求符合条件的a.
解析：
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求b24ac>0而且是一个完全平方数。
于是98a为完全平方数，a1
2
例5、分解因式：
x5x6
（-1）+（-6）=-7222
练习5、分解因式
（1）x214x24
（2）a215a36（3）x24x5
222
练习6、分解因式
（1）x2x2
（2）y22y15（3）x210x24
（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2bxc
8b+（-16b）=-8b
22
8ab128b2=a2[8b
=（a8b）（a16b）
练习8、分解因式
（1）x23xy2y2
2222
（2）m6mn8n（3）aab6b（四）二次项系数不为1的齐次多项式
22
例9、2x27xy6y2
1-2y
2-3y
（-3y）+（-4y）=-7y
-3
22
例10、xy3xy2把xy看作一个整体1-1
1-2（-1）+（-2）=
解：
原式=（xy1）（xy2）
22
（2）a2x26ax8
3）（x
y）2
3（x
y）
10
（4）（a
b）2
4a
4b
3
5）x2y2
5x2
y6x
2
2
（6）m4mn
4n2
3m
6n
2
7）x2
4xy
4y2
2x
4y
2
3（8）5（ab）2
23（a2
b2
）
10（a
b）2
2
9）4x2
4xy
6x
3y
2y
2
10（10）12（xy）2
11（x
2
y
2）
2（x
y）2
解：
原式=（x2y）（2x3y）22
练习9、分解因式：
（1）15x27xy4y263
综合练习10、
（1）8x67x31
22
（2）12x211xy15y2
思考：
分解因式：
2222
abcx（abc）xabc
五、换元法。
（1）、换单项式
例1分解因式x6+14x3y+49y2
分析：
注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2
原式变形为
m2+14my+49y2=（m+7y）2=（x3+7y）2
（2）、换多项式
例2分解因式（x2+4x+6）+（x2+6x+6）+x2.
分析：
本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分
换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变
形为
+10mx+25x2
=（m+5x）2=（x2+6+5x）2
=[（x+2）（x+3）]2=（x+2）2（x+3）2.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m（m+2x）+x2=m2+2mx+x2=（m+x）2=（x2+4x+6+x）2=（x2+5x+6）2
=[（x+2）（x+3）]2=（x+2）2（x+3）2.
另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被
1称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m=2[（x2+4x+6）+（x2+6x+6）]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，
x2+6x+6=m+x，
（m+x）（m-x）+x2=m2-x2+x2=m2=（x2+5x+6）2=[（x+2）（x+3）]
=（x+2）2（x+3）2.
例3分解因式（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）+24.
分析：
这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把（x-1）（x+2）（x-3）（x+4）分组为[（x-1）（x+2）][（x-3）（x+4）]=（x2+x-2）（x2+x-12），从而转化成例2形
式加以解决.
1
我们采用“均值换元法”，设m=2[（x2+x-2）+（x2+x-12）]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为
（m+5）（m-5）+24=m2-25+24=m2-1=（m+1）（m-1）=（x2+x-7+1
）（x2+x-7-1）
=（x2+x-6）（x2+x-8）=（x-2）（x+3）（x2+x-8）.
（3）、换常数
例1分解因式x2（x+1）-2003×2004x.
分析：
此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003，则2004=m+1.于是，原式变形为
=x[（x2-m2）+（x-m）]=x[（x+m）（x-m）+（x-m）]=x（x-m）（x+m+1）=x（x-2003）（x+2003+1）=x（x-2003）（x+2004）.
22
例13、分解因式
（1）2005x2（200521）x2005
（2）（x1）（x2）（x3）（x6）x2
22
解：
（1）设2005=a，则原式=ax2（a21）xa
=（ax1）（xa）
=（2005x1）（x2005）
（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=（x27x6）（x25x6）x2
22
设x25x6A，则x27x6A2x
∴原式=（A2x）Ax2=A22Axx2
222
=（Ax）2=（x26x6）2
22222
练习13、分解因式
（1）（x2xyy2）24xy（x2y2）22
（2）（x23x2）（4x28x3）90
222222
（3）（a21）2（a25）24（a23）2
432
例14、分解因式
（1）2x4x36x2x2观察：
此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，
并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：
原式=x2（2x2
x
112
62）=x2
2（x2
x12）
（x1）6
xx
x
x
设x1
t，
212则x22t2
2
x
x2
22
∴原式=x22（t2
2）
22
t6=x22t2
t10
2
5t
22
1
=x22t
2=x22x
5x
2
x
x
=x·2x
2
1
5·x·x2=
2x2
5x
2x22x1
x
x
=（x1）2
（2x
1）（x2）
432
原式
=x3
13x2
3
原式
x3
3x2
4x
4x
4
=
（x
1）（x2x
1）
3（x
1）（x1）=
x（x2
3x
4）
（4x
4）
=
（x
1）（x2x
1
3x
3）=
x（x
1）（x
4）
4（x
1）
=
（x
2
1）（x24x
4）
=
（x
1）（x2
4x
4）
=
（x
2
1）（x2）2
（x
1）（x
2）2
（2）
x9
63
xx
3
解：
9
原式=（x9
1）
6（x
3
1）（x31）
2
解法2——添项。
）x44x3x24x1
解：
原式=
22x（x
4x
14
x
x12）
x
2=x
21x22
x
4x1
x
设x
1
y，
则x
21
2
2y
2
x
x
∴原式=
22x（y
4y
3）=x2（y
1）（y
3）
2
1
1
2
2
x（x
1）（x
3）
=x
x1x
3x1
x
x
练习14、
（1）
6x47x3
36x2
7x
6
（2）
4
x2x
3
x21
2（x
x2）
六、添项、拆项
、配方法。
例15、分解因式
（1）
x3
3x2
4
解法1——拆项。
=
（x3
1）（x6
33
x1）（x
1）（x3
1）
3
（x3
1）
=
（x3
1）（x6
33
x1x1
1）
=
（x
1）（x2
63
x1）（x62x3
3）
练习
15、
分解因式
（1）
3x
9x
8
4
（2）（x1）4
（x2
1）2
（x
1）4
（3）
4x
7x2
1
（4）x4x2
2ax
1
2a
（5）
4x
4y
（x
y）4
（6）2a2b2
2a2c2
2b
22c
a4b4c
七、待定系数法。
22
例16、分解因式x2xy6y2x13y622
分析：
原式的前3项x2xy6y2可以分为（x3y）（x2y），则原多项式
必定可分为（x3ym）（x2yn）
22
解：
设x2xy6y2x13y6=（x3ym）（x2yn）
22
∵（x3ym）（x2yn）=xxy6y（mn）x（3n2m）ymn
解此多项式。
为（xy
a）（x
yb）
解：
设x2
2
ymx
5y
6
=（x
y
a）（x
yb）
则x2
2
ymx
5y
6
2=x
2y
（a
b）x（b
a）yab
a
b
m
a
2
a2
比较对应的系数可得：
b
a
5，
解得
：
b
3或
b3
ab
6
m
1
m1
bx8有两个因式为x
1）分析：
前两项可以分解为（xy）（xy），故此多项式分解的形式必
∴当m1时，原多项式可以分解；
当m1时，原式=（xy2）（xy3）；
当m1时，原式=（xy2）（xy3）
2）分析：
x3ax2bx8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，
因此第三个因式必为形如xc的一次二项式。
32
解：
设x3ax2bx8=（x1）（x2）（xc）
323则x3ax2bx8=x3（3
2
c）x（23c）x2c
a3c
a7
∴b23c解得
b14，
2c8
c4
∴ab=21
22
练习17、
（1）分解因式x23xy10y2x9y2
22
（2）分解因式x23xy2y25x7y6
22
（3）已知：
x22xy3y26x14yp能分解成两个一次因式
之积，求常数p并且分解因式。
22
（4）k为何值时，x22xyky23x5y2能分解成两个一次
因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：
习题大全
经典一：
一、填空题
式。
2分解因式：
m3-4m=
3.分解因式：
x2-4y2=__.
4、分解因式：
x24x4=。
5.将xn-yn
分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y），则n的值
为
二、选择题
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是
10.下列多项式能分解因式的是（）
（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4
11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）
A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（）
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）
、把下列各式分解因式：
五、解答题
（5）
经典二：
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式x5x4x3x2x1
分析：
这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5x4，x3x2，x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：
原式（x5x4x3）（x2x1）
322
x（xx1）（xx1）
32
（x31）（x2x1）
22
（x1）（x2x1）（x2x1）
解二：
原式=（x5x4）（x3x2）（x1）
x4（x1）x2（x1）（x1）
（x1）（x4x1）
422
（x1）[（x42x21）x2]
22
（x1）（x2x1）（x2x1）
2.通过变形达到分解的目的
例1.
分解
因式x3
3x
24
解一：
将3x2拆成
2x2
2x，
则有
原式
3x
2x2
（x2
4）
2x
（x2）
（x
2）（x
2）
（x
2
2）（x2
x
2）
（x
1）（x
2）2
解二：
将常数4拆成13，则有原式x31（3x23）
（x1）（x2x1）（x1）（3x3）
（x1）（x24x4）
（x1）（x2）2
3.在证明题中的应用
例：
求证：
多项式（x24）（x210x21）100的值一定是非负数
分析：
现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
22
证明：
（x24）（x210x21）100
（x2）（x2）（x3）（x7）100
（x2）（x7）（x2）（x3）10022
（x25x14）（x25x6）100
设yx25x，则
原式（y14）（y6）100y28y16（y4）2
无论y取何值都有（y4）20
（x24）（x210x21）100的值一定是非负数
4.因式分解中的转化思想
例：
分解因式：
（a2bc）3（ab）3（bc）3
分析：
本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察
a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：
设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
原式（AB）3A3B3
A33A2B3AB2B3A3B322
3A2B3AB2
3AB（AB）
3（ab）（bc）（a2bc）
说明：
在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”
的。
a+b，b+c与
是很重要
中考点拨
例1.在ABC中，三边a,b,c满足a216b2c26ab
10bc0
证明
2
：
a
16b2
2c
6ab
10bc0
2a
2
6ab9b2
2c
10bc
2
25b20
即（a
3b）2
（c
5b）2
0
（a
8bc）（a
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