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1、高三数学一轮复习必备精品2函数概念与表示高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载第二讲 函数概念与表示备注：【高三数学一轮复习必备精品 共 42 讲 全部免费 欢迎下载 】一【课标要求】1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域 和值域；了解映射的概念；2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、

2、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5学会运用函数图象理解和研究函数的性质二【命题走向】函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大预测 2010 年高考对本

3、节的考察是：1题型是 1 个选择和一个填空；2热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。三【要点精讲】1函数的概念：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作： y=f( x)， x A。其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f (x)| x A 叫做函数的值域。注意：（ 1）“ y=f(x)”是函数符号，可

4、以用任意的字母表示，如“ y=g( x)”；（ 2）函数符号“ y=f( x) ”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（ 1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量 x 的实际意

5、义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等1式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。3两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（

6、3）区间的数轴表示5映射的概念一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意 一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ f ： A B”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（ 1）这两个集合有先后顺序， A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么

7、意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思6常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系7分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8复合函数若 y=f(u)， u=g(x),x ( a， b)，u (m,n) ，那么 y=f g( x) 称为复合函数， u 称为中间变量，它的取值范围是 g(x) 的值域四【典例解析】题型 1：函数概念24

8、 x6, x 0例 1 21.（ 2009天津卷文）设函数f ( x )xf (1) 的解集则不等式 f ( x)x 6 , x 0是（）A. (3,1) (3,)B. (3,1)(2 ,)C. (1,1) (3,)D. (, 3)(1,3 )答案 A2解析由已知，函数先增后减再增当 x0， f ( x)2f(1)3 令 f ( x )3 ,解得 x1, x3 。当 x0， x63 , x3故 f ( x )f (1)3，解得3 x1或 x 3【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解（2） 江苏省如皋中学 20072008学年度第二学期阶段考试高三数学（理科）

9、请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （ x）： 图 象 关 于 y轴 对 称 ； 对 定 义 域 内 任 意 不 同 两 点 x1、 x 2 ,都 有f ( x1 ) f ( x2 )2 f ( x1x 2 ) 答：.2答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如f ( x )x 2 , f ( x )cos x(x), f ( x )| tan x | (x) 等等 .2222首先由 知 f （x）为偶函数，由 知 f（x）在定义域内图象上凸，然后在基本初等函数中去寻找符合这两点的模型函数【总结点评】本题主要考查函数的图象与性质，问题以开放的形式出现，着重突出对考生数学素质的要

10、求 .点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功3xx1,变式题：（ 2009北京文）已知函数,2 ，则 x.f ( x)x,x若 f ( x)1,w wk5 答案log 32w 解析5 u 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值 .属于基础知识、 基本运算的考查.x1x1无解，故应填 log 3 2 .由2x log 3 2 ，2x23 xx例 2（ 2007安徽 文理 15）（ 1）函数 fx 对于任意实数x 满足条件 f x 215, 则，若 f 1fxf f 5 _ _ ；3解：（ 1）由 f x 21x 41f (

11、x)，得 ff xf x2所以 f (5)f (1)5 ，则 f f 5f ( 5)f (1)11。f (12)5点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。题型二：判断两个函数是否相同例 3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（ 1） f（ x） =x 2 ，g（ x） = 3x 3 ；（ 2） f（ x） = | x | ， g（ x） =1x0,x1 x0;（ 3） f（ x） = 2 n 1 x 2 n1 ， g（x） =（ 2 n 1 x ） 2n 1 （ n N* ）；（ 4） f（ x） = x x1 ， g（x） = x 2x ；（5） f（

12、 x） =x2 2x1， g（ t） =t2 2t 1。解：（ 1）由于 f（ x） =x 2 =|x|， g（ x）= 3 x 3=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（ 2）由于函数 f（ x）= | x | 的定义域为（，1x0,0）（ 0 ，+），而 g（x）=x1x0 ;的定义域为 R，所以它们不是同一函数；（3）由于当 n N* 时， 2n 1 为奇数，f（ x）= 2 n 1 x 2 n 1 =x， g（ x） =（ 2 n 1 x ） 2 n 1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（ 4）由于函数 f（ x）= x x 1 的定义

13、域为 x|x 0 ，而 g（ x）= x 2 x 的定义域为 x|x 1 或 x 0 ，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数 ；（ 5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数点评：对于两个函数 y=f （ x）和 y=g（ x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时， y=f （x）和 y=g（ x）才表示同一函数 若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。（ 1）第（ 5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透 要知道，在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下， 自变量变换字母， 以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响

14、，比如 f （ x） =x2 +1，f （ t ）=t 2 +1，f （ u+1） =（ u+1） 2 +1 都可视为同一函数。（ 2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数题型三：函数定义域问题4例 4求下述函数的定义域：2（ 1） f ( x)2 x x(3 2 x) 0 ；lg( 2 x1)（ 2） f ( x)lg(x ka )lg( x2a2 ).2 xx20解：（ 1）2 x10，解得函数定义域为 (1332 x11,1)(1, )( ,2.22232 x0（ 2）xka，（先对 a 进行分类讨论，然后对k 进行分类讨论），2x2a当 a

15、=0 (kR ) 时，函数定义域为 ( 0,) ；当 a0xka时，得a或 x，xa1）当a0时，函数定义域为( ka ,) ，k12）当a0时，函数定义域为( a ,) ，1k13）当a0时，函数定义域为( ka ,a )(a ,) ；k1当 a0 时，得xka，xa或 xa1）当a0时，函数定义域为( ka ,)，k12）当a0时，函数定义域为(a ,) ，1k13）当a0时，函数定义域为( ka , a )(a ,) 。k1点评：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力例 5已知函数f x定义域为 (0，

16、2) ，求下列函数的定义域：5f ( x21(1)2； (2) y)。f ( x ) 23log 1(2x )2解：（ 1）由 0 x 2 2，得点评：本例不给出 f ( x) 的解析式，即由 f ( x) 的定义域求函数 f g( x) 的定义域 关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到变式题：已知函数f （x） =33x1的定义域是 R ，则实数 a 的取值范围是（）ax 2ax31B 12 a0C 12a 0D a1A a33解：由 a=0 或a0,可得 12 a 0，答案 B。a 24 a(3)

17、0,题型四：函数值域问题例 5求下列函数的值域：（ 1） y3 x 2x2 ；（ 2） yx 26 x 5 ；（ 3） y3 x1x；2（ 4） yx4 1x ；（ 5） yx1 x2 ；（ 6） y | x1 | | x4 | ；22 ；（ 8） y2x 。（ 7） y2 xx2 xx1( x1) ；（ 9） y1sinx2x12 x122cos x解：（ 1）（配方法）y3 x2x21)22323，3( x121262x2 的值域为 23,) y 3 x12改题：求函数y2x2， x1, 3的值域。3 x解：（利用函数的单调性）函数y3 x 2x2 在 x1, 3上单调增，当 x 1时，原

18、函数有最小值为4 ；当 x3时，原函数有最大值为2 6函数 y3 x22， x1,3的值域为 4, 26 。x6（ 2）求复合函数的值域：设x 26 x5（0 ），则原函数可化为y。又26 x524 4 ，x( x 3) 04 ，故0, 2 ， yx 26 x5 的值域为 0, 2（ 3）（法一）反函数法：y3 x1 的反函数为 y2 x1 ，其定义域为 xR | x3 ，x2x3原函数 y3 x1 的值域为 yR | y3x2（法二）分离变量法：y3 x13( x2)77，x2x23x 27， 373，0x2x 2函数 y3 x1 的值域为 yR | y3 。x2（ 4）换元法（代数换元法）：设t1x0，则 x1t2 ，原函数可化为y124t(t25( t0)， y5，t2)原函数值域为 (, 5注：总结 yaxbcxd型值域，变形： yax2bcx2d 或 yax 2bcxd（ 5）三角换元法： 1x 201x1 ，设 xcos,0, ，则 ycossin2 sin()40, ，,5， sin()2，4,144422 sin(4) 1,2 ，原函数的值域为