金融数学引论北大版第三章.docx

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金融数学引论北大版第三章

第三章习题答案

1已知某投资的内部回报率为r，且在该投资中C0=3000元，C1=1000元，

R2=2000元和R3=4000元。

计算r。

解:

令v=1

1+r

，由P（r）=0有

C0+C1v−R2v2−R3v3=0

代入数据，解得：

v≈0.8453

∴r=18.30%

2十年期投资项目的初期投入100,000元，随后每年年初需要一笔维持费用：

第

一年3000元，以后各年以6%的速度增长。

计划收入为：

第一年末30,000元，

以后逐年递减4%，计算R6。

解:

由i=6%,j=4%

R6=30000（1−j）5−3000（1+i）5

=30000×0.965−3000×1.065

=20446.60元

3已知以下投资方式：

当前投入7000元，第二年底投入1000元；回报为：

第一

年底4000元，第三年底5500元。

计算：

P（0.09）和P（0.10）。

解:

净现值P（i）为：

P（i）=−7000+4000（1+i）−1

−1000（1+i）−2+5500（1+i）−3

P（0.09）=75.05元

P（0.10）=−57.85元

4计算满足以下条件的两种收益率的差：

当前的100元加上两年后的108.15元，

可以在第一年底收回208元。

解:

设收益率为i，其满足：

−100+208v−108.15v2=0

解得

i=2.03%或6.03%

两种收益率的差为4.00%

5每年初存款，第10年底余额为1000元，存款利率4%，每年的利息收入以4%

的利率进行再投资。

给出每年存款金额的表达式。

解:

以第10年底为比较日，有以下的方程

10R+4%R（Is）10p3%￢=1000

解得

1000

10+4%（Is）10p3%￢

6现在10000元贷款计划在20年内分年度还清，每年还款1000元。

如果贷款方

可以将每年的还款以年利率5%进行投资。

计算贷款方的实际年收益率。

解:

设年收益率为i，有

1000a20p5%￢v20=10000

解得

i≈6.16%

7某投资者购买了如下的五年期金融产品：

（1）每年底得到1000元；

（2）每年的收入可以按年利率4%投资且当年收回利息。

如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资，实际年收益率为4%。

计算购买价格。

解:

设购买价格为P，有

P（1+i）5=1000×5+1000i（Is）4p3%￢

P×1.045=5000+40（Is）4p3%￢

P=4448.42元

8某投资者连续五年每年期末向基金存款1000元，年利率5%。

同时，利息收

入可以以年利率4%投资。

给出第十年底的累积余额表达式。

解:

对现金流进行拆分，第10年底的余额为：

P=1000×5+5%×1000（Is）10p4%￢−5%×1000（Is）5p4%￢

=5000+50・s1￢1p−11

−50・s6p￢−6

=5000+50×62.159−50×15.824

=7316.73元

9甲将2000元投资10年，年利率17%，利息每年支付，利息的再投资利率为

11%，第10年底的累积利息为5685.48元；乙在20年内，每年底投资150元，

年利率14%，而且利息以11%的年利率再投资。

计算乙在20年底的累积利

息收入。

解:

PA=2000×17%×s9p11%￢

PB=150×14%×（Is）19p11%￢

由PA=5685.48

解得（1+11%）10=2.83942

带入PB计算得PB=8438.71元

另解:

PB=150×14%×（Is）19p11%￢

直接计算得PB=8438.71元

10某人以100000元购得一块土地，每年需交资产税1500元。

十年后以260000

元卖出，同时交纳8%的销售税。

计算年收益率。

解：

由净现值公式有

P（i）=−100000−1500a10pi￢+260000×（1−8%）×（1+i）−10=0

解得：

i≈8.075%

1150000元投资，可以在今后六年内每年得税后收入18000元。

计算：

1）15%的净现值；2）收益率。

解：

由净现值公式有

P（i）=−50000+18000a6p15%￢

（1）P（15%）=18120.69元

（2）P（i）=0

解得：

i≈27.698%

12某人拥有10000元按月以i（12）=6%支付利息的债券，其在得到每月的利息

后，立即以i（12）=12%存入银行，计算其账户在第12次、24次和36次存款

后的余额。

并对以上三种情况计算其每年平均的i（12）。

解：

第n次存款后的余额为

P（n）=10000+10000×i（12）

×s（12）

np￢

每年的平均i（12）满足

10000×（1+

i（12）

）n=P（n）

把n=12,24,36代入得到

P（12）=10634.16,i（12）=6.16%

P（24）=11348.67,i（24）=6.34%

P（36）=12153.84,i（36）=6.52%

13某基金的年初金额为500000元，年底余额为680000元。

投资收入为60000

元，投资成本为5000元。

用资本加权法计算年实际收益率。

解：

由题意，A=500000，B=680000

所以，I=60000−5000=55000

A+B−I

=9.78%

14某基金的年利率4%，年初余额1000元，如果在第三个月底存入200元，

第9个月底取款300元。

假定利率按单利计算，计算年底的余额。

解：

P=1000×（1+i）+200×（1+

i）−300×（1+

i）

=1000×1.04+200×1.03−300×1.01

=943元

（1）假定：

1−tit=（1−t）i，给出1−ti0的表达式；2）假定：

1−ti0=ti，给出1−tit

的表达式。

解：

在考虑福利的前提下有

（1+ti0）（1+1−tit）=1+i

（1）由1−tit=（1−t）i得

it0=

（1+i）−1−（1−t）i

1+（1−t）i

（2）由it0=ti得

1−tit=

（1+i）−1−（1−t）i

1+ti

（1−t）i

1+ti

16在初始时刻和第1年底分别向基金投入1000元，已知基金在第1年底的余

额为1200元，第2年底的余额为2200元。

分别用资本加权法和时间加权法

计算年收益率。

解：

资本加权法

1000（1+i）2+1000（1+i）=2200

解得

i≈6.52%

时间加权法

（1+i）2=

1200

1000

×2200

1200+1000

解得

i≈9.54%

北京大学数学科学学院金融数学系第6页

17基金在元旦的余额为A，6月底的余额为B，年底的余额为C。

（1）若一年中没有任何资本的注入，证明：

投资额加权法和资本加权法计算

的年收益率都是C−A

；

（2）如果在6月底计算余额后立即投入资本D，试分别给出投资额加权法和

时间加权法计算收益率的表达式。

（3）如果

（2）中的投资是在余额计算之前投入的，重新计算

（2）中的两种收益

率。

（4）说明

（2）和（3）中投资额加权法的结果相同的原因。

（5）试说明

（2）中时间加权法的结果大于（3）的结果。

解：

（1）资本加权法

A（1+i）=C

C−A

时间加权法

1+i=

・C

C−A

（2）资本加权法

A（1+i）+D（1+

）=C

C−A−D

A+1

时间加权法

1+i=

・C

B+D

A（B+D）

−1

（3）资本加权法

A（1+i）+D（1+

）=C

C−A−D

A+1

时间加权法

1+i=

B−D

・C

（B−D）C

−1

北京大学数学科学学院金融数学系第7页

（4）资本加权法主要以资本量为衡量标准，所以在6月底余额计算前投入还

是后投入，对收益率没有影响。

（5）

（2）中时间加权法的结果较大的原因是D从计算余额后投入时，认为这部

分资本在下半年产生了利息，而在计算余额前投入，相比较而言，若这部分资本

D是在上半年投入的，则没有产生利息，所以收益率偏大。

18已知：

当t=1,2,3,4,5且y=1,2,・・・10时，有

1+iy

t=（1.08+0.005t）1+0.01y

如果在y=5时投资1000元，持续3年。

计算等价的均衡利率。

解：

设等价的均衡利率为i，利用投资年方法的计算公式有

（1+i51

）（1+i52

）（1+i53

）=（1+i）3

代入数据得到

i≈9.469%

19基金X在1991年元旦的单位价值为1.0元，在1991年7月1日的单位价值

为0.8元，在1992年元旦的单位价值为1.0元，如果某投资者在1991年元旦

和7月1日分别投入10元。

分别用资本加权法和时间加权法计算该投资者

在1991年的收益。

解：

资本加权法，

A=10,C=10,B=10+10×1

0.8

=22.5

得到I=2.5

2.5

10+1

×10

=16.67%

时间加权法

0.8

×1

0.8

−1=0

20某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车：

马上付款5000元；或者，现

付2400元，然后每年底付款1500元，两年付清。

若某购车者的最小可接

受的年收益率为10%，问其选择哪个方式购买？

解：

以最小可接受的年收益率算得购车者以第二种方式购车的现值为：

2400+1500（1+i）−1+1500（1+i）−2=5003.31元>5000

北京大学数学科学学院金融数学系第8页

所以应该选择第一种方式付款。

21如果投资者的可接受利率为12%，说明第3题的项目是否可以接受。

解：

用Excel规划求解内部收益率得

r≈9.56%<12%

所以可以接受这个项目。

22如果例子3.19的项目回报率为15%，计算相应的项目融资利率f。

解：

利用r,f之间的关系式：

1+r=

10000

1600

（1−1

1+f

）

把r=15%代入

解得：

f=22.55%

23已知某项目前五年的现金流如表3-13所示。

若r=15%,f=10%，计算B5。

表3-13

t012345

Ct10002000-40003000-40005000

解：

B0=C0=1000

B1=B0（1+r）+C1=3150

B2=B1（1+r）+C2=−377.5

B3=B2（1+f）+C3=2584.75

B4=B3（1+r）+C4=−1027.54

B5=B4（1+f）+C5=3869.71

北京大学数学科学学院金融数学系第9页

24现有某一种投资，若利息收入要扣除25%的收入税。

估计在今后20年内可

以达到年利率8%注：

税前，计算在20年底，利息累积额下降的比例。

解：

税后的等价利率为8%×3/4=6%,从而利息累积额下降比例为

1.0820−1.0620

1.0820−1

=39.7%

25某人需要800元借款，有以下两种方式偿还：

（1）只借800元，然后期末一次偿还900元；

（2）先借1000元，期末偿还1120元。

如果最小可接受的利率为10%，分析其选择。

解：

对于第一种方式，期末的现值为：

800（1+10%）−900=−20元

对于第二种方式，期末现值为：

1000（1+10%）−1100=−20元

所以两种方式是等价的。

此题有待讨论。

26保险公司将寿险保费的收入建立基金，年底计息。

受益人可以在今后10年

的每年底从基金中取款，若保单的最低年利率为3%时，每年的取款金额为

1000元。

然而，保险公司的基金投资利率为：

前四年4%，后六年5%。

因而，

实际取款金额为：

Wt=

¨a11−tp3%￢,t=1,2,...,10

其中Ft表示基金在时刻t（t=0去掉,1,2,...,10）的余额。

计算W10。

解：

由递推公式

Wt=

¨a11−tp3%￢,Fn+1=Fn−Wn

整理得

Ft+1=Ft・1.03+・・・+1.0310−t

1+1.03+・・・+1.0310−t,t=1...9

北京大学数学科学学院金融数学系第10页

F10=F1×1.039

1+1.03+・・・+1.039

=1000×¨a10p3%￢×1.039

¨a10p3%￢

=1000×1.039

=1304.77

W10=

F10

¨a1p3%￢=1304.77元

与原答案有出入。

27某基金在1月1日的余额为273000元，在12月31日的余额为372000元。

该

基金一年的利息收入为18000元，收益率6%。

计算平均的存取款日期。

解：

由题意有

A=273,000B=372,000I=18,000

C=B−A−I=81000

A+C（1−t）

=6%

∴t=

所以平均的存取款日期是9月1日。

北京大学数学科学学院金融数学系第11页

28某基金的投入为连续方式，起始余额为1，t时刻的投入为1+t，利息力函数

为（1+t）−1。

计算n年末的终值。

解：

期初的现值为：

a（n）=a（0）+

∫n

（1+x）exp{−

∫n

（1+t）−1dt}dx

=1+

∫n

（1+x）・1

1+x

=1+n

n年末的终值为

AV=a（n）・exp{

∫n

（1+t）−1dt}

=（1+n）・（1+n）

=（1+n）2

29某基金在1991年和1992年间的运作情况如表3-14所示。

用时间加权法计

算这两年的收益率。

表3-14

日期1/1/911/7/911/1/921/7/921/1/93

基金价值/元1000000131********00015400001420000

投入/元250000250000

取出/元150000150000

解：

根据题意，所求收益率为：

（

131−25

100

×126.5+15

131

×154−25

126.5

×142+15

154

）

2−1=9.10247%

应注明投资和支取是在计算余额前投入的！

北京大学数学科学学院金融数学系第12页

30某互助基金的初始单位价值为10000，在随后的5年底的价值为：

11710元，

12694元，14661元，14148元和16836元，有三个投资者A、B和C，投资

情况如表3-15所示。

（1）用时间加权法计算该基金在5年中的年平均收益率；

（2）用资本加权法计算每个投资者在5年中的年平均回报率。

表3-15

时间第1年底第2年底第3年底第4年底第5年底

A10002000300040005000

B30003000300030003000

C50004000300020001000

解：

（1）有资本加权法有：

（1+i）5=

11710

10000

×12694

11710

×14661

12694

×14148

14661

×16836

14148

∴i=10.99%

（2）对于投资者A,

B0=0

B1=C1=1000

B2=B1×12694

11710

+C2=3084.03

B3=B2×14661

12694

+C3=6561.92

B4=B3×14148

14661

+C4=10332.31

B5=B4×16836

14148

+C5=17295.36

C1（1+r）4+C2（1+r）3+C3（1+r）2+C4（1+r）+C5=17295.36

解得：

r≈10.60%

北京大学数学科学学院金融数学系第13页

对于投资者B,

B0=0

B1=C1=3000

B2=B1×12694

11710

+C2=6252.09

B3=B2×14661

12694

+C3=10220.89

B4=B3×14148

14661

+C4=12863.25

B5=B4×16836

14148

+C5=18307.16

C1（1+r）4+C2（1+r）3+C3（1+r）2+C4（1+r）+C5=18307.16

解得：

r≈9.98%

对于投资者C,

B0=0

B1=C1=5000

B2=B1×12694

11710

+C2=9420.15

B3=B2×14661

12694

+C3=13879.86

B4=B3×14148

14661

+C4=15394.19

B5=B4×16836

14148

+C5=19318.96

C1（1+r）4+C2（1+r）3+C3（1+r）2+C4（1+r）+C5=19318.96

解得：

r≈9.68%

北京大学数学科学学院金融数学系第14页___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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