高三数学一轮复习必备精品2函数概念与表示高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载.docx
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第二讲函数概念与表示
备注：
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一．【课标要求】
1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构
成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表
示函数；
3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；
结合具体函数，了解奇偶性的含义；
5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质
二．【命题走向】
函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。
从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：
通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。
高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大
预测2010年高考对本节的考察是：
1．题型是1个选择和一个填空；
2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为
新的热点。
三．【要点精讲】
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数
x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一
个函数。
记作：
y=f（x），x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x
的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
注意：
（1）“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；
（2）函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x
2．构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
①自然型：
指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：
分式函数的分母不为零，
偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
②限制型：
指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难
点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：
解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等
1
式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数
的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中
的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
AB为
从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：
AB”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的．其中
f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：
一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思
6．常用的函数表示法
（1）解析法：
就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：
就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：
就是用函数图象表示两个变量之间的关系
7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
8．复合函数
若y=f（u），u=g（x）,x（a，b），u（m,n），那么y=f[g（x）]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g（x）的值域
四．【典例解析】
题型1：
函数概念
2
4x
6,x0
例1．21.（2009
天津卷文）设函数
f（x）
x
f
（1）的解集
则不等式f（x）
x6,x0
是（
）
A.（
3,1）（3,
）
B.（
3,1）
（2,
）
C.（
1,1）（3,
）
D.（
3）
（1,3）
答案A
2
解析
由已知，函数先增后减再增
当x
0
，f（x）
2
f
（1）
3令f（x）
3,
解得x
1,x
3。
当x
0
，x
6
3,x
3
故f（x）
f
（1）
3
，解得
3x
1或x3
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。
以及一元二次不等式的求解
（2）江苏省如皋中学2007—2008学年度第二学期阶段考试高三数学（理科）
请设计一个同时满足下列两个条件的函数
y=f（x）：
①图象关于y
轴对称；②对定义域内任意不同两点x1、x2,
都有
f（x1）f（x2）
2f（x1
x2）答：
.
2
答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如
f（x）
x2,f（x）
cosx（
x
）,f（x）|tanx|（
x）等等.
2
2
2
2
首先由①知f（x）为偶函数，由②知f
（x）在定义域内图象上凸，然后在基本初等函数
中去寻找符合这两点的模型函数
【总结点评】本题主要考查函数的图象与性质，问题以开放的形式出现，着重突出对考生数学素质的要求.
点评：
讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功
3
x
x
1,
变式题：
（2009
北京文）已知函数
2，则x
.
f（x）
x,
x
若f（x）
1,
wwk5答案
log3
2
w解析
5u本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求
x的值.
属于基础知识、基本运算的考
查.
x
1
x
1
无解，故应填log32.
由
2
xlog32，
2x
2
3x
x
例2．（2007
安徽文理15）
（1）函数f
x对于任意实数
x满足条件fx2
1
5,则
，若f1
f
x
ff5__________；
3
解：
（1）由fx2
1
x4
1
f（x）
，
得f
fx
fx
2
所以f（5）f
（1）
5，则ff5
f（5）
f（
1）
1
1
。
f（
1
2）5
点评：
通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能
力。
题型二：
判断两个函数是否相同
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=
x2，g（x）=3
x3；
（2）f（x）=|x|，g（x）=
1
x
0,
x
1x
0;
（3）f（x）=2n1x2n
1，g（x）=（2n1x）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）=xx
1，g（x）=x2
x；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
解：
（1）由于f（x）=
x2=|x|，g（x）=3x3
=x，故它们的值域及对应法则都不相同，
所以它们不是同一函数；
（2）由于函数f（x）=|x|的定义域为（－∞，
1
x
0,
0）∪（0，+∞），而g（x）=
x
1
x
0;
的定义域为R，所以它们不是同一函数；
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，
∴f（x）=2n1x2n1=x，g（x）=（2n1x）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；
（4）由于函数f（x）=xx1的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=x2x的定义域为{x|x
≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数
点评：
对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。
（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，
这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数。
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不
可能是同一函数
题型三：
函数定义域问题
4
例4．求下述函数的定义域：
2
（1）f（x）
2xx
（32x）0；
lg（2x
1）
（2）f（x）
lg（
xka）
lg（x
2
a
2）.
2x
x
2
0
解：
（1）
2x
1
0
，解得函数定义域为（
1
3
3
2x
1
1
1）
（1,）
（,2].
2
2
2
3
2x
0
（2）
x
ka
，（先对a进行分类讨论，然后对
k进行分类讨论），
2
x
2
a
①当a=0（k
R）时，函数定义域为（0,
）；
②当a
0
x
ka
时，得
a或x
，
x
a
1）当
a
0
时，函数定义域为
（ka,
），
k
1
2）当
a
0
时，函数定义域为
（a,
），
1
k
1
3）当
a
0
时，函数定义域为
（ka,
a）
（a,
）；
k
1
③当a
0时，得
x
ka
，
x
a或x
a
1）当
a
0
时，函数定义域为
（ka,
）
，
k
1
2）当
a
0
时，函数定义域为
（
a,
），
1
k
1
3）当
a
0
时，函数定义域为
（ka,a）
（
a,
）。
k
1
点评：
在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（
2）小题的解析式中含有参
数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力
例5．已知函数
fx
定义域为（0，2），求下列函数的定义域：
5
f（x
2
1
（1）
2
；
（2）y
）
。
f（x）23
log1
（2
x）
2
解：
（1）由0＜x2＜2，
得
点评：
本例不给出f（x）的解析式，即由f（x）的定义域求函数f[g（x）]的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题
中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到
变式题：
已知函数
f（x）=
3
3x
1
的定义域是R，则实数a的取值范围是（
）
ax2
ax
3
1
B．－12＜a≤0
C．－12＜a＜0
D．a≤
1
A．a＞
3
3
解：
由a=0或
a
0,
可得－12＜a≤0，答案B。
a2
4a
（
3）
0,
题型四：
函数值域问题
例5．求下列函数的值域：
（1）y
3x2
x
2；
（2）y
x2
6x5；（3）y
3x
1
x
；
2
（4）y
x
41
x；（5）y
x
1x2；（6）y|x
1||x
4|；
2
2；（8）y
2
x。
（7）y
2x
x
2x
x
1
（x
1
）；（9）y
1
sin
x2
x
1
2x
1
2
2
cosx
解：
（1）（配方法）
y
3x
2
x
2
1
）
2
23
23
，
3（x
12
12
6
2
x
2的值域为[
23
）
∴y3x
12
改题：
求函数
y
2
x
2
，x
[1,3]
的值域。
3x
解：
（利用函数的单调性）函数
y
3x2
x
2在x
[1,3]
上单调增，
∴当x1
时，原函数有最小值为
4；当x
3
时，原函数有最大值为
26
∴函数y
3x
2
2
，x
[1,
3]
的值域为[4,26]。
x
6
（2）求复合函数的值域：
设
x2
6x
5
（
0），则原函数可化为
y
。
又∵
2
6x
5
2
44，
x
（x3）
∴0
4，故
[0,2]，
∴y
x2
6x
5的值域为[0,2]
（3）（法一）反函数法：
y
3x
1的反函数为y
2x
1，其定义域为{x
R|x
3}，
x
2
x
3
∴原函数y
3x
1的值域为{y
R|y
3}
x
2
（法二）分离变量法：
y
3x
1
3（x
2）
7
7
，
x
2
x
2
3
x2
∵
7
，∴3
7
3
，
0
x
2
x2
∴函数y
3x
1的值域为{y
R|y
3}。
x
2
（4）换元法（代数换元法）：
设
t
1
x
0
，则x
1
t
2，
∴原函数可化为
y
1
2
4t
（t
2
5（t
0）
，∴y
5
，
t
2）
∴原函数值域为（
5]
注：
总结y
ax
b
cx
d
型值域，
变形：
y
ax
2
b
cx
2
d或y
ax2
b
cx
d
（5）三角换元法：
∵1
x2
0
1
x
1，∴设x
cos
[0,
]，
则y
cos
sin
2sin（
）
4
∵
[0,
]，∴
[
5
，∴sin（
）
2
，
4
]
[
1]
4
4
4
2
∴
2sin（
4
）
[1,
2]，
∴原函数的值域为
升级会员 