这时方程所有的整数解．

19已知是正整数，且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根，求的值．

20已知关于的方程（其中是非负整数）至少有一个整数根，求的值．

21已知，为整数，方程的两根都大于且小于，求和的值．

22已知，都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？

如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．

23已知方程及分别各有两个整数根及，且，．

⑴求证：

，，，；

⑵求证：

；

⑶求所有可能的值．

24设是两个奇整数，试证方程不可能有有理根．

25试证不论是什么整数，方程没有整数解，方程中的是任何正的奇数．

26求方程的所有整数解．

27已知为整数，关于的方程组的所有解均为整数解，求的值．

28求方程的所有正整数解．

29求所有的整数对，使．

30设是不为零的整数，关于的二次方程有有理根，求的值．

31当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．

32是正整数，关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．

33已知是实数，关于的方程组

有整数解，求满足的关系式．

34已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出所有可能的的值．

35设关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值．

36为何值时，方程和有相同的整数根？

并且求出它们的整数根？

37已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有___________个．

38求所有正实数，使得方程仅有整数根．

39方程有两个整数根，求a的值．

40求所有的正整数，，使得关于的方程

的所有的根都是正整数．

41为正整数，方程有一个整数根，则__________．

42求出所有正整数，使方程至少有一个整数根．

43已知方程有两个不等的负整数根，则整数的值是__________．

44不解方程，证明方程无整数根

45已知方程有两个质数根，则常数________．

46已知方程有两个不相等的正整数根，求m的值．

47当是什么整数时，关于x的方程的两根都是整数？

48设方程有整数解，试确定整数的值，并求出这时方程所有的整数解．

49已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．

50若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值．

51设为质数，为正整数，且满足

求的值．

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