高三全真模拟数学试题.docx

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高三全真模拟数学试题

2021年高三全真模拟数学试题

数学Ⅰ5.30

注意事项

考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：

本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.

1.设集合U={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，则=______.

2.若复数为实数,则x的值为_______.

3.抛物线x=2y2的焦点坐标为_______.

4.如图是某次青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图,这组数据的平均数是_____.

78

844467

9136

5.若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出3名代表参加学校会议,则甲被选中的概率为______.

6．流程图如右图所示的流程图的运行结果是.

7．已知函数，曲线在点处的切线方程是，则.

8．用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是.

9．已知函数f（x）＝

，若任意实数b，总存在实数x0，使得f（x0）＝b，则实数a的取值范围是．

10．已知且，则.

11．在中，，为边BC上的两点，且满足：

，则的值为____________.

12．平面直角坐标系中，，满足：

，则直线与圆的公共点个数为__________.

13．对于任意实数，不等式恒成立，其中，则实数的取值范围是_______________.

14．等差数列各项均为正整数，满足：

且，数列满足，数列与所有公共项由小到大排列得到数列，数列满足，则的最大值为_________.

二、解答题：

本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．（本小题满分14分）

已知向量

，函数的图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为

（1）求的值，并求函数在区间上的单调增区间；

（2）中，角的对边分别为，求的值．

16．（本小题满分14分）

如图，平面平面，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，，．求证：

（1）平面；

（2）∥平面．

⒘（本小题满分14分）公差不为零的等差数列的前项之和为，且对成立．

⑴求常数的值以及数列的通项公式；

⑵设数列中的部分项，恰成等比数列，其中k1＝2，,k3＝14，

求．

18.（本小题满分16分）如图：

在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为的球形工件吊起平放到高的平台上，工地上有一个吊臂长的吊车，吊车底座高.当物件与吊臂接触后，钢索CD长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？

19.（本小题满分16分）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点.

①若直线垂直于轴，求的大小;

②若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？

如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

20.（本小题满分16分）已知两函数

，

（1）求证：

三数成等差数列；

（2）假设对一切实数，恒成立，函数取极大值和极小值时对应点分别为和，

求直线的斜率；

记函数，如果满足集合的最大实数的值是,求实数.

亭湖高级中学xx届高三数学全真模拟

数学Ⅱ（附加题）5.30

注意事项

考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。

本试卷满分40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

21（B）.已知矩阵A＝

，向量β＝

.求向量α，使得A2α＝β.

21（C）.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．

22.必做题,本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1ABAC1，AB⊥AC，M，N分别是棱CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上．

（1）求直线PN与平面ABC所成的角最大时，线段的长度；

（2）是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所成的二面角为，若存在，请指明点P的位置；若不存在，请说明理由．

23.（本题满分10分）对正整数n,记为数用十进制表示时各数位数字的和,如时,,从而;时,,从而.

（1）求.

（2）求的最小值.

亭湖高级中学xx届高三数学全真模拟答案

1.;2.-2;3;4.87;5.;6.20;7.;8.;

9.－5≤a≤4;10.;11.;12.2;13.;14.2

15.（Ⅰ）解：

2分

由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为，所以3分

令，解得（k∈Z）5分

又，所以所求单调增区间为7分

（Ⅱ）解：

或

或（k∈Z），又，故9分

∵，∴

11分

由正弦定理得，∴14分

16.证明：

由题意可知，为等腰直角三角形，

为等边三角形．…………………2分

（1）因为为边的中点，所以，

因为平面平面，平面平面，

平面，所以面．…………………5分

因为平面，所以，

在等腰三角形内，，为所在边的中点，所以，

又，所以平面；…………………8分

（2）连AF交BE于Q，连QO．

因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，

所以，且Q是△PAB的重心，…………………10分

于是，所以FG//QO.…………………12分

因为平面EBO，平面EBO，所以∥平面．……………14分

【注】第

（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH//平面EBO证得.

17.解：

⑴法一：

条件化为2

＝an＋k对n∈N*成立．

设等差数列公差为d，则2

＝a1＋（n－1）d＋k．

分别令n＝1，2，3得：

由①＋③－2⨯②得，

＋

＝2

．两边平方得，4a1＋d＝2

．

两边再平方得，4a12－4a1d＋d2＝0．解得d＝2a1．

代入②得，4

＝3a1＋k，④

由④－①得，a1＝

．所以a1＝0，或a1＝1．

又当a1＝0时，d＝0不合题意．所以a1＝1，d＝2．

代入①得k＝1．

而当k＝1，a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，an＝2n－1，等式Sn＝

对n∈N*成立．

所以k＝1，an＝2n－1．

法二：

设等差数列的首项为a1，公差为d，

则Sn＝na1＋

d＝

n2＋（a1－

）n，an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d）．

代入Sn＝

得，

n2＋（a1－

）n＝

2，

即2dn2＋（4a1－2d）n＝d2n2＋2d（a1＋k－d）n＋（a1＋k－d）2．…4分

因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，

因为d≠0，所以解得，

所以常数k＝1，通项公式an＝2n－1．……8分

⑵设cn＝a

，则数列{cn}为等比数列，且c1＝a

＝a2＝3，c3＝a

＝a14＝27．

故等比数列{cn}的公比q满足q2＝

＝9．

又cn＞0，所以q＝3．所以cn＝c1qn－1＝3⨯3n－1＝3n．……12分

又cn＝a

＝2kn－1，所以2kn－1＝3n．

由此可得kn＝

⨯3n＋

．……14分

18.解：

吊车能把球形工件吊上的高度取决于吊臂的张角，由图可知，

……５分

所以，　　　　　　　　　　…………８分

由，得

　　　　　　　　　　　　　　　　…………12分

时，12

同理，当时，，

所以当时，单调递增，当时，单调递减，

所以时，取最大值.　　　　　　　　　　　　　…………14分

所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到高的桥墩上.　　　　…………16分

19、

（1）设椭圆C的标准方程为，由题意知：

，所以椭圆C的标准方程为。

（4分）

（2）由

（1）得Q（-2,0）。

设AB，

当直线垂直于轴，的方程为，（5分）

的方程与C联列得（不妨设点A在轴上方），（6分）

此时,（8分）

当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形（10分）

证明如下：

由题意可设AB：

，联列方程组得

显然，=

=0，

所以（12分）

假设存在直线使得为等腰三角形，则QA=QB.取AB的中点M,，

，（13分）

连接QM,则QMAB,记点（为N，所以，所以与不垂直，矛盾，故不存在直线使得为等腰三角形。

（16分）

20.解：

（1）

……2分

又

所以三数成等差数列……4分

（2）

当时，显然成立

当时，

若，则取且，则左边0，矛盾

若，同理，不成立

……6分

又，所以，

由得，列表

+

0

—

0

+

极大

极小

同理在上单调递减，在单调递增

在上单调递增，在上单调递减，在单调递增……8分

所以，……10分

得

与

同理在上单调递增，在上单调递减

在上，……12分

若，则在上恒单调递增，且是的真子集

，从而取不到，矛盾

则，即……14分

当时，，成立

当时，，不必考虑

所以……16分

亭湖高级中学xx届高三数学全真模拟附加题答案

21（B）解：

A2＝

＝

.……4分

设α＝

，由A2α＝β，得

＝

，

从而

解得

所以α＝

.……10分

点拨：

本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．

21（C）.解：

曲线C的普通方程是．………………………………2分

直线l的普通方程是．………………………………4分

设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是

．……………………7分

因为，所以

当，即Z），即Z）时，d取得最大值．

此时．

综上，点M的极坐标为时，该点到直线l的距离最大．……10分

注凡给出点M的直角坐标为，不扣分．

22．解：

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），B1（1，0，1），

M（0，1，），N（，，0），，

；．……………2分

（1）∵是平面ABC的一个法向量．

∴

，

∴当时，取得最大值，此时，

答：

当时，取得最大值，此时．………………5分

（2）设存在，，设是平面PMN的一个法向量．

则得令x=3，得y=1+2，z=2-2；

∴，……………7分

∴

，化简得4（*）

∵△＝100－4413＝－108＜0，∴方程（*）无解，

∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º．…………10分

23.解

（1）.………………………4分.

（2）的最小值为3.证明如下:

由n与3n+1的奇偶性相反,知是大于3的奇数,从而;………………………………6分.

若,则只能是首位和末位为1,其余数字为0,即

又k=1时,n不存在,从而.由n与3n+1的最大公约数为1,（若设n与3n+1有公约数m,n=pm,3n+1=qm,其中,可得（q-3p）m=1,只有m=1）,所以但时所以

………………………………9分.

又=3,所以的最小值为3.………………………………10分.}34891884B衋t207725124儤221125660噠341678577蕷283636ECB滋-203264F66佦389949852顒24875612B愫394419A11騑229205988妈