因式分解常用方法方法最全最详细.docx

1、因式分解常用方法方法最全最详细因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解： 因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 主 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。 即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或 可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法 .：

2、ma+mb+mc=m（a+b+c）二、运用公式法 . 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 a(2) (a b) 2 = a 22ab+b 2 a2-b 2=(a+b)(a-b) ；22ab+b 2=(a b) 2；a +b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) ； a 3-b 3 =(a-b)(a 2+ab+b 2)面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2

3、-ab-bc-ca) ；ab bc ca ，例.已知 a，b，c是 ABC 的三边，且 a2 b2 c2则 ABC 的形状是( )A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形2 2 2 2 2 2解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca(a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c三、分组分解法 .(一)分组后能直接提公因式例 1 、分解因式： am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有b ，因此可以考虑

4、将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。解：原式 = (am an) (bm bn)= a(m n) b(m n) 每组之间还有公因式！= (m n)(a b)例 2 、分解因式： 2ax 10ay 5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解 ： 原 式 = (2ax 10ay) (5by bx) 原 式= (2ax bx) ( 10ay 5by)= 2a(x 5y) b(x 5y)= x(2a b) 5y(2a b)= (x 5y)(2a b)= (2a b)(x 5y)2练习：分解因式 1、 a2 ab

5、ac bc 2 、 xy x y 1（二）分组后能直接运用公式22例 3 、分解因式： x y ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x22y ) (axay)= (xy)(x y)a(xy)= (xy)(x y a)例 4 、分解因式：2 a2ab b22 c解：原式= (a222ab b2 )2 c= (a22 b) c= (ab c)(a bc)练习：分解因式3、 x22x 9y3y4、2 x2 y2 z2yz综合练习：（1）x3 x2y xy23 y(2）2 axbx2bxax ab（3）2

6、x6xy9y2216a2 8a1（4）2 a6ab12b9b24a（5）4 a2a32 a9（6）4a2x 4a2yb2x b2y（7）2 x2xyxz2 yz y（8）2 a2a b22 2b 2ab1（9）y(y2)(m1)(m 1)(10)(ac)(ac)b(b2a)（11）a2(bc) b2 (ac)c2 (ab)2abc (12）3 ab3c33abc四、十字相乘法 .（一）二次项系数为 1 的二次三项式2直接利用公式 x2 （p q）x pq （x p）（x q） 进行分解。特点：（1）二次项系数是 1 ；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字

7、相乘有什么基本规律？例.已知 00 而且是一个完全平方数。于是 9 8a 为完全平方数， a 12例 5 、分解因式： x 5x 6(-1 )+(-6)= -7 222练习 5 、分解因式 (1) x2 14x 24 (2) a2 15a 36 (3) x2 4x 52 2 2练习 6 、分解因式 (1) x2 x 2 (2) y2 2y 15 (3) x2 10x 24 (二)二次项系数不为 1 的二次三项式 ax2 bx c8b+(-16b)= -8b228ab 128b2= a2 8b= (a 8b)(a 16b)练习 8 、分解因式 (1) x2 3xy 2y22 2 2 2(2) m

8、 6mn 8n (3) a ab 6b (四)二次项系数不为 1 的齐次多项式22例 9 、 2x2 7xy 6y21 -2y2 -3y(-3y)+(-4y)= -7y-322例 10 、 x y 3xy 2 把 xy 看作一个整体 1 -11 -2 (-1)+(-2)=解：原式 = (xy 1)(xy 2)22(2) a2x2 6ax 83)(xy)23(xy)10(4 ) (ab)24a4b35)x2y25x2y 6x22( 6)m 4mn4n23m6n27) x24xy4y22x4y23(8) 5(a b) 223(a2b2)10(ab)229 )4x24xy6x3y2 y210(10

9、)12(x y)211(x2y2)2(xy)2解：原式 = (x 2y)(2x 3y) 22练习 9 、分解因式：(1 )15x2 7xy 4y2 63综合练习 10 、(1 )8x6 7x3 122 (2)12x2 11xy 15y2思考：分解因式：2 2 2 2abcx (a b c )x abc五、换元法。(1)、换单项式例 1 分解因式 x 6 + 14x 3 y + 49y 2分析：注意到 x6=(x3)2，若把单项式 x 3换元，设 x3 = m ，则 x6= m 2原式变形为m2 + 14m y + 49y 2= (m + 7y) 2 = ( x 3 + 7y) 2(2)、换多项

10、式例 2 分解因式 (x 2+4x+6) + (x 2+6x+6) +x 2.分析 ：本题前面的两个多项式有相同的部分， 我们可以只把相同部分换元，设 x2 +6= m ，则 x2+4x+6= m+4x ， x2+6x+6= m+6x ，原式变形为+10mx+25x 2= (m+5x) 2= ( x 2 +6+5x) 2= (x+2)(x+3) 2= (x+2) 2 (x+3) 2.以上这种换元法， 只换了多项式的一部分， 所以称为 “局部换元法” 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体 换元法” . 比如，设 x2+4x+6=m ，则 x2+6x+6=m+2x ，原

11、式变形为 m(m+2x)+ x2 = m 2+2mx+x 2= (m+x) 2= ( x 2+4x+6+x) 2= ( x 2+5x+6) 2= (x+2)(x+3) 2= (x+2) 2 (x+3) 2.另外， 还可以取前两个多项式的平均数进行换元， 这种换元的方法被1 称为“均值换元法” ，可以借用平方差公式简化运算 . 对于本例， 设 m= 2 (x 2+4x+6) + (x2+6x+6)= x2+5x+6 ， 则 x2+4x+6=m-x ，x2+6x+6=m+x ，(m+x)(m-x)+x 2= m 2-x2+x2 = m 2= (x 2+5x+6) 2= (x+2)(x+3)= (x

12、+2) 2 (x+3) 2.例 3 分解因式 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析 ：这道题的前面是四个多项式的乘积， 可以把它们分成两组相乘， 使之转化成为两个多项式的乘积 . 无论如何分组，最高项都是 x2，常数项 不相等，所以只能设法使一次项相同 . 因此，把 (x-1)(x+2)(x-3)(x+4) 分 组为 (x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x 2+x-2) (x 2+x-12) ，从而转化成例 2 形式加以解决 .1我们采用“均值换元法” ，设 m= 2 (x 2+x-2)+ (x 2+x-12)=x 2+x-7 ， 则 x2+x-2=m+5 ， x

13、 2+x-2= m-5 ，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m 2-25+24=m 2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x 2+x-7-1)= ( x 2+x-6)( x 2+x-8)= (x-2)(x+3)( x 2+x-8).(3) 、换常数例 1 分解因式 x 2(x+1)-2003 2004x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效 . 注意到 2003 、2004 两 个数字之间的关系，把其中一个常数换元 . 比如，设 m=2003 ，则 2004=m+1. 于是，原式变形为= x(x 2 -m 2) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m) =

14、x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).22例 13 、分解因式( 1) 2005 x 2 ( 20052 1)x 2005(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x222解：(1 )设 2005= a ，则原式 = ax2 (a2 1)x a= (ax 1)(x a)= (2005x 1)(x 2005)(2)型如 abcd e的多项式， 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = (x2 7x 6)(x2 5x 6) x222设 x2 5x 6 A ，则 x2 7x 6 A 2x原式= (A 2x)A x2=

15、 A2 2Ax x22 2 2= (A x)2= (x2 6x 6)22 2 2 2 2练习 13 、分解因式( 1) (x2 xy y2)2 4xy(x2 y2) 22(2) (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 902 2 2 2 2 2(3)(a2 1)2 (a2 5)2 4(a2 3)24 3 2例 14 、分解因式( 1 ) 2x4 x3 6x2 x 2 观察：此多项式的特点是关于 x 的降幂排列， 每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于“等距离多项式” 。 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 = x2(2x2x1 1 26

16、2 )= x22(x2x12)(x 1) 6xxxx设 x 1t，2 1 2 则 x2 2 t 22xx222原式= x2 2(t22)22t 6 = x2 2t 2t 1025t221= x2 2t2 = x2 2x5x2xx= x2x215 x x 2 =2x25x2 x2 2x 1xx= (x 1) 2(2x1)(x 2)4 3 2原式= x31 3x23原式x33x24x4x4=(x1)(x2 x1)3(x1)(x 1) =x(x23x4)(4x4)=(x1)(x2 x13x3) =x(x1)(x4)4(x1)=(x21)(x2 4x4)=(x1)(x24x4)=(x21)(x 2)2

17、(x1)(x2)2（2）x963xx3解：9原式 = (x91)6 (x31) (x3 1)2解法 2 添项。) x4 4x3 x2 4x 1解：原式 =22 x (x4x14xx12)x2 =x21 x2 2x4 x 1x设x1y，则x2122 y2xx原式=22 x (y4y3)= x2(y1)(y3)21122x (x1)(x3)=xx 1 x3x 1xx练习 14 、（1 ）6x4 7x336x27x6（2）4x 2x3x2 12(xx2)六、添项、拆项、配方法。例 15 、分解因式（ 1 ）x33x24解法 1 拆项。=(x31)(x633x 1) (x1)(x31)3(x31)=(

18、x31)(x633x 1 x 11)=(x1)(x263x 1)(x6 2x33)练习15、分解因式（1）3 x9x84(2) (x 1)4(x21)2(x1)4（3）4 x7x21(4 ) x4 x22ax12 a（5）4 x4 y(xy)4(6)2a2b22a2c22b22 ca4 b4 c七、待定系数法。22例 16 、分解因式 x2 xy 6y2 x 13y 6 22分析：原式的前 3 项 x2 xy 6 y2可以分为 （x 3y）（x 2y） ，则原多项式必定可分为 (x 3y m)(x 2y n)22解：设 x2 xy 6y2 x 13y 6= (x 3y m)(x 2y n)22

19、(x 3y m)(x 2y n) = x xy 6y (m n)x (3n 2m)y mn解此多项式。为 (x ya)(xy b)解：设 x22y mx5y6= (xya)(xy b)则x22y mx5y62 =x2 y(ab)x (ba)y ababma2a2比较对应的系数可得：ba5，解得：b3或b3ab6m1m1bx 8 有两个因式为 x1)分析：前两项可以分解为 (x y)(x y) ，故此多项式分解的形式必当m 1时，原多项式可以分解；当 m 1时，原式 = (x y 2)(x y 3) ；当 m 1时，原式 = (x y 2)(x y 3)2 )分析： x 3 ax2 bx 8是一

20、个三次式， 所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如 x c 的一次二项式。32解：设 x3 ax2 bx 8= (x 1)(x 2)(x c)3 2 3 则 x3 ax2 bx 8= x3 (32c)x (2 3c)x 2ca 3 ca7 b 2 3c 解得b 14 ，2c 8c4a b= 2122练习 17 、( 1 )分解因式 x2 3xy 10y2 x 9y 222(2 )分解因式 x2 3xy 2y2 5x 7y 622(3) 已知： x2 2xy 3y2 6x 14y p 能分解成两个一次因式之积，求常数 p 并且分解因式。22(4) k 为何值时， x2 2xy ky

21、2 3x 5y 2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题式。2 分解因式： m 3-4m=3.分解因式：x2-4y 2= _ .4 、分解因式：x2 4x 4= 。5. 将 xn-y n分 解 因 式 的 结 果 为 (x2+y 2)(x+y)(x-y) ， 则 n 的 值为二、选择题8 、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是10. 下列多项式能分解因式的是（ ）（A）x 2-y （B）x 2+1 （C）x 2+y+y 2 （D）x 2-4x+411把（ xy）2（ yx）分解因式为（ ）A（x y）（x y1） B（yx）（xy1）C（y x）（

22、yx1） D（yx）（yx1）12 下列各个分解因式中正确的是（ ）A 10ab 2c6ac 2 2ac 2ac （5b 23c）B（ab）2（ba）2（ ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc） abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b 2a）13.若 k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么 k 应为（ ）、把下列各式分解因式：五、解答题(5)经典二：1.通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 x5 x4 x3 x 2 x 1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 x5 x4 x3和 x2 x 1分别看成一组，此时六项

23、式变成二项式，提取 公因式后， 再进一步分解； 也可把 x5 x4 ，x3 x2，x 1分别看成一组， 此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式 (x5 x4 x3 ) (x2 x 1)3 2 2x (x x 1) (x x 1)32(x3 1)(x2 x 1)22(x 1)(x 2 x 1)(x 2 x 1)解二：原式 = (x5 x4) (x3 x 2) (x 1)x4 (x 1) x2(x 1) (x 1)(x 1)(x 4 x 1)4 2 2(x 1)(x 4 2x 2 1) x222(x 1)(x 2 x 1)(x2 x 1)2.通过变形达到分解的目的例 1.分解因

24、式 x33x24解一：将 3x2 拆成2x22 x，则有原式3 x2x2(x24)2 x(x 2)(x2)(x2)(x22)(x2x2)(x1)(x2)2解二：将常数 4 拆成 1 3 ，则有 原式 x3 1 (3x 2 3)(x 1)(x2 x 1) (x 1)(3x 3)(x 1)(x2 4x 4)(x 1)(x 2) 23.在证明题中的应用例：求证：多项式 (x2 4)(x 2 10x 21) 100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。22证明： (x2 4)(x2 10x 21) 100(x 2

25、)(x 2)(x 3)(x 7) 100(x 2)(x 7)(x 2)(x 3) 100 22(x2 5x 14)(x2 5x 6) 100设 y x2 5x ，则原式 (y 14)(y 6) 100 y2 8y 16 (y 4)2无论y取何值都有 (y 4) 2 0(x2 4)(x2 10x 21) 100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想例 ：分解因式： (a 2b c)3 (a b)3 (b c)3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A ， b+c=B ， a+2b+c=A+B原式 (A B)3 A 3 B3A 3 3A 2B 3AB 2 B3 A 3 B3 223A 2B 3AB 23AB (A B)3(a b)(b c)(a 2b c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”的。a+b ， b+c 与是很重要中考点拨例 1. 在 ABC 中，三边 a,b,c 满足 a2 16b2 c2 6ab10bc 0证明2：a16b22 c6ab10bc 02 a26ab 9b22 c10bc225b2 0即(a3b)2(c5b)20(a8b c)(a