数学北师大版九年级上册242解一元二次方程1.docx

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数学北师大版九年级上册242解一元二次方程1

24.2　解一元二次方程

第

课时

1.会根据平方根的定义解简单一元二次方程.

2.知道形如（ax+b）2=p的方程可以用直接开平方法求解.

3.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.

4.能利用配方法解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力.

1.通过对比、转化,总结得出配方法的解题步骤,提高学生的推理能力.

2.经历探索用配方法解一元二次方程的步骤,体验数学发现的过程,感悟转化思想在解一元二次方程中的运用.

3.通过用配方法熟练地解一元二次方程,培养学生的运算技巧,提高学生的计算能力.

1.通过师生的共同活动,培养学生积极参与、主动探索、敢于发表见解的精神.

2.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.

3.通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

4.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.

【重点】　利用配方法解简单的一元二次方程.

【难点】　通过配方把一元二次方程转化为（x+m）2=n（n≥0）的形式.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　预习教材P37~39.

导入一:

【课件展示】　一桶油漆可刷的面积为1500dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?

【师生活动】　学生思考,教师引导回答下列问题:

（1）设其中一个盒子的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为　　　　dm2; 

（2）题目中的等量关系为　　　　;因此,根据题意可列方程　　　　;化简可得　　　　. 

【师生活动】　学生在教师的引导下完成填空,教师及时引导和点拨.

追问:

如何解这个方程?

5和-5是方程的两个根,它们都符合问题的实际意义吗?

（棱长不能为负数,所以正方体的棱长为5dm）

【课件展示】

解:

设其中一个盒子的棱长为xdm,则一个正方体的表面积为6x2dm2.

根据题意,得10×6x2=1500,整理,得x2=25,

根据平方根的意义,得x=±5.

即x1=5,x2=-5（不合题意,舍去）.

答:

其中一个盒子的棱长为5dm.

导入二:

1.什么是一个数的平方根?

平方根有哪些性质?

2.计算:

9的平方根是　　　　,的平方根是　　　　. 

3.若x2=36,则x的值是　　　　. 

4.什么是完全平方公式?

【师生活动】　共同复习平方根的概念和性质及完全平方公式.

[设计意图]　由实际问题导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质及完全平方公式,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.

　　[过渡语]　我们复习了平方根的定义,根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方程,让我们尝试解这些方程吧.

试着做做

【课件展示】

1.根据平方根的意义,解下列方程:

（1）x2=4;

（2）（x+1）2=4.

【师生活动】　学生独立思考回答,教师规范书写.

解:

（1）根据平方根的意义得x=±2,

∴x1=2,x2=-2.

（2）根据平方根的意义得x+1=±2,

∴x+1=2或x+1=-2,

∴x1=1,x2=-3.

【思考】　方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一元二次方程?

（方程左边是完全平方式的形式,方程右边是一个非负数.即（x+m）2=n,其中n≥0）

【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳.

【课件展示】

2.解下列方程:

（1）x2+2x+1=4;

（2）x2+2x-3=0.

教师引导分析,思考下列问题并回答:

（1）方程

（2）与方程

（1）的区别是什么?

（方程

（1）左边可以化简成完全平方式,方程

（2）左边不是完全平方式）

（2）把常数项移项,如何把方程

（2）的左边化成与方程

（1）的左边相同?

（移项,得x2+2x=3,根据等式的性质,方程两边同时加1可以化成与

（1）的左边相同）

（3）能不能配方后解方程?

（配方后用直接开平方法可以求解）

【师生活动】　学生小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解题过程,教师点评.

解:

（1）原方程可化为（x+1）2=4,

∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,

∴x1=1,x2=-3.

（2）原方程可化为x2+2x+1=4,

即（x+1）2=4,

∴x+1=±2,∴x+1=2或x+1=-2,

∴x1=1,x2=-3.

追加提问:

通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?

【师生活动】　学生思考,教师提示:

由方程（x+1）2=4,得到方程x+1=2或x+1=-2,方程的次数有什么变化?

将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.

（“降次”是解一元二次方程的基本策略,解一元二次方程时就是把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的）

[设计意图]　通过探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识的衔接,同时练习的设计由浅入深,学生易于理解和掌握本节课的学习重点.引导学生对比练习

（1）和

（2）两个方程,发现它们之间的联系,从而找到解决问题的突破口,依据完全平方公式进行配方,体会从特殊到一般,从具体到抽象的思维过程.

做一做

【课件展示】　先把下列方程化为（x+m）2=n（m,n是常数,n≥0）的形式,再求出方程的根.

（1）x2+2x=48;

（2）x2-4x=12;

（3）x2-6x+5=0;

（4）x2+x-=0.

思路一

【课件展示】　根据完全平方公式填空:

（1）x2+2x+（　　）2=（x+　　　　）2; 

（2）x2-4x+（　　）2=（x-　　　　）2; 

（3）x2-6x+（　　）2=（　　）2;

（4）x2+x+（　　）2=（　　）2.

【师生活动】　学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:

当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性.

【思考】

1.当二次项系数为1时,配方时常数项和一次项系数之间有什么关系?

（当完全平方式的二次项为1时,常数项是一次项系数一半的平方）

2.以上方程左边能不能化成完全平方的形式?

3.你能将以上方程左边化成完全平方形式后求出该方程的解吗?

【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代表展示,教师点评过程中强调易错点.

解:

（1）原方程可化为x2+2x+1=49,

即（x+1）2=49,

∴x+1=±7,∴x+1=7或x+1=-7,

∴x1=6,x2=-8.

（2）原方程可化为x2-4x+4=16,

即（x-2）2=16,

∴x-2=±4,∴x-2=4或x-2=-4,

∴x1=6,x2=-2.

（3）原方程可化为x2-6x+9=4,

即（x-3）2=4,

∴x-3=±2,∴x-3=2或x-3=-2,

∴x1=5,x2=1.

（4）原方程可化为x2+x+=1,

即=1,

∴x+=±1,∴x+=1或x+=-1,

∴x1=,x2=-.

[设计意图]　通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为1时,常数项与一次项系数之间的关系,为用配方法解一元二次方程的学习打下基础,同时培养学生归纳猜想能力.通过练习,巩固将方程左边化为完全平方式后,直接开平方解一元二次方程的方法,为归纳配方法解方程做好铺垫.

思路二

【思考】

1.观察方程

（1）和

（2）,你能否将方程左边配成完全平方形式?

2.方程

（1）

（2）左边化成完全平方式时,方程右边怎样变化才能使方程仍然成立?

3.方程（3）（4）怎样转化成方程

（1）

（2）的形式?

4.你能将方程（3）（4）的左边化成完全平方形式吗?

5.请你尝试求出以上方程的解.

【师生活动】　学生独立思考后,给学生足够的时间进行小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解答过程,教师进行点评.

解决过程同思路一.

[设计意图]　通过教师提出的问题,学生有目的地进行合作交流,寻找解一元二次方程的新的方法,培养学生勇于探索的精神及合作意识,课件展示解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.

归纳总结:

【课件展示】

通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

【思考】　你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?

【师生活动】　小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结.

【课件展示】

配方法解一元二次方程的步骤:

（1）移项（常数项移到方程右边）;

（2）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）;

（3）开平方;

（4）解出方程的根.

[设计意图]　通过小组合作归纳结论,培养学生合作意识和归纳总结能力.

例题讲解

【课件展示】

　用配方法解下列方程:

（1）x2-10x-11=0;

（2）x2+2x-1=0;

【师生活动】　学生独立完成,小组内交流答案,比一比哪个小组所用时间短,并且正确率高,教师在巡视过程中帮助个别有困难的学生.

解:

（1）移项,得x2-10x=11.

配方,得x2-10x+52=11+52,

即（x-5）2=36.

两边开平方,得x-5=±6.

所以x1=11,x2=-1.

（2）移项,得x2+2x=1.

配方,得x2+2x+12=1+12,

即（x+1）2=2,

两边开平方,得x+1=±.

所以x1=-1+,x2=-1-.

[设计意图]　通过练习进一步巩固配方法解一元二次方程的步骤,通过比赛形式训练学生的计算能力,培养学生的竞争意识.

做一做:

【课件展示】　对于方程2x2+4x+1=0,如何用配方法求解呢?

教师引导分析:

（1）该方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方?

（观察方程移项后,二次项系数不为1,所以不能直接配方）

（2）观察该方程和上边方程有什么区别?

（二次项系数不为1）

（3）如何把二次项系数化为1?

（根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数可得）

（4）根据上边的分析,尝试完成解方程.

【师生活动】　小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当提示.

小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨.

解:

移项,得2x2+4x=-1,

二次项系数化为1,得x2+2x=-,

配方,得x2+2x+1=-+1,

（x+1）2=,∴x+1=±,

∴x1=-1+,x2=-1-.

思考并回答:

用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?

[设计意图]　几个问题的设计是层层递进的,化解了教学的难度,学生在探索、交流的过程中掌握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归纳总结能力.

【课件展示】

　用配方法解方程:

2x2+3=6x.

【师生活动】　学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生.

解:

移项,并将二次项系数化为1,

得x2-3x=-.

配方,得x2-3x+-,

即.

两边开平方,得x-=±.

所以x1=,x2=.

[知识拓展]　

1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如（ax+b）2=c（c≥0）的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.

2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.

3.方程（ax+b）2=c中,当c<0时,方程没有实数根.

4.配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程右边,再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方（二次项系数必须为1）.

5.用配方法解一元二次方程,实质就是对一元二次方程变形,转化成直接开平方法所需要的形式.配方为了降次,利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

1.依据平方根的概念可解形如（ax+b）2=c（c≥0）的一元二次方程.

2.通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

2.解一元二次方程的基本思路:

降次——把一元二次方程化为（x+h）2=k（k≥0）的形式后两边开平方,使原方程变为两个一元一次方程,

3.用配方法解一元二次方程的一般步骤:

（1）移项（把常数项移到方程的右边）;

（2）把二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数a）;（3）配方（方程两边都加上一次项系数一半的平方）;（4）开平方（根据平方根意义,方程两边开平方）;（5）求解（解一元一次方程）.

1.若代数式2x2-6的值为12,则x的值为（　　）

A.3B.

C.±3D.-

解析:

由题意可得2x2-6=12,移项,得2x2=18,系数化为1,得x2=9,直接开平方,得x=±3.故选C.

2.方程（1-x）2=2的根是（　　）

A.-1,3B.1,-3

C.1-,1+D.-1,+1

解析:

直接开平方,得1-x=±,即1-x=或1-x=-,解得x1=1-,x2=1+.故选C.

3.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是（　　）

A.x2-8x+（-4）2=31

B.x2-8x+（-4）2=1

C.x2+8x+42=1

D.x2-4x+4=-11

解析:

移项,得x2-8x=-15,两边同时加一次项系数一半的平方,得x2-8x+（-4）2=1.故选B.

4.x2+6x+　　　　=（x+　　　　）2,a2-　　　　+=（a-　　　　）2. 

解析:

二次项系数为1时,完全平方式中常数项是一次项系数一半的平方.

答案:

9　3　a　

5.x2+2x-5=0配方后的方程为　　　　. 

解析:

移项,得x2+2x=5,两边同时加1,得x2+2x+1=6,配方得（x+1）2=6.故填（x+1）2=6.

6.用配方法解方程.

（1）x2-4x+4=5;

（2）3（x-1）2-6=0;

（3）x2+2x-3=0;

（4）9y2-18y-4=0.

解:

（1）化简得（x-2）2=5,直接开平方得x-2=±,所以x-2=或x-2=-,解得x1=2+,x2=2-.

（2）移项得3（x-1）2=6,系数化为1,得（x-1）2=2,直接开平方得x-1=±,即x-1=或x-1=-,所以x1=1+,x2=1-.

（3）移项,得x2+2x=3,两边同时加1,得x2+2x+1=4,配方得（x+1）2=4,∴x+1=2或x+1=-2,∴x1=1,x2=-3.

（4）移项,得9y2-18y=4,两边同时除以9,得y2-2y=,两边同时加1,得y2-2y+1=+1,配方得（y-1）2=,∴y-1=或y-1=-,∴y1=1+,y2=1-.

第1课时

试着做做

做一做

例题讲解

一、教材作业

【必做题】

教材第39页习题A组第1,2,3题.

【选做题】

教材第40页习题B组第1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.方程（x+1）2=9的解是（　　）

A.2B.-4

C.2或-4D.±3

2.（2015·滨州中考）用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时,下列变形正确的为（　　）

A.（x+3）2=1B.（x-3）2=1

C.（x+3）2=19D.（x-3）2=19

3.如果方程2（x-3）2=72,那么这个一元二次方程的两根是　　　　. 

4.方程x2+4x-5=0的解是　　　　. 

5.若分式的值为0,则x的值为　　　　. 

6.解下列方程:

（1）3x2-=0;

（2）12（3-2x）2-3=0;

（3）x2+6x-5=0;

（4）x2+3=2x;

（5）3x2+2x-1=0.

【能力提升】

7.代数式的值为0,则x的值为　　　　. 

8.用配方法证明:

代数式x2+8x+17的值恒大于零.

9.如图所示,在ΔABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿BA边向点A以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P,Q都从B点同时出发,几秒后ΔPBQ的面积等于8cm2?

【拓展探究】

10.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做的:

由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为:

x2+x=-,…第一步

x2+x+=-,…第二步

…第三步

x+（b2-4ac>0）,…第四步

x=,…第五步

嘉淇的解法从第　　　　步开始出现错误;事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是　　　　. 

用配方法解方程:

x2-2x-24=0.

【答案与解析】

1.C（解析:

直接开平方得x+1=±3,即x+1=3或x+1=-3,∴x=2或x=-4.）

2.D（移项,得x2-6x=10,配方,得x2-6x+9=19,即（x-3）2=19,故选D.）

3.x1=9,x2=-3（解析:

系数化为1,得（x-3）2=36,直接开平方,得x-3=±6,x-3=6或x-3=-6,∴x1=9,x2=-3.）

4.x1=1,x2=-5（解析:

移项,得x2+4x=5,两边同时加4,得x2+4x+4=9,配方得（x+2）2=9,∴x+2=3或x+2=-3,∴x1=1,x2=-5.故填x1=1,x2=-5.）

5.-2（解析:

由题意可得x2-4=0,解得x=±2,又分母不为0,∴x-2≠0,∴x=-2,故填-2.）

6.解:

（1）移项,得3x2=,系数化为1,得x2=,∴x1=,x2=-.　

（2）移项,得12（3-2x）2=3,两边都除以12,得（3-2x）2=,∴3-2x=±,即3-2x=或3-2x=-,∴x1=,x2=.（3）∵x2+6x=5,∴x2+6x+9=5+9,∴（x+3）2=14,∴x+3=±,∴x1=-3,x2=--3.　（4）∵x2-2x=-3,∴x2-2x+3=0,∴（x-）2=0,∴x1=x2=.

（5）∵3x2+2x=1,∴x2+x=,∴x2+x+,∴,∴x+=±,∴x1=,x2=-1.

7.2（解析:

由题意得x2-x-2=0,解方程得x1=-1,x2=2,又x2-1≠0,∴x=2,故填2.）

8.证明:

x2+8x+17=（x+4）2+1,∵（x+4）2≥0,∴（x+4）2+1≥1,∴x2+8x+17的值恒大于0.

9.解:

设x秒后ΔPBQ的面积等于8cm2,则PB=xcm,BQ=2xcm,依题意,得x·2x=8,所以x2=8,根据平方根的意义,得x=±2,即x1=2,x2=-2.可以验证,2和-2都是方程x·2x=8的根,但是移动时间不能是负值.所以2秒后ΔPBQ的面积等于8cm2.

10.解:

四　x=

移项,得x2-2x=24,配方,得x2-2x+1=24+1,即（x-1）2=25,开方得x-1=±5,∴x1=6,x2=-4.

本节课以生活实例和复习平方根的有关概念导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生学习兴趣,开平方及完全平方式是学习配方法的基础,通过复习为本节课的学习做好铺垫.综合运用探究式、启发式、活动式等方法进行教学,遵循因材施教,循序渐进原则,以问题形式呈现,学生通过思考、交流、探究、展示、归纳等活动,发展学生分析问题、解决问题的能力.学生活动多以小组讨论、共同探究为主,学生在课堂上比较活跃,积极参与,给数学课注入了生命活力.本节课知识的归纳总结是学生在老师的引导下完成,培养了学生的归纳总结能力,同时学生的数学思维得到了培养.

本节课在师生共同探究中完成,在探究活动中有些学生参与意识不强,尤其在小组内交流的知识有难度时,部分学生无从下手的感觉,比如探究完全平方式一次项系数与常数项之间的关系,以及二次项系数不为1时,如何用配方法解方程时,教师应及时引导,将问题难度降低,激发学生学习热情.另一方面,对易错点的强调还存在不足之处,应让学生自己归纳易错点,加深印象.

本节课的主要内容是探究配方法解一元二次方程,整体设计由浅入深,层层递进,先由平方根的概念解特殊的一元二次方程,再通过探究二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式,很自然地探究二次项系数为1的一元二次方程的解法,最后探究二次项系数不为1的一元二次方程的解法,教师引导学生用转化思想转化成二次项系数不为1的一元二次方程求解,学生在教师的引导、小组合作交流的学习形式下,由浅入深地探究新知识,学生易于理解和掌握,同时学生亲身经历知识的形成过程,使学生数学思维能力得到提升.