人教版七年级下第八章二元一次方程组教材分析.docx
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人教版七年级下第八章二元一次方程组教材分析
人教版七年级下第八章二元一次方程组教材分析
8．1二元一次方程组
一、教材分析
1．教学目标、重点、难点
教学目标：
（1）认识二元一次方程,知道二元一次方程的解有无数个.
（2）认识二元一次方程组；知道二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解；
（3）学会检验二元一次方程组的解的方法.教学重点：
认识二元一次方程组；知道二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解.
教学难点：
二元一次方程组的解的概念，以及如何检验二元一次方程组的解.
2．例、习题的意图本节以篮球联赛问题作为引入，这个问题中有两个未知数：
胜的场数和负的场数．可以用一元一次方程来解决，稍加思索，用一个未知数去表示另一个未知数．也能根据题意直接设两个未知数，列两个方程构成方程组，引出二元一次方程和二元一次方程组等概念.
（1）教材中P100［思考］给出了胜的场数为x,负的场数为y.教师写出方程组x＋y=22
2x＋y=40,不要在列方程组时耽误时间，列方程组在这节课里不是重点，也不要求解这个方程组.这节课的重点是认识二元一次方程组；知道二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，会检验一组x和y的值是否是二元一次方程组的解.
需要说明的是：
为了便于学生观察和验证，也为了突出讲课的重点，教师可以把题目的“全部22场比赛中得到40分”改为“全部8场比赛中得到12分”，这样学生在填P101［探究］的表时节省了时间，但这道题的答案就与书上给出的不一致了，希望老师注意.
（2）P100页的云朵提示就是要学生区别一元一次方程与二元一次方程
（3）P101［探究］要说明二元一次方程x＋y=22的解有无数个，但又非任意一对数都可以是它的解，若一对数的和不是22，就不是它的解.因此一个二元一次方程的解既不定又相
关.又发现x=18,y=4既满足方程○1，有满足方程○2,进一步说明二元一次方程组的解，就是两个二元一次方程的公共解.
（4）下面补充例2的目的是为了学生体验二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义.
补充例3的目的是让学生利用所学知识，鉴别每组x和y的值是不是相应的二元一次方程组的解.
3.认知难点与突破方法
难点是二元一次方程组的解的概念，以及如何检验一组x和y的值是否是二元一次方程组的解.突破难点的方法是：
学生自己亲身体验、多次尝试二元一次方程的解有无数个，但二元一次方程组的解必须是同时满足两个二元一次方程的公共解.注意学生可能由于计算出错，得到错误的结论.利用这节的学习，对有理数的运算进行巩固和矫正，还要为8.2解二元一次方程组后的“检验”做好计算的准备.
二、新课引入
我们来看一个问题.
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
这个问题中有两个未知数：
胜的场数和负的场数.可以用一元一次方程来解决，稍加思
索，用一个未知数去表示另一个未知数.设胜的场数为x,则负的场数为22－x.得到方程
2x＋22－x=40.
根据题意直接设两个未知数，设胜的场数是x，负的场数是y.你能知道题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数=总场数，胜场积分＋负场积分=总积分.我们根据已知两个条件可以列两个方程：
x＋y=22；2x＋y=40.
请同学们观察这两个方程有什么特点？
与一元一次方程有什么不同?
像这两个方程中，每一个方程都含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程，把这两个方程合在一起，写成
x＋y=22
2x＋y=40.像这样，把两个二元一次方程用大括号连接在一起，就组成了一个二元一次方程组.
三、例题讲解
例1.P101[探究]要求写出满足方程x＋y=22○1，且符合实际意义的x,
y的值.
[分析]：
满足题意的x,y的值必须是正整数，且小于22.
[讲解]（学生填完表后）如果不考虑方程x＋y=22与实际问题的联系，那么任意给出一个x的值，就相应地算出一个y的值.使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.说明二元一次方程的解有无数个.
[提问]把表中的x,y的值代入方程2x＋y=40○2，哪一组x,y的值，还满足方程2x＋y=40○2？
学生发现x=18，y=4既满足方程○1，又满足方程○2，它们是方程○1与方程○2的公共解.一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
[注意]：
二元一次方程组的解，既要满足方程○1，又要满足方程○2.如果x,y的值不是方程○1的解，就可以不检验方程○2；如果x,y的值是方程○1的解，就必须检验他们是否是方程○2的解.
例2.填出表中的空白，使表中的每一对数都是方程的一个解，并指出这两个方程的公共解：
2x－y=4
x
1
2
3
4
5
6
7
y
x＋y=5
x
y
－2
－1
0
1
2
3
4
例3.在下面每一个二元一次方程组的后面给出了x和y的一组值，判断这组值是不是
前面方程组的解：
（1）
x+y=3,
x–y=1
x=2
y=1
（2）x+y=-1x=-3
2x-y=-5y=2
x=1
2x+y=3y=1
[分析]：
把每一组x、y的值分别代入方程○1、○2，要使每一个方程的左右两边都相等，它们就是方程组的解.
四、随堂练习
1．判断下列各式是不是二元
（1）2x－5y=3;
（2）3x
（4）5（x＋y）=7（x－y）（5）
（7）
2.
（1）
3.
一次方程，如果不是请说明理由y
＋2=－1（3）2x
1
=24x+y（6）4x
－2y=z
元一次方程3x+y=5的解.
11
6
－0.5
x=2则a的值为（
2－3x－1=0
－5y＋9
3x－4y=8－4y（8）x检验下列各组中x和y的值是不是x=2
（2）x=1
y=－1y=8y=
若二元一次方程ax－2y=4的一个解是y=1
x=
）.
A.
4.
（1）
B.
判断下列各组x＋3y=12x－5y=－9
3C.1D.－3
x和y的值是不是二元一次方程组的解
－2
x=
y=1
（2）
（3）
5．
（1）
（2）
（3）
（4）
五、
1.
x
2＋=y2x＋=3x
3y1
22
0.3x－0.2y=0.04x=0.2
0.2x+0.3y=0.06y=根据下列语句，列出二元一次方程.
2甲数的一半与乙数的3的和为11.甲数和乙数的2倍的和为17.甲数的2倍与乙数的3倍的差为21.甲数的相反数与乙数的差的一半等于课后练习已知关于x、y的方程组x＋my=4nx+3y=2
x=6
y=
－3
0.1
5.
的解是x=1
y=－3，
求m与n的值.2．甲、乙两个工厂原计划共同生产360
额完成计划的10%，因此，实际生产了400台电视机，问甲、乙两个工厂原计划各生产多少台电视机？
台电视机，现在甲厂超额完成计划的12%，乙厂超
8．2消元
（1）
一、教材分析
1．教学目标、重点、难点
教学目标
（1）使学生知道解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”，把二元的方程组转化为一元一次方程，通过解这个一元一次方程，达到求二元一次方程组的解的目的.
（2）使学生掌握代入消元法的方法和步骤，会应用这种方法解二元一次方程组教学重点:
熟练掌握代入消元法解二元一次方程组.
教学难点:
灵活应用代入消元法解二元一次方程组.
2.例、习题的意图
（1）先补充一个例题y=－2x+5为了使学生更容易发现代入消元4x+3y=7这种方法,使二元一次方程组转化为一元一次方程,然后解这个一元一次方程.
（2）P105页[归纳]总结出代入消元法的定义.
（3）P106页例1.用代入法解方程组目的是：
讲解用代入消元法解简单的二元一次方程组的基本方法和步骤.
（4）P106页例2可以作为新课引入用，使学生处处感觉到学数学有用，体现新教材的特点，数学可以解决生活中的问题.讲时的重点不是学生自己分析题目，列方程组，而是教师带领学生列方程组，重点是解方程组的方法.
（5）利用本章开头的引例（篮球联赛）所得到的方程组作为例3.，可以解决第一节课
没有解方程组的问题，还可以在这里起到由解简单的、直接代入消元到解较复杂、需要适当变形的二元一次方程组的过渡.
（6）进一步讲解用代入消元法解较复杂的二元一次方程组的基本方法和步骤，可补充2至3道例题或一题多解（如补充的例5.）.教材要求方程组中总有一个未知数的系数是±1，
但可以渗透整体代入消元的思想.未知数的系数不是±1的题目，我们一般都用加减法解.每道题可以在一种解法之后，还可以进一步讨论先消另一个未知数的解题方法，使学生体验和比较先消x和先消y的相同点和不同点，为学生用代入法解二元一次方程组，选择适当的消元的对象，灵活地解题打下一定的基础.
3.认知难点与突破方法
教学难点是灵活应用代入消元法解二元一次方程组.突破的方法是让学生在解题之前，多观察题目的特点：
代入法解二元一次方程组，首先要选出一个形式上、系数上较简单的方程，把它变形成用某个未知数的式子表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，即达到消元目的.
在解题中体会解题方法的优略，通过比较同一题中先消x和先消y的相同点和不同点；和解不同题目的不同方法，得出解题的技巧和方法.多进行解题后的反思,达到事半功倍的教学效果.
解题后一定要求学生进行检验，以确保解题的正确率，也能培养学生良好的学习习惯.
二、新课引入
1．复习引入
[问题]把下列方程先写成用含y的式子表示x的形式；再写成用含x的式子表示y的形式：
（1）2x+3y=2;
（2）5x-2y=-1.
[说明]本小题训练的是代入法解方程组的第一步，用含y的式子表示x或用含x的式子表示y，这是基本技能之一，教师可以根据学生的情况，增补习题的数量，突破这个重点与难点.
2.[问题]观察由二元一次方程组y=5x－3是否能得到一元一次方
y=7x+1
程5x－3=7x＋1？
你能由此求得这个方程的解吗？
[分析]方程组中两个方程的左边都是y，可知5x－3=7x+1，这是一元一次方程可以求出x的值，把x的值代入方程组中任一个方程就可求出y的值，从而得到这个二元一次方程组的解.
像这样将两个未知数消去其中一个，将二元一次方程组转化为我们会解的一元一次方
程，先解出一个未知数，然后再求出另一个未知数决的想法，叫做消元思想.
三、例题讲解例1．用代入法解方程组y=－2x+5○1
4x+3y=7○2
[分析]：
已经学过一元一次方程的解法，因此解二元一次方程组时要设法把它转化成一元一次方程.方程○1可以直接代入方程○2，消去y,得到x的解.
（P105页的例1.）例2．用代入法解方程组x－y=3，○1
3x－8y=14.○2
[分析]：
方程○1中x的系数是1，用含y的式子表示x，得x=3＋y○3，把○3代入方程○2，消去○2中的x,比较容易得解.
解：
由○1得，x=3+y○3
把○3代入○2得，3（3+y）－8y=14（[提问]把○3代入○1可以吗？
）y=－1（[提问]把y=－1代入○1○2○3哪一个更简单？
）把y=－1代入○3，得x=2
∴原方程组的解为x=2
y=－1
解法二：
方程○1中y的系数是－1,也可用含x的式子表示y，得y=x－3○3，把○3代入方程○2，消去○2中的y,也可解这个方程组.这样能使学生灵活掌握代入消元的思想和方法，还可使学生进一步巩固和比较两种解法的优略.
[提问]把方程○1写成用含y的式子表示x的形式；写成用含x的式子表示y的形式.例3．8.1的引例中，我们已经得到二元一次方程组x＋y=22○1
2x＋y=40○2
你能求出它的解吗？
[分析]方程组中方程○1x＋y=22,可变形为y=22－x,也可变形为x=22－y；把方程○22x＋y=40的y换为22－x,因此这个方程组解法比较灵活、多样，讲解课让学生自己发现，自己解题.
[提问]利用P107页的讨论：
解这个方程时，可以先消x（y）吗？
试试看.
[提问]在运用代入法解方程组时，解题的一般步骤是什么？
用代入法解二元一次方程组的一般步骤是：
（1）从方程组中选出一个系数比较简单的方程，把这个方程变形为用一个
未知数（例如x）表示另一个未知数（例如y）的式子，写成y=ax+b的形式；
（2）把形如y=ax+b的方程代入到另一个方程中，得到一个关于x的一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求出x的值；
（4）把求得的x的值代入如y=ax+b的方程中，求出y得值；
（5）写出方程组的解.
例4（P106页例2）5x=2y，○1
500x＋250y=22500000.○2
解法一：
教材P106页的解法.
解法二：
由○1×100得500x=200y○3，
把○3代入○2得200y＋250y=22500000.
y=50000
把y=50000代入○1得x=20000[反思]解法二利用整体代入的方法解题.
*例5.解方程组2x＋3y=5，○14x－5y=－1○2
[分析]解法一：
由方程○1得x=5－32y○3,把○3代入○2得4·5－32y－5y=－1.这种解法太麻烦我们一般不这样解.
解法二：
方程①、②中x的系数有倍数关系，可以由方程○1得2x=5－3y－1○4，把○4代入○2得2（5－3y）－5y=－1.
解法三：
把方程○2化为2（2x＋3y）－11y=－1○5，把○1直接整体代入代入○5得2×5－11y=－1.
[提问]（在讲完解法一后）还有其他解法吗？
引导学生发现解法二、解法三.
[反思]解法二把2x=5－3y－1直接代入○2简单，因此根据题目的具体特点，采取灵活的方法会使问题简化；解法二、三是利用整体代换的思想，方法比较灵活，适合拓展学有余力的学生的解题思路.
8．2消元
（2）
一、教材分析
1．教学目标、重点、难点教学目标：
会用加减消元法解二元一次方程组.教学重点：
熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法和步骤.教学难点：
灵活运用加减消元法解二元一次方程组.
2.例、习题的意图
（1）本节的引入还是由“篮球联赛”这个引例所得到的方程组开始，P108页[观察]引
导学生寻找除了代入法，还有没有其它的消元法可以解这个方程组,激发学生的求知欲，引起学生的探究.
（2）P108页[思考]使学生把上一题的知识和经验迁移到这道题，解出这个方程组，然后把这种解法上升归纳成一种新的消元方法——加减消元法.
（3）P108页的例3的“小云朵”引起学生的注意，把先解出的x的值在理论上代入方
程①或②都可求得y的值，但是方程①的系数比较简单，故把x的值代入方程①再求y的值.
（4）P109页的例3后的[思考]再次对例3进行讨论，使这道题充分得以挖掘，充分发挥它的作用，使学生全面地了解加减消元的方法.此题之后可以总结出加减消元的步骤.
（5）P109页的例4的方程组代表一类“需要化简的方程组”，这种类型的方程组必须讲，教材中已为学生提示了思维的方向，讲课时的重点不是学生自己分析题目，列方程组，而是教师带领学生列方程组，学生认可这个方程组即可，重点是解方程组的方法：
先化简，再选择适当的方法解.这道题的目的是为学生提供解方程组的问题情景，使学生感到生活中有数学问题，数学可以解决这些问题.
3.难点与突破方法突破的方法是让学生在解题之前，多观察题目的特点，掌握用加减消元法解二元一次方程组的特点：
1若方程组的二个方程中某个未知数的系数互为相反数时，可将两方程左、右两边分别相加，就可达到消去一个未知数的目的.
2若方程组的二个方程中某个未知数的系数互为相等时，可将两方程左、右两边分别相减，就可达到消去一个未知数的目的.
3若方程组的二个方程中某个未知数的系数既不是相反数，又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使某个未知数的系数互为相反数或相等，然后再加减，就可达到消元的目的.
解题后一定要求学生进行检验，以确保解题的正确率，也能培养学生良好的学习习惯.
二、新课引入
1.[复习引入]
用代入消元法解方程组x＋y=22○1
2x＋y=40○2
[启发]P108页观察：
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系?
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
[提问]观察这个方程组，是否可以不通过代入法，而用其他方法达到消去一个未知数的目的？
得到结论：
这两个方程中未知数y的系数相同，○2－○1可消去未知数y.
2.P108页思考又给出一个方程组4x＋10y=3.6○1
15x－10y=8○2
想一想应怎样解这个方程组？
[分析]方程○1、○2中y的系数互为相反数，相反数相加和为0，因此
○1+○2消去y，达到消元的目的.
3.[归纳]P108页两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法.
三、例题讲解
（P108页例3）
例1.用加减法解方程组3x＋4y=16○1
5x－6y=33
[分析]这两个方程中没有同一2个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消
元.
[提问]你试一试，能否把方程作适当的变形，使得两个方程中的两个未知数的系数相反或相同.变形的根据是什么？
解法一：
○1×3，得9x+12y=48③
○2×2,得10x－12y=66④
③+④，得19x=114
x=6
把x=6代入○1，得3×6+4y=16（[提问]把x=6代入○2可吗？
所得结果一样吗？
比较一下哪种更简单？
）
4y=－2
1y=－2
[反思]本题y的系数的符号相反，可用加法消元；P109页的[[思考]进一步要求用减法消去x,解得的结果与消y所得的结果一样吗？
[提问]解这个方程组，还有没有其他的方法？
例如用加减法先消去x.
解法二：
○1×5，得15x+20y=80③
○2×3,得15x－18y=99④
③－④，得38y=－19
1y=－－2
11
把y=－－2代入○1，得3x+4×（－－2）=16
x=6
[提问]你能总结出用加减消元法解二元一次方程组的步骤吗？
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是：
⑴最简形式下的二元一次方程组中，如果两方程中相同未知数的系数相等或互为相反数，就可以把两个方程相减（相等时）或相加（系数互为相反数时），消去一个未知数，从而得到一元一次方程；
⑵解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值；
⑶把求得的一个未知数的值代入原方程组中的某一个方程，求出另一个未知数的值；
⑷求出方程组的解；
⑸如果方程组的两方程中相同未知数的系数既不相等，也不互为相
1）所说的情形，再按步骤
=3.6公顷
=8公顷
反数，就可以选择适当的数去乘方程的两边，使它转化为步骤（
（1）至步骤（4）来进行解答.
例2．（P109页例4）
[分析]等量关系是：
2台大收割机和5台小收割机2小时收割小麦的总公顷数
3台大收割机和2台小收割机5小时收割小麦的总公顷数
解：
设1台大收割机每小时收割小麦x公顷,1台小收割机每小时收割小麦y公顷.
2（2x＋5y）=3.6
＋2y）=8
②–①得11x=4.4
x=0.4
把x=0.4代入①得y=0.2
[注意]P110页的小贴士提示要检验x、y的值，应用问题还需要检验它们的值是否符合实际问题.
四、随堂练习
用加减消元法解下列二元一次方程组
m为何值时，关于x、y的方程组3x－5y=2m的解互为相反数？
并
2x＋7y=m－18求出这个方程组的解.
8.2消元（3）
一、教材分析
1.教学目标、重点、难点教学目标：
会根据方程组的特点，灵活地选择代入法或加减法中更合适的方法，解二元一次方程组.
教学重点：
灵活地选择代入法或加减法解二元一次方程组.教学难点：
灵活地选择代入法或加减法解二元一次方程组.
2．例、习题的意图
（1）P111页给出两个方程组，引出“根据方程组的具体情况选择更合适的解法”这一课题，要求学生在解方程组时，应分析方程组的特点，选择更简单的解题方法
（2）习题8.1中第4题（“鸡兔同笼”问题）放在8.3节中讲解.在做这道题时，教师让学生自己设未知数、列二元一次方程组解决实际问题，主要还是使学生自己选择最简单的方法解，教师只起辅导的作用.
（3）补充例3.因为教材中没有给更多的例题，为了帮助学生能灵活地选择适当的方法解方程组，故应该再多引导学生观察题目的特点，先把含有
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