一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合.doc

1、西安文津教育62568277 凤城四路明光路文景路之间海璟新天 一元二次方程的有理根总结 求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根的判别式为完全平方数来讨论。 1、 如果是完全平方式，求的值2、 若是整数，求所有满足条件的正整数的值3、关于，的方程有整数解，求满足条件的的值4、设k为整数，且，方程有有理根，求k的值。5、当是什么实数时，对于任意有理数，方程有有理根？6、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_个。 7、已知是正整数，且使得关于方程至少有一个整数根。求的值。8、试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根。9、试确定

2、一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根10、已知为质数，使一元二次方程的两根都是整数，求出的所有可能值。 11、已知，求方程的整数根。12、设关于的二次方程的两根都是整数。求满足条件的所有实数的值。13、已知关于的方程的两个根都是正整数，求的值。一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根二、整数根问题对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具

3、体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特点，设法将二次方程转化为两个一次式，再根据整数根确定其解。其转化途径：或直接分解因式；或利用根与系数的关系；或利用求根公式。求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论，但在运用时，要具体问题具体分析。方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件： 为完全平方数； 或，其中为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范

4、围来确定参数的范围例题一、一元二次方程的公共根例1求的值，使得一元二次方程，有相同的根，并求两个方程的根例2设为的三边，且二次三项式与有一次公因式，证明：一定是直角三角形例3三个二次方程，有公共根 求证：； 求的值例4试求满足方程与有公共根的所有的值及所有公共根和所有相异根例5二次项系数不相等的两个二次方程和(其中，为正整数)有一个公共根，求的值二、一元二次方程的整数根例6：为什么实数时，关于的方程的解都是整数？例7：若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_个例8：已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根练习1、若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值

5、练/2、关于的二次方程的两根都是整数求满足条件的所有实数的值练/3、当为何整数时，方程有整数解练习/4已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由练习/5求所有有理数，使得方程的所有根是整数练习6/已知关于的方程的两根都是整数，求的值练习7、已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值练/8、已知为质数，二次方程的两根都是整数，请求出的所有可能的值练/9已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数练习10、若一直角三角形两直角边的长，、均为整数，且满足试求这个直角三角形的三边长练习11、关于的方

6、程至少有一个整数解，且是整数，求的/1练习12、已知方程(是非负整数)至少有一个整数根，那么 练/13、当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数练/14、设为整数，且，方程有两个整数根，求的值及方程的根练/15、当为何整数时，方程有整数解练/16、已知方程(是非负整数)至少有一个整数根，那么 练/17、若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_个/18设方程有整数解，试确定整数的值，并求出这时方程所有的整数解19已知是正整数，且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根，求的值20已知关于的方程 (其中是非负整数)至少有一个整数根，求的值21已知，为整数，方程的两根都大于且小于，求

7、和的值22已知，都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明23已知方程及分别各有两个整数根及，且， 求证：，； 求证：； 求所有可能的值24设是两个奇整数，试证方程不可能有有理根25试证不论是什么整数，方程没有整数解，方程中的是任何正的奇数26求方程的所有整数解27已知为整数，关于的方程组的所有解均为整数解，求的值28求方程的所有正整数解29求所有的整数对，使30设是不为零的整数，关于的二次方程有有理根，求的值31当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数32是正整数，关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根33已知是实数，关于的方程组有整数解

8、，求满足的关系式34已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出所有可能的的值35设关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值36为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？37已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_个38求所有正实数，使得方程仅有整数根39方程有两个整数根，求a的值40求所有的正整数，使得关于的方程的所有的根都是正整数41为正整数，方程有一个整数根，则_42求出所有正整数，使方程至少有一个整数根43已知方程有两个不等的负整数根，则整数的值是_44不解方程，证明方程无整数根45已知方程有两个质数根，则常数_46已知方程有两个不相等的正整数根，求m的值47当是什么整数时，关于x的方程的两根都是整数？48设方程有整数解，试确定整数的值，并求出这时方程所有的整数解49已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根50若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值51设为质数，为正整数，且满足求的值5文津教育 地址：海璟新天-凤城四路明光路文景路之间62568277