届高三理科数学试题79.docx

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届高三理科数学试题79

2016届高三理科数学试题（79）

一.选择题（每小题5分，共60分；每小题的答案是唯一的，请写入答题卷）

1．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）

A．1B．3C．4D．8

2．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）

A．f：

x→y=x2B．f：

x→y=3x﹣2C．f：

x→y=﹣x+4D．f：

x→y=4﹣x2

3．条件p：

|x|＞1，条件q：

x＜﹣2，则p是q的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．非充分非必要条件

4．函数f（x）=lg

的定义域为（）

A．[0，1]B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

5．设a∈

，则使函数y=xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）

A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，3

6．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=

，若f

（1）=﹣5，则f（f（5））=（）

A．﹣5B．

C．

D．5

7．定义运算：

，则函数f（x）=1⊗2x的图象是（）

8．函数f（x）=1+log2x和g（x）=21+x在同一直角坐标系下的图象大致是（）

9．已知f（x）=

，则f（8）等于（）

A．4B．0C．

D．2

10．已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，a，b∈R．对于命题”若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）”有如下结论：

①其逆命题为真；②其否命题为真；③其逆否命题为真；④其逆命题和否命题有且只有一个为真．其中正确的命题结论个数为（）个．

A．1B．2C．3D．4

11．函数

是R上的减函数，则a的取值范围是（）

A．（0，1）B．

C．

D．

12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f

（1）=2，则f（﹣3）等于

（）

A．2B．3C．6D．9

二.填空题（每小题5分，共20分，答案请写入答题卷）

13．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，4}，那么A∪（∁UB）=__________．

14．命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是__________．

15．已知指数函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为__________．

16．定义在R上的偶函数f（x）满足：

f（x+1）=﹣f（x），且在[0，1]上是增函数，下面关于f（x）的判断：

①f（x）是周期函数；

②f（x）的图象关于直线x=1对称；

③f（x）在[1，2]上是减函数；

④f（x）在[﹣2，0]上是减函数．

其中正确的判断是__________（把你认为正确的判断都填上）．

三.解答题（共80分，答案请写入答题卷）

17．（13分）已知U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|（x﹣2）（x﹣4）＞0}，求

（1）A∩B

（2）CU（A∪B）．

18．（13分）已知p：

方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：

方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．

19．（14分）已知函数

．

（1）求f（x）的定义域；

（2）讨论f（x）的奇偶性；

（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．

20．函数

的定义域为（0，1]（a为实数）．

（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；

（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；

（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

21．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，

（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；

（2）在

（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；

（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

参考答案

一.选择题（每小题5分，共60分；每小题的答案是唯一的，请写入答题卷）

1．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）

A．1B．3C．4D．8

【考点】并集及其运算．

【分析】根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．

【解答】解：

A={1，2}，A∪B={1，2，3}，

则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，

所以满足题目条件的集合B共有22=4个．

故选择答案C．

【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想．

2．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）

A．f：

x→y=x2B．f：

x→y=3x﹣2C．f：

x→y=﹣x+4D．f：

x→y=4﹣x2

【考点】映射．

【专题】应用题．

【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．

判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．

【解答】解：

对于对应f：

x→y=x2，当1≤x≤2时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，

在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．

对于对应f：

x→y=3x﹣2，当1≤x≤2时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，

在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．

对于对应f：

x→y=﹣x+4，当1≤x≤2时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，

在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．

对于对应f：

x→y=4﹣x2，当x=2时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，

故D中的对应不能构成A到B的映射．

故选D．

【点评】本题考查映射的定义，一个对应能构成映射时，必须使A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素

与之对应．

3．条件p：

|x|＞1，条件q：

x＜﹣2，则p是q的（）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充要条件D．非充分非必要条件

【考点】充要条件．

【分析】先求出条件P的解，然后再判断p和q之间的相互关系．

【解答】解：

∵P：

x＞1或x＜﹣1，q：

x＜﹣2，

∴p是q的必要不充分条件．

故选：

A．

【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，解题时要认真分析条件间的相互关系．

4．函数f（x）=lg

的定义域为（）

A．[0，1]B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】对数的真数一定要大于0，进而构造不等式进行求解．

【解答】解：

由

知1﹣x2＞0，即x2＜1，进而得到﹣1＜x＜1

故函数

的定义域为（﹣1，1）

故选B

【点评】考查对数真数的要求，即，真数要大于0．

5．设a∈

，则使函数y=xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）

A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，3

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断．

【专题】计算题．

【分析】分别验证a=﹣1，1，

，3知当a=1或a=3时，函数y=xa的定义域是R且为奇函数．

【解答】解：

当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；

当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；

当a=

时，函数y=

的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．

当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．

故选A．

【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质．

6．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=

，若f

（1）=﹣5，则f（f（5））=（）

A．﹣5B．

C．

D．5

【考点】函数的周期性．

【专题】计算题．

【分析】先通过f（x+2）=

可推断函数f（x）是以4为周期的函数．进而可求得f（5）=f

（1），f（﹣5）=f（﹣1）；根据f（x+2）=

可求得f（﹣1）=

，进而可求得f（f（5））．

【解答】解：

∵f（x+2）=

∴f（x+2+2）=

=f（x）

∴f（x）是以4为周期的函数

∴f（5）=f（1+4）=f

（1）=﹣5

f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）

又∵f（﹣1）=

=

=﹣

∴f（f（5））=﹣

故选B

【点评】本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中f（x+2）=

的关系式．

7．定义运算：

，则函数f（x）=1⊗2x的图象是（）

【考点】分段函数的应用．

【专题】新定义．

【分析】本题需要明了新定义运算a⊗b的意义，即取两数中的最小值运算．之后对函数f（x）=1⊗2x就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解．

【解答】解：

由已知新运算a⊗b的意义就是取得a，b中的最小值，因此函数f（x）=1⊗2x=

，因此选项A中的图象符合要求．

故选A

【点评】本题考查分段函数的概念以及图象，新定义问题的求解问题．注重对转化思想的考查应用．

8．函数f（x）=1+log2x和g（x）=21+x在同一直角坐标系下的图象大致是（）

【考点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．

【解答】解：

∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上平移1而得，

∴其图象必过点（1，1）．

故排除A、C，

又∵g（x）=2x+1的图象是由y=2x的图象左平移1而得

故其图象也必过（﹣1，1）点，

故排除B

故选D．

【点评】本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题，属于中档题．

9．已知f（x）=

，则f（8）等于（）

A．4B．0C．

D．2

【考点】函数的值．

【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】由f（x）=

，导出f（8）=f（﹣2）=2﹣2，由此能求出结果．

【解答】解：

∵f（x）=

，

∴f（8）=f（6）=f（4）=f

（2）=f（0）=f（﹣2）

=2﹣2=

．

故选C．

【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

10．已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，a，b∈R．对于命题”若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）”有如下结论：

①其逆命题为真；②其否命题为真；③其逆否命题为真；④其逆命题和否命题有且只有一个为真．其中正确的命题结论个数为（）个．

A．1B．2C．3D．4

【考点】命题的真假判断与应用；四种命题的真假关系．

【专题】应用题．

【分析】逆否命题与原命题真假相同，所以判断逆否命题的真假可以直接判断原命题的真假；否命题与逆命题真假相同，所以判断否命题的真假可以直接判断逆命题的真假

【解答】解：

命题：

若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．

面先证明原命题：

因为a+b≥0，所以a≥﹣b，b≥﹣a

由于f（x）为增函数，所以f（a）≥f（﹣b），f（b）≥f（﹣a）

所以f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．故命题为真，根据互为逆否命题的真假相同可知，其逆否命题为真

下面证明否命题：

若a+b＜0，则f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）

由a+b＜0可得a＜﹣b，可得f（a）＜f（﹣b）

由b＜﹣a可得f（b）＜f（﹣a）

所以，f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）

否命题成立，则由逆命题与否命题互为逆否命题，真假相同，可知逆命题为真

①其逆命题为真正确；②其否命题为真正确；③其逆否命题为真正确；④其逆命题和否命题有且只有一个为真，错误．

故选C

【点评】本题主要考查了抽象函数的单调性的证明，互为你否命题的真假关系的应用，属于知识的简单应用．

11．函数

是R上的减函数，则a的取值范围是（）

A．（0，1）B．

C．

D．

【考点】函数单调性的性质．

【专题】计算题．

【分析】先根据函数y=﹣x+3a在（﹣∞，0）是减函数，再根据函数y=ax在[0，+∞）上是减函数，最后只要使y=﹣x+3a的最小值大于或等于y=ax的最小值即可．

【解答】解：

由题意可得f（x）=ax是减函数

∴0＜a＜1

又∵

是R上的减函数

∴当x=0时3a≥a0

即3a≥1

∴a

又∵0＜a＜1

∴

∴a的取值范围是

【点评】分别判断出各段函数在其定义区间的单调性，再根据最值的大小保证函数在R上具有单调性．

12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f

（1）=2，则f（﹣3）等于

（）

A．2B．3C．6D．9

【考点】函数的值．

【专题】压轴题．

【分析】根据关系式f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0求出f（0），再令x=y=1，求出f

（2），同样的道理求出f（3），最终求出f（﹣3）的值．

【解答】解：

令x=y=0⇒f（0）=0，令x=y=1⇒f

（2）=2f

（1）+2=6；

令x=2，y=1⇒f（3）=f

（2）+f

（1）+4=12，

再令x=3，y=﹣3得0=f（3﹣3）=f（3）+f（﹣3）﹣18⇒f（﹣3）=18﹣f（3）=6

故选C．

【点评】本题主要考查已知函数的关系式求函数值的问题．这里经常取一些特殊点代入，要注意特殊点的选取技巧．

二.填空题（每小题5分，共20分，答案请写入答题卷）

13．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，4}，那么A∪（∁UB）={1，3，5}．

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】由集合运算性质及已知的U、A、B不难给出答案

【解答】解：

A∪（CUB）

={1，3}∪{1，5}

={1，3，5}

故答案为：

={1，3，5}

【点评】集合的运算一般难度不大，属于送分题，处理的原则是：

求稳不求快

14．命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．

【考点】命题的否定．

【专题】阅读型．

【分析】根据命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．从而得到答案．

【解答】解：

∵命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”是特称命题

∴否定命题为：

∀x∈R，x2﹣2x+1≥0

故答案为：

∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．

【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．

15．已知指数函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为2．

【考点】指数函数的单调性与特殊点．

【专题】计算题．

【分析】由已知中指数函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，根据指数函数一定为单调函数，则最大值与最小值的和一定等于a+1，由此构造方程，解方程即可得到答案．

【解答】解：

若a＞1，则指数函数y=ax在[0，1]上单调递增；

则指数函数y=ax在[0，1]上的最小值与最大值分别为1和a，

又∵指数函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，

则a+1=3，解得a=2

若0＜a＜1，则指数函数y=ax在[0，1]上单调递减；

则指数函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为1和a，

又∵指数函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，

则a+1=3，解得a=2（舍去）

故答案为：

2

【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，其中根据指数函数一定为单调函数，则最大值与最小值的和一定等于a+1，并构造出关于a的方程，是解答本题的关键．

16．定义在R上的偶函数f（x）满足：

f（x+1）=﹣f（x），且在[0，1]上是增函数，下面关于f（x）的判断：

①f（x）是周期函数；

②f（x）的图象关于直线x=1对称；

③f（x）在[1，2]上是减函数；

④f（x）在[﹣2，0]上是减函数．

其中正确的判断是①、②、③（把你认为正确的判断都填上）．

【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间；函数奇偶性的性质．

【专题】综合题．

【分析】化简函数f（x）：

f（x+1）=﹣f（x），求出周期，判断①；利用偶函数单调性，判断②③④，推出正确结果．

【解答】解：

f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以函数f（x）是以2为周期的偶函数，所以①正确；

又函数在[0，1]上是增函数，所以②正确；③正确；④错误．

故答案为：

①、②、③．

【点评】本题考查函数的周期性，函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．

三.解答题（共80分，答案请写入答题卷）

17．（13分）已知U=R，A={x||x﹣3|＜2}，B={x|（x﹣2）（x﹣4）＞0}，求

（1）A∩B

（2）CU（A∪B）．

【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．

【专题】集合．

【分析】求出A，B中不等式的解集，确定出集合A，

（1）找出A与B的公共部分，即可求出两集合的交集；

（2）求出两集合的并集，由全集U=R，找出不属于A∪B的部分，即可确定出所求的集合．

【解答】解：

（1）∵|x﹣3|＜2，

∴﹣2＜x﹣3＜2，

∴1＜x＜5，

∴A=（1，5），

B={x|（x﹣2）（x﹣4）＞0}=（﹣∞，2）∪（4，+∞），

∴A∩B=（1，2）∪（4，5）；

（2）∵A∪B=R，

∴CU（A∪B）=∅．

【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．

18．（13分）已知p：

方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：

方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．

【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

【专题】分类讨论．

【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．

【解答】解：

由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，

若p为真，则其等价于

，解可得，m＞2；

若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，

若p假q真，则

，解可得1＜m≤2；

若p真q假，则

，解可得m≥3；

综上所述：

m∈（1，2]∪[3，+∞）．

【点评】本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意，转化为集合间的包含关系，综合可得答案．

19．（14分）已知函数

．

（1）求f（x）的定义域；

（2）讨论f（x）的奇偶性；

（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．

【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．

【专题】计算题；综合题．

【分析】

（1）根据分式函数分母不能为零和对数函数真数大于零求解；

（2）由

（1）知定义域关于原点对称，再分析f（﹣x）与f（x）的关系；

（3）先在给定的区间上任取两个变量，且界定其大小，再作差变形，再与零进行比较，关键是变形到位用上条件．

【解答】解：

（1）

⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，

故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；

（2）∵

，

∴f（x）是奇函数；

（3）设0＜x1＜x2＜1，则

∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，

（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0

∴

，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减．

另解：

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0

故f（x）在（0，1）内是减函数．

【点评】本题主要考查函数的基本性质，涉及到定义域的求法，要注意分式函数，根式函数和基本函数的定义域；还考查了奇偶性的判断，要注意定义域，

20．函数

的定义域为（0，1]（a为实数）．

（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数y=f（x）的值域；

（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；

（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域；函数的单调性与导数的关系．

【专题】综合题．

【分析】（I）将a的值代入函数解析式，利用基本不等式求出函数的值域．

（II）求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出a，构造函数，通过求函数的最小值，求出a的范围．

（III）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1）上的单调性，求出函数的最值．

【解答】解：

（Ⅰ）显然函数y=f（x）的值域为

；

（Ⅱ）∵

在定义域上恒成立

而﹣2x2∈（﹣2，0）

∴a≤﹣2

（II）当a≥0时，函数y=f（x）在（0.1]上单调增，无最小值，

当x=1时取得最大值2﹣a；

由

（2）得当a≤﹣2时，函数y=f（x）在（0.1]上单调减，无最大值，

当x=1时取得最小值2﹣a；

当﹣2＜a＜0时，函数y=f（x）在

上单调减，在

上单调增，无最大值，

当

时取得最小值

．

【点评】求函数的单调性常借助导数，当导函数大于0对应的区间是函数的单调递增区间；当导函数小于0对应的区间是函数的单调递减区间．求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论．

21．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，

（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；

（2）在

（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；

（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

【考点】二次函数的性质．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】

（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a﹣b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；

（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．

（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．

【解答】解：

（1）∵f（﹣1）=0，

∴a﹣b+1=0①

又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0

且由

知

即4a﹣b2=0②

由①②得a=1，b=2

∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．

∴

（2）由

（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=