数学北师大版九年级上册242解一元二次方程1.docx

1、数学北师大版九年级上册242解一元二次方程124.2解一元二次方程第课时1.会根据平方根的定义解简单一元二次方程.2.知道形如(ax+b)2=p的方程可以用直接开平方法求解.3.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.4.能利用配方法解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力.1.通过对比、转化,总结得出配方法的解题步骤,提高学生的推理能力.2.经历探索用配方法解一元二次方程的步骤,体验数学发现的过程,感悟转化思想在解一元二次方程中的运用.3.通过用配方法熟练地解一元二次方程,培养学生的运算技巧,提高学生的计算能力.1.通过师生的共同活动,培养学生积极参与、主动探索、敢于发表见解的精神.2.鼓

2、励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.3.通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.4.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.【重点】利用配方法解简单的一元二次方程.【难点】通过配方把一元二次方程转化为(x+m)2=n(n0)的形式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P3739.导入一:【课件展示】一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,

3、你能算出盒子的棱长吗?【师生活动】学生思考,教师引导回答下列问题:(1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为dm2;(2)题目中的等量关系为;因此,根据题意可列方程;化简可得.【师生活动】学生在教师的引导下完成填空,教师及时引导和点拨.追问:如何解这个方程?5和-5是方程的两个根,它们都符合问题的实际意义吗?(棱长不能为负数,所以正方体的棱长为5 dm)【课件展示】解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为6x2 dm2.根据题意,得106x2=1500,整理,得x2=25,根据平方根的意义,得x=5.即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去).答:其中一个盒子

4、的棱长为5 dm.导入二:1.什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?2.计算:9的平方根是,的平方根是.3.若x2=36,则x的值是.4.什么是完全平方公式?【师生活动】共同复习平方根的概念和性质及完全平方公式.设计意图由实际问题导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质及完全平方公式,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.过渡语我们复习了平方根的定义,根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方程,让我们尝试解这些方程吧.试着做做【课件展示】1.根据平方根的意义,解下列

5、方程:(1)x2=4;(2)(x+1)2=4.【师生活动】学生独立思考回答,教师规范书写.解:(1)根据平方根的意义得x=2,x1=2,x2=-2.(2)根据平方根的意义得x+1=2,x+1=2或x+1=-2,x1=1,x2=-3.【思考】方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一元二次方程?(方程左边是完全平方式的形式,方程右边是一个非负数.即(x+m)2=n,其中n0)【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳.【课件展示】2.解下列方程:(1)x2+2x+1=4;(2)x2+2x-3=0.教师引导分析,思考下列问题并回答:(1)方程(2

6、)与方程(1)的区别是什么?(方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式)(2)把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同?(移项,得x2+2x=3,根据等式的性质,方程两边同时加1可以化成与(1)的左边相同)(3)能不能配方后解方程?(配方后用直接开平方法可以求解)【师生活动】学生小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解题过程,教师点评.解:(1)原方程可化为(x+1)2=4,x+1=2,x+1=2或x+1=-2,x1=1,x2=-3.(2)原方程可化为x2+2x+1=4,即(x+1)2=4,x+1=2,x+1=2或x+1=-2

7、,x1=1,x2=-3.追加提问:通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?【师生活动】学生思考,教师提示:由方程(x+1)2=4,得到方程x+1=2或x+1=-2,方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.(“降次”是解一元二次方程的基本策略,解一元二次方程时就是把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的)设计意图通过探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识的衔接,同时练习的设计由浅入深,学生易于理解和掌握本节课的学习重点.引导学生对比练习(1)和(2)两个方程,发现它们之间的联系,从而找到解决问题的突破口,依据完全平

8、方公式进行配方,体会从特殊到一般,从具体到抽象的思维过程.做一做【课件展示】先把下列方程化为(x+m)2=n(m,n是常数,n0)的形式,再求出方程的根.(1)x2+2x=48;(2)x2-4x=12;(3)x2-6x+5=0;(4)x2+x-=0.思路一【课件展示】根据完全平方公式填空:(1)x2+2x+()2=(x+)2;(2)x2-4x+()2=(x-)2;(3)x2-6x+()2=()2;(4)x2+x+()2=()2.【师生活动】学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性.【思考】1.当二次项系数为1时,配方时常数项

9、和一次项系数之间有什么关系?(当完全平方式的二次项为1时,常数项是一次项系数一半的平方)2.以上方程左边能不能化成完全平方的形式?3.你能将以上方程左边化成完全平方形式后求出该方程的解吗?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师对有困难的学生进行指导,小组代表展示,教师点评过程中强调易错点.解:(1)原方程可化为x2+2x+1=49,即(x+1)2=49,x+1=7,x+1=7或x+1=-7,x1=6,x2=-8.(2)原方程可化为x2-4x+4=16,即(x-2)2=16,x-2=4,x-2=4或x-2=-4,x1=6,x2=-2.(3)原方程可化为x2-6x+9=4,即(x-3)2=

10、4,x-3=2,x-3=2或x-3=-2,x1=5,x2=1.(4)原方程可化为x2+x+=1,即=1,x+=1,x+=1或x+=-1,x1=,x2=-.设计意图通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为1时,常数项与一次项系数之间的关系,为用配方法解一元二次方程的学习打下基础,同时培养学生归纳猜想能力.通过练习,巩固将方程左边化为完全平方式后,直接开平方解一元二次方程的方法,为归纳配方法解方程做好铺垫.思路二【思考】1.观察方程(1)和(2),你能否将方程左边配成完全平方形式?2.方程(1)(2)左边化成完全平方式时,方程右边怎样变化才能使方程仍然成立?3.方程(3)(4

11、)怎样转化成方程(1)(2)的形式?4.你能将方程(3)(4)的左边化成完全平方形式吗?5.请你尝试求出以上方程的解.【师生活动】学生独立思考后,给学生足够的时间进行小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解答过程,教师进行点评.解决过程同思路一.设计意图通过教师提出的问题,学生有目的地进行合作交流,寻找解一元二次方程的新的方法,培养学生勇于探索的精神及合作意识,课件展示解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.归纳总结:【课件展示】通过配方,把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方,另一边是常数,当常数为非负数时,利用开平方,将一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而

12、求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.【思考】你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?【师生活动】小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结.【课件展示】配方法解一元二次方程的步骤:(1)移项(常数项移到方程右边);(2)配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方);(3)开平方;(4)解出方程的根.设计意图通过小组合作归纳结论,培养学生合作意识和归纳总结能力.例题讲解【课件展示】用配方法解下列方程:(1)x2-10x-11=0;(2)x2+2x-1=0;【师生活动】学生独立完成,小组内交流答案,比一比哪个小组所用时间短,并且正确率高,教师在巡视过程中帮

13、助个别有困难的学生.解:(1)移项,得x2-10x=11.配方,得x2-10x+52=11+52,即(x-5)2=36.两边开平方,得x-5=6.所以x1=11,x2=-1.(2)移项,得x2+2x=1.配方,得x2+2x+12=1+12,即(x+1)2=2,两边开平方,得x+1=.所以x1=-1+,x2=-1-.设计意图通过练习进一步巩固配方法解一元二次方程的步骤,通过比赛形式训练学生的计算能力,培养学生的竞争意识.做一做:【课件展示】对于方程2x2+4x+1=0,如何用配方法求解呢?教师引导分析:(1)该方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方?(观察方程移项后,二次项系数不为1,所以不

14、能直接配方)(2)观察该方程和上边方程有什么区别?(二次项系数不为1)(3)如何把二次项系数化为1?(根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数可得)(4)根据上边的分析,尝试完成解方程.【师生活动】小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当提示.小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨.解:移项,得2x2+4x=-1,二次项系数化为1,得x2+2x=-,配方,得x2+2x+1=-+1,(x+1)2=,x+1=,x1=-1+,x2=-1-.思考并回答:用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?设计意图几个问题的设计是层层递进的,化解了教学的难度,学生在探索、交流的过程中掌

15、握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归纳总结能力.【课件展示】用配方法解方程:2x2+3=6x.【师生活动】学生独立完成后小组交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生.解:移项,并将二次项系数化为1,得x2-3x=-.配方,得x2-3x+-,即.两边开平方,得x-=.所以x1=,x2=.知识拓展1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(ax+b)2=c(c0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.3.方程(ax+b)2=c中,当c0的情况,她是这样做的:由于a0,方程ax2+

16、bx+c=0变形为:x2+x=-,第一步x2+x+=-,第二步,第三步x+(b2-4ac0),第四步x=,第五步嘉淇的解法从第步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是.用配方法解方程:x2-2x-24=0.【答案与解析】1.C(解析:直接开平方得x+1=3,即x+1=3或x+1=-3,x=2或x=-4.)2.D(移项,得x2-6x=10,配方,得x2-6x+9=19,即(x-3)2=19,故选D.)3.x1=9,x2=-3(解析:系数化为1,得(x-3)2=36,直接开平方,得x-3=6,x-3=6或x-3=-6,x1=9,x2=-3.)4.x1

17、=1,x2=-5(解析:移项,得x2+4x=5,两边同时加4,得x2+4x+4=9,配方得(x+2)2=9,x+2=3或x+2=-3,x1=1,x2=-5.故填x1=1,x2=-5.)5.-2(解析:由题意可得x2-4=0,解得x=2,又分母不为0,x-20,x=-2,故填-2.)6.解:(1)移项,得3x2=,系数化为1,得x2=,x1=,x2=-.(2)移项,得12(3-2x)2=3,两边都除以12,得(3-2x)2=,3-2x=,即3-2x=或3-2x=-,x1=,x2=.(3)x2+6x=5,x2+6x+9=5+9,(x+3)2=14,x+3=,x1=-3,x2=-3.(4)x2-2x

18、=-3,x2-2x+3=0,(x-)2=0,x1=x2=.(5)3x2+2x=1,x2+x=,x2+x+,x+=,x1=,x2=-1.7.2(解析:由题意得x2-x-2=0,解方程得x1=-1,x2=2,又x2-10,x=2,故填2.)8.证明:x2+8x+17=(x+4)2+1,(x+4)20,(x+4)2+11,x2+8x+17的值恒大于0.9.解:设x秒后PBQ的面积等于8 cm2,则PB=x cm,BQ=2x cm,依题意,得x2x=8,所以x2=8,根据平方根的意义,得x=2,即x1=2,x2=-2.可以验证,2和-2都是方程x2x=8的根,但是移动时间不能是负值.所以2秒后PBQ的

19、面积等于8 cm2.10.解:四x=移项,得x2-2x=24,配方,得x2-2x+1=24+1,即(x-1)2=25,开方得x-1=5,x1=6,x2=-4.本节课以生活实例和复习平方根的有关概念导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生学习兴趣,开平方及完全平方式是学习配方法的基础,通过复习为本节课的学习做好铺垫.综合运用探究式、启发式、活动式等方法进行教学,遵循因材施教,循序渐进原则,以问题形式呈现,学生通过思考、交流、探究、展示、归纳等活动,发展学生分析问题、解决问题的能力.学生活动多以小组讨论、共同探究为主,学生在课堂上比较活跃,积极参与,给数学课注入了生命活力.本节课知识的归纳总

20、结是学生在老师的引导下完成,培养了学生的归纳总结能力,同时学生的数学思维得到了培养.本节课在师生共同探究中完成,在探究活动中有些学生参与意识不强,尤其在小组内交流的知识有难度时,部分学生无从下手的感觉,比如探究完全平方式一次项系数与常数项之间的关系,以及二次项系数不为1时,如何用配方法解方程时,教师应及时引导,将问题难度降低,激发学生学习热情.另一方面,对易错点的强调还存在不足之处,应让学生自己归纳易错点,加深印象.本节课的主要内容是探究配方法解一元二次方程,整体设计由浅入深,层层递进,先由平方根的概念解特殊的一元二次方程,再通过探究二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式,很自然地探究二次项系数为1的一元二次方程的解法,最后探究二次项系数不为1的一元二次方程的解法,教师引导学生用转化思想转化成二次项系数不为1的一元二次方程求解,学生在教师的引导、小组合作交流的学习形式下,由浅入深地探究新知识,学生易于理解和掌握,同时学生亲身经历知识的形成过程,使学生数学思维能力得到提升.