力矩.docx

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力矩

力矩的方向如何判断，以及如何进行力矩的矢量运算（就是物体力矩平衡的计算）？

力矩方向是依据力使物体绕转轴沿着逆时针转动还是顺时针转动规定的，一般是使物体逆时针转动的力矩方向为正方向。

力矩平衡条件是：

逆时针转动的各力矩之和=顺时针转动的各力矩之和

力矩的方向用右手螺旋法则判断

抽象出来就是数学上向量的叉乘的概念

定义：

a×b=丨a丨丨b丨sinθ

几何意思：

ab为邻边的平行四边形的面积

方向：

垂直于ab为邻边的平行四边形的平面按小角度转用右手判断

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2011-08-2319:

37cao836155733|二级

力矩=力差乘力臂，这是矢量式，标量式为力矩=力*力臂*sinA，A为力和力臂的夹角，方向用右手螺旋定则判断，它垂直于力，力臂，

　力矩和力矩平衡

一．内容黄金组.

1．了解转动平衡的概念，理解力臂和力矩的概念。

2．理解有固定转动轴物体平衡的条件

3．会用力矩平衡条件分析问题和解决问题

二．要点大揭秘

1．转动平衡：

有转动轴的物体在力的作用下，处于静止或匀速转动状态。

明确转轴很重要：

大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置。

如：

一根长木棒置于水平地面上，它的两个端点为AB，现给B端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开地面，求力F的大小。

在这一问题中，过A点垂直于杆的水平直线是杆的转轴。

象这样，在解决问题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用力矩平衡条件。

2．力矩：

力臂：

转动轴到力的作用线的垂直距离。

力矩：

力和力臂的乘积。

计算公式：

M＝FL　

单位：

　Nm　

效果：

可以使物体转动

（1）力对物体的转动效果

力使物体转动的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。

当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。

当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。

需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。

（2）大小一定的力有最大力矩的条件：

①力作用在离转动轴最远的点上；

②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。

（3）力矩的计算：

　　①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL

如图中，力F的力臂为LF=Lsinθ

力矩M＝F•Lsinθ

②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。

如图中，力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩，M＝Fsinθ•L

两种方法不同，但求出的结果是一样的，对具体的问题选择恰当的方法会简化解题过程。

3．力矩平衡条件：

力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和。

∑M=0　　或　　∑M顺＝∑M逆

4．解决实际问题的步骤；

（a）确定研究对象——哪个物体；

（b）分析状态及受力——画示意图；

（c）列出力矩平衡方程：

∑M=0或∑M顺＝∑M逆；

（d）解出字母表达式，代入数据；

（e）作必要的讨论，写出明确的答案。

5．正确理解力矩的概念

力矩是改变转动物体的运动状态的物理量，门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用。

但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都　不会改变其运动状态，可见转动物体的运动状态和变化不仅与力的大小有关，还受力的方向、力的作用点的影响。

力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显。

物理学中力的作用点和力的作用方向对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量综合表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积。

力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量。

　　力矩是矢量，在中学物理中，作用在物体上的力都在同一平面内，各力对转轴的力矩只能使物体顺时针转动或逆时针转动，这样，求几个力矩的合力就简化为代数运算。

三．

好题解给你

（1）如图所示，要使圆柱体绕A点滚上台阶，试通过作图来判断在圆柱体上的最高点所施加的最小力的方向_____________

（2）

匀质杆AO可绕O轴转动，今用水平力使它缓缓抬起的过程中，如图所示，重力对O轴的力臂变化是_____________，重力对O轴的力矩变化情况是_____________，中果已知抬起过程中水平拉力力矩的大小应等于重力的力矩，则水平拉力F的变化　情况是_____________。

2.基础题

（1）下列关于力矩的叙述中正确的是（　C　　杆状物体在一对作用线过转轴的平衡力作用下也可平衡　　）

A．使物体保持静止状态的原因

B．是物体转动的原因

C．是物体转动状态改变的原因

D．杆状物体的平衡只能是在力矩作用下的力矩平衡

四．如图所示，ON杆可以在竖直平面内绕O点自由转动，若在N端分别沿图示方向施力F1、F2、F3，杆均能静止在图示位置上．则三力的大小关系是（　　D　）

A．F1=F2=F3

B．F1＞F2＞F3

C．F2＞F1＞F3

D．F1＞F3＞F2

（1）一段粗细不均匀的木棍如图2所示，支在某点恰好平衡，若在该处将木棍截成两段，则所分成两段的重必定是（　　B　因为粗段的力臂小）

A．相等

B．细段轻、粗段重

C．细段重，粗段轻

D．不能确定

2.

应用题

（1）如图，把物体A放在水平板OB的正中央，用一不变的力F将板的B端匀速地慢慢抬高（O端不动），设A相对平板静止，则A对板的压力将______，A与B之间的摩擦力将______，F对O点的力矩将______．

（2）

一根均匀的木棒长1m，在棒的左端挂一个质量为6kg的物体，然后在距棒左端0.2m处将棒支起，棒恰平衡，则棒的质量是______

（3）一块均匀木板MN长L＝15m，重G1＝400N，搁在相距D＝8m的两个支架A、B上，MA＝NA，重G2＝600N的人从A点向B点走去，如图所示。

求：

①人走过B点多远木板会翘起来？

②为使人走到N点时木板不翘起来，支架B应放在离N多远处？

应用题参考答案：

（1）减小，增大，减小

（2）4kg　　　　

（3）2.67m、3m分析和解：

当木板刚翘起来时，板的重力对B点产生的力矩和人的重力对B点产生的力矩使板平衡，设人走过B端L时木板会翘起来，则有

　可解得LB＝2.67m,　　同理，可设当人走到N端木板刚要翘起来时，B支架和N端的距离为LBN　则有

　可得LBN＝3m

3.提高题

（1）

如图，均匀杆OA质量为m，O端用铰链悬起，A端放在木板B上，杆与板间的动摩擦因数为

，木板在拉力F的作用下向右作匀速运动，杆与竖直方向夹角为30°，则杆对木板的压力N=__

____．

（2）如图所示，厚薄均匀的BC板长L为0.5m,板的一端B与墙用铰链连接，在C端用一水平的细绳连接，绳的另一端固定在墙上的A点，已知AB和BC的夹角为60º，在板上放一重球，球重G1＝20N，半径为5cm，板重G2＝8N，求水平绳的拉力F（不计摩擦）

（2）14.8N

（1）如图所示，均匀木棒AB的一端N支在水平地面上，将另一端用水平拉力F拉住，使木棒处于平衡状态，则地面对木棒AB的作用力的方向为

A、总是竖直向上的，如F1

B、总是偏向木棒的右侧，如F2

C、总是沿着木棒的方向，如F3

D、总是偏向木棒的左侧，如F4。

、

（2）用秤称物如图，物重4kg，平衡时OA∶OB=1∶4．设秤杆、秤盘等重量不计，手的拉力必须是______kg．

（3）

如图一均匀木板长12m，重200N，距A端3m处有一固定转轴O，另一端B用细绳悬吊着，使木板成水平状态．若细绳能承受的最大拉力为200N，细绳与木板的夹角为30°，欲使一个体重为600N的人在板上能安全行走，此人在板上行走的范围是多大？

（从转轴左侧1m到转轴右侧0.5m之间）

（4）有一质量为m=50kg的杆，竖立在水平地面上，杆与地面间的最大静摩擦因数为μ=0.3，杆的上端被固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=30°。

①若以水平力F作用于杆上，作用点到地面的距离h为杆长L的

，要使杆不滑到，则力F最大不能超过多少？

②若将作用点移到

处，情况又如何？

分析：

如下图所示，根据题述，由杆的平衡条件∑Fx=0，∑Fy=0，建立方程有

F-Tsinθ-f=0，

N-Tcosθ-mg=0。

据力矩平衡条件建立方程有

F（L-h）-fL=0。

因静摩擦力f≤fm，所以，f≤μN。

解方程组得

①当h=

L时，得F的最大值为

代入已知数据解得F=385N。

②当

时，

对于任何大小的F的值，杆都不发生滑动。

力矩平衡条件的应用

一、教学目标：

1：

理解有固定转动轴的物体的平衡条件；

2：

能应用力矩平衡条件处理有关问题。

二、教学重点：

力矩平衡条件的应用

三、教学难点：

用力矩平衡条件如何正确地分析和解决问题

四、教学方法：

讲授法、归纳法

五、教学用具：

投影仪、投影片

六、教学步骤：

导入新课

1．用投影片出示下列思考题：

（1）什么是力矩的平衡？

（2）有固定准确轴的物体的平衡条件是什么？

2、本节课我们继续学习运动有固定转动轴的物体的平衡求解问题的方法。

新课教学

（一）用投影片出示本节课的学习目标：

1：

熟练应用力矩平衡条件解决有固定转动轴物体在转动平衡状态下的有关问题。

2：

进一步提高受力分析的能力。

（二）学习目标完成过程：

1：

用投影片出示例题1：

如图：

BO是一根质量均匀的横梁，重量G1＝80N，BO的一端安在B点，可绕通过B点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO拉着横梁保持水平，与钢绳的夹角

，在横梁的O点挂一个重物，重要G2＝240N，求钢绳对横梁的拉力F1：

a：

分析

（1）本题中的横梁是一个有固定转动轴的物体；

（2）分析横梁的受力：

拉力F1，重力G1，拉力F2；

（3）找到三个力的力臂并写出各自的力矩：

F1的力矩：

G1的力矩：

F2的力矩：

b：

指导学生写出解题过程：

c：

用投影片展示正确的解题过程如下：

解：

据力矩平衡条件有：

由此得：

d：

巩固训练：

如图所示，OAB是一弯成直角的杠杆，可绕过O点垂直于纸面的轴转动，杆OA长30cm，AB段长为40cm，杆的质量分布均匀，已知OAB的总质量为7kg，现在施加一个外力F，使杆的AB段保持水平，则该力作用于杆上哪一点，什么方向可使F最小？

2：

用投影片出示例题2：

一辆汽车重1.2×104N，使它的前轮压在地秤上，测得的结果为6.7×103N，汽车前后轮之间的举例是2.7m，求汽车重心的位置，（即求前轮或后轮与地面接触点到重力作用线的距离）

（1）分析：

汽车可看作有固定转动轴的物体，若将后轮与地面的接触处作为转动轴，则汽车受到以下力矩的作用：

一是重力G的力矩；二是前轮受到的地秤对它的支持力的力矩；汽车在两个力矩的作用下保持平衡，利用转动平衡条件即可求出重心的位置。

（2）注意向学生交代清：

a：

地秤的示数指示的是车对地秤压力的大小；

b：

据牛顿第二定律得到车前轮受到的支持力的大小也等于地秤的示数。

（3）学生写出本题的解题步骤，并和课本比较；

（4）讨论：

为什么不将前轮与地秤接触处作为转动轴？

将前轮与地秤接触处作为转动轴，将会使已知力的力臂等于0，而另一个力（即后轮与地秤间的作用力）又是未知的，最后无法求解。

（5）巩固训练

一块均匀木板MN长L＝15cm，G1＝400N，搁在相距D＝8m的两个支架A、B上，MA＝NB，重G2＝600N的人从A向B走去，如图：

问人走过B点多远时，木板会翘起来？

七、小结：

本节课我们主要学习了运用力矩平衡条件解题的方法：

1：

确定研究对象：

2：

分析研究对象的受力情况，找出每一个力的力臂，分析每一个力矩的转动方向；

3：

据力矩平衡条件建立方程[M合＝0或M顺＝M逆]

4：

解方程，对结果进行必要的讨论。

八：

板书设计：

力矩平衡条件的应用

教学目标：

一、知识目标：

1：

理解有固定转动轴的物体的平衡条件；

2：

能应用力矩平衡条件处理有关问题。

二、能力目标：

1：

学会用数学知识处理物理问题；

2：

进一步熟悉对物体的受力分析。

三、德育目标：

使学生学会要具体问题具体分析

教学重点：

力矩平衡条件的应用

教学难点：

用力矩平衡条件如何正确地分析和解决问题

教学方法：

讲授法、归纳法

教学用具：

投影仪、投影片

教学步骤：

一、导入新课

1．用投影片出示下列思考题：

（1）什么是力矩的平衡？

（2）有固定准确轴的物体的平衡条件是什么？

2、本节课我们继续学习运动有固定转动轴的物体的平衡求解问题的方法。

二、新课教学

（一）用投影片出示本节课的学习目标：

1：

熟练应用力矩平衡条件解决有固定转动轴物体在转动平衡状态下的有关问题。

2：

进一步提高受力分析的能力。

（二）学习目标完成过程：

1：

用投影片出示例题1：

如图：

BO是一根质量均匀的横梁，重量G1＝80N，BO的一端安在B点，可绕通过B点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO拉着横梁保持水平，与钢绳的夹角

，在横梁的O点挂一个重物，重要G2＝240N，求钢绳对横梁的拉力F1：

a：

分析

（1）本题中的横梁是一个有固定转动轴的物体；

（2）分析横梁的受力：

拉力F1，重力G1，拉力F2；

（3）找到三个力的力臂并写出各自的力矩：

F1的力矩：

G1的力矩：

F2的力矩：

b：

指导学生写出解题过程：

c：

用投影片展示正确的解题过程如下：

解：

据力矩平衡条件有：

由此得：

d：

巩固训练：

如图所示，OAB是一弯成直角的杠杆，可绕过O点垂直于纸面的轴转动，杆OA长30cm，AB段长为40cm，杆的质量分布均匀，已知OAB的总质量为7kg，现在施加一个外力F，使杆的AB段保持水平，则该力作用于杆上哪一点，什么方向可使F最小？

2：

用投影片出示例题2：

一辆汽车重1.2×104N，使它的前轮压在地秤上，测得的结果为6.7×103N，汽车前后轮之间的举例是2.7m，求汽车重心的位置，（即求前轮或后轮与地面接触点到重力作用线的距离）

（1）分析：

汽车可看作有固定转动轴的物体，若将后轮与地面的接触处作为转动轴，则汽车受到以下力矩的作用：

一是重力G的力矩；二是前轮受到的地秤对它的支持力的力矩；汽车在两个力矩的作用下保持平衡，利用转动平衡条件即可求出重心的位置。

（2）注意向学生交代清：

a：

地秤的示数指示的是车对地秤压力的大小；

b：

据牛顿第二定律得到车前轮受到的支持力的大小也等于地秤的示数。

（3）学生写出本题的解题步骤，并和课本比较；

（4）讨论：

为什么不将前轮与地秤接触处作为转动轴？

将前轮与地秤接触处作为转动轴，将会使已知力的力臂等于0，而另一个力（即后轮与地秤间的作用力）又是未知的，最后无法求解。

（5）巩固训练

一块均匀木板MN长L＝15cm，G1＝400N，搁在相距D＝8m的两个支架A、B上，MA＝NB，重G2＝600N的人从A向B走去，如图：

问人走过B点多远时，木板会翘起来？

三、小结：

本节课我们主要学习了运用力矩平衡条件解题的方法：

1：

确定研究对象：

2：

分析研究对象的受力情况，找出每一个力的力臂，分析每一个力矩的转动方向；

3：

据力矩平衡条件建立方程[M合＝0或M顺＝M逆]

4：

解方程，对结果进行必要的讨论。

四、作业：

练习二③④

五：

板书设计：

难点3力矩平衡条件及应用

力矩平衡以其广泛的实用性，再次被考纲列为考查的内容，且以此知识点为素材的高考命题屡次再现于近几年高考上海卷及全国理综卷中.其难点分布于：

（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型.

（2）灵活恰当地选取固定转动轴.（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等.

●难点展台

1.（★★★★）如图3-1所示，一根长为L的轻杆OA，可绕水平轴O在竖直平面内自由转动，左端A挂一质量为m的物体，从杆上一点B系一不可伸长的细绳，将绳跨过光滑的钉子C与弹簧K连接，弹簧右端固定，这时轻杆在水平位置保持平衡，弹簧处于伸长状态，已知OB=OC=

L，弹簧伸长量恰等于BC，由此可知，弹簧的劲度系数等于______.

2.（★★★★★）如图3-2所示是一种手控制动器，a是一个转动着的轮子，高考资源网，

b是摩擦制动片，c是杠杆，O是其固定转动轴.手在A点施加一个作用力F时，b将压紧轮子，使轮子制动.若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是

A.轮a逆时针转动时，所需的力F较小

B.轮a顺时针转动时，所需的力F较小

C.无论逆时针还是顺时针转动，所需的力F相同

D.无法比较F的大小

●案例探究

［例1］（★★★★★）如图3-3所示，长为L质量为m的均匀木棒，上端用绞链固定在物体上，另一端放在动摩擦因数为μ的小车平台上，小车置于光滑平面上，棒与平台的夹角为θ，当：

（1）小车静止时，求棒的下端受小车的支持力；

（2）小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力；

（3）小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力.

命题意图：

题目出示的物理情境，来考查考生受力分析能力及力矩平衡条件的应用能力.B级要求.

错解分析：

对“车的不同运动状态使棒所受摩擦力大小方向的变化”理解分析不透，从而错列力矩平衡方程.

解题方法与技巧：

（1）取棒为研究对象.选绞链处为固定转动轴，除转动轴对棒的作用力外，棒的受力情况如图3-4所示，由力矩平衡条件知：

FN1Lcosθ=mg

cosθFN1=

mg

图3—4图3—5

（2）小车向左运动，棒另外受到一个水平向左的摩擦力F1作用，受力如图3-5所示，则有

Lcosθ=mg

cosθ+μ

Lsinθ

所以

=

则

＞

（3）小车向右运动时，棒受到向右的摩擦力F2作用，受力如图3-6所示，有

Lcosθ+μ

Lsinθ=mg

cosθ

解得

=

所以

＜

本题的关键点是取棒作为研究对象，由于车有不同的运动方向，故棒所受摩擦力的方向也不同，从而导致弹力的不同.

［例2］（★★★★★）如图3-7所示，一自行车上连接脚踏板的连杆长R1，由脚踏板带动半径为r1的大齿盘，通过链条与半径为r2的后轮齿盘连接，带动半径为R2的后轮转动.

图3—7

（1）设自行车在水平路面上匀速行进时，高考资源网，

受到的平均阻力为f，人蹬脚踏板的平均作用力为F，链条中的张力为T，地面对后轮的静摩擦力为fs.通过观察，写出传动系统中有几个转动轴，分别写出对应的力矩平衡表达式；

（2）设R1=20cm，R2=33cm，脚踏大齿盘与后轮齿盘的齿数分别为48和24，计算人蹬脚踏板的平均作用力与平均阻力之比；

（3）自行车传动系统可简化为一个等效杠杆.以R1为一力臂，在框中画出这一杠杆示意图，标出支点，力臂尺寸和作用力方向.

命题意图：

以生活中的自行车为背景，设立情景，考查运用力矩、力矩平衡条件解决实际问题的能力，尤其是构建物理模型的抽象、概括能力.B级要求.

错解分析：

（1）尽管自行车是一种常见的交通工具，但多数考生缺少抽象概括的能力，无法构建传动系统简化的杠杆模型.

（2）不能再现自行车的工作过程，无法将r1/r2之比与两个齿盘的齿数之比加以联系，导致中途解题受阻.

解题方法与技巧：

（1）自行车传动系统中的转动轴个数为2，设脚踏齿轮、后轮齿轮半径分别为r1、r2，链条中拉力为T.

对脚踏齿盘中心的转动轴可列出：

FR1=Tr1

对后轮的转动轴可列出：

Tr2=fsR2

（2）由FR1=Tr1,Tr2=fsR2

及fs=f（平均阻力）

可得

所以

=3.3

（3）如图3-8所示

图3-8

●锦囊妙计

一、高考走势

随着中学新课程方案推广与实施，“有固定转动轴物体的平衡”以其在现实生活中应用的广泛性，再次被列为高考命题考查的重要内容之一.近几年高考上海卷及2002年全国综合卷的命题实践充分证明了这一点.可以预言：

高考资源网，

以本知识点为背景的高考命题仍将再现.

二、物体平衡条件

实际上一个物体的平衡，应同时满足F合=0和M合=0.共点力作用下的物体如果满足F合=0，同时也就满足了M合=0，达到了平衡状态；而转动的物体只满足M合=0就不一定能达到平衡状态，还应同时满足F合=0方可.

三、有固定转动轴物体平衡问题解题步骤

1.明确研究对象，即明确绕固定转动轴转动的是哪一个物体.

2.分析研究对象所受力的大小和方向，并画出力的示意图.

3.依题意选取转动轴，并找出各个力对转动轴的力臂，力矩的大小和方向.

4.根据平衡条件（使物体顺时针方向转动的力矩之和等于使物体逆时针方向转动的力矩之和）列方程，并求解.

●歼灭难点训练

1.（★★★）（1992年全国，25）如图3-9所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自由转动.细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡.已知杆的倾角为θ，AP长度是杆长的

，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于____________.

2.（★★★★）一根木料长5.65m，把它左端支在地上，竖直向上抬起它的右端时，用力480N，用相似的方法抬起它的左端时，用力650N，该木料重___________N.

3.（★★★★）如图3-10所示，两个等重等长质料均匀直棒AC和BC，其各自一端分别通过转轴与墙壁绞结，其另一端相连于C点，AC棒与竖直墙夹角为45°，BC棒水平放置，当两棒均处于平衡状态时，则BC棒对AC棒作用力方向可能处于哪一区域

A.甲区域B.乙区域

C.丙区域D.丁区域

4.（★★★★）如图3-11所示，长为l的均匀横杆BC重为100N，B端用铰链与竖直的板MN连接，在离B点

处悬吊一重为50N的重物测出细绳AC上的拉力为150N，现将板MN在△ABC所在平面内沿顺时针方向倾斜30°，这时AC绳对MN板的拉力是多少？

5.（★★★★★）如图3-12所示，均匀木板AB长12m，重200N，在距A端3m处有一固定转动轴O，B端被绳拴住，绳与AB的夹角为30°，板AB水平.已知绳能承受的最大拉力为200N，那么重为600N的人在该板上安全行走，离A端的距离应在什么范围？

6.（★★★★★）如图3-13所示，梯与墙之间的摩擦因数为μ1，梯与地之间的摩擦因数为μ2，梯子重心在中央，梯长为L.当梯子靠在墙上而不倾倒时，梯与地面的最小夹角θ由下式决定：

tanθ=

，试证之.

图13—3

参考答案

［难点展台］

1.9mg/4L2.A

［歼灭难点训练］

1.

mgsin2θ2.11303.D4.130N

5.作出AB板的受力图3′-1

人在O轴左端x处，绳子拉直拉力为零.由力矩平衡可得：

G人×x-G×

=0

x=