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1、金融数学引论北大版第三章第三章习题答案1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元，R2 = 2000 元和R3 = 4000 元。计算r 。解: 令v = 11+r，由P(r) = 0 有C0 + C1v R2v2 R3v3 = 0代入数据，解得：v 0.8453 r = 18.30%2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年末30,000 元，以后逐年递减4% ，计算R6 。解: 由i = 6%, j = 4%R6 = 30000(1 j)

2、5 3000(1 + i)5= 30000 0.965 3000 1.065= 20446.60元3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一年底4000 元，第三年底5500 元。计算：P(0.09) 和P(0.10) 。解: 净现值P(i) 为：P(i) = 7000 + 4000(1 + i)1 1000(1 + i)2 + 5500(1 + i)3P(0.09) = 75.05元P(0.10) = 57.85元4 计算满足以下条件的两种收益率的差：当前的100 元加上两年后的108.15 元，可以在第一年底收回208 元。解: 设收益率为i ，其满

3、足：100 + 208v 108.15v2 = 0解得i = 2.03% 或6.03%两种收益率的差为4.00%5 每年初存款，第10 年底余额为1000 元，存款利率4% ，每年的利息收入以4%的利率进行再投资。给出每年存款金额的表达式。解: 以第10 年底为比较日，有以下的方程10R + 4%R(Is)10p3% = 1000解得R =100010 + 4%(Is)10p3% 6 现在10000 元贷款计划在20 年内分年度还清，每年还款1000 元。如果贷款方可以将每年的还款以年利率5% 进行投资。计算贷款方的实际年收益率。解: 设年收益率为i ，有1000 a20p5% v20 = 1

4、0000解得i 6.16%7 某投资者购买了如下的五年期金融产品：(1) 每年底得到1000 元；(2) 每年的收入可以按年利率4% 投资且当年收回利息。如果该投资者将每年的利息收入以年利率3% 再投资，实际年收益率为4%。计算购买价格。解: 设购买价格为P ，有P(1 + i)5 = 1000 5 + 1000 i (Is)4p3% P 1.045 = 5000 + 40(Is)4p3% P = 4448.42 元8 某投资者连续五年每年期末向基金存款1000 元，年利率5% 。同时，利息收入可以以年利率4% 投资。给出第十年底的累积余额表达式。解: 对现金流进行拆分，第10 年底的余额为：

5、P = 1000 5 + 5% 1000 (Is)10p4% 5% 1000 (Is)5p4% = 5000 + 50 s11p 114% 50 s6p 64%= 5000 + 50 62.159 50 15.824= 7316.73 元9 甲将2000 元投资10 年，年利率17% ，利息每年支付，利息的再投资利率为11% ，第10 年底的累积利息为5685.48 元；乙在20 年内，每年底投资150 元，年利率14% ，而且利息以11% 的年利率再投资。计算乙在20 年底的累积利息收入。解:PA = 2000 17% s9p11% PB = 150 14% (Is)19p11% 由PA =

6、 5685.48解得(1 + 11%)10 = 2.83942带入PB 计算得PB = 8438.71元另解:PB = 150 14% (Is)19p11% 直接计算得PB = 8438.71元10 某人以100000 元购得一块土地，每年需交资产税1500 元。十年后以260000元卖出，同时交纳8%的销售税。计算年收益率。解：由净现值公式有P(i) = 100000 1500a10pi + 260000 (1 8%) (1 + i)10 = 0解得：i 8.075%11 50000 元投资，可以在今后六年内每年得税后收入18000 元。计算：1) 15% 的净现值；2)收益率。解：由净现值

7、公式有P(i) = 50000 + 18000a6p15% (1) P(15%) = 18120.69元 (2) P(i) = 0解得：i 27.698%12 某人拥有10000 元按月以i(12) = 6% 支付利息的债券，其在得到每月的利息后，立即以i(12) = 12% 存入银行，计算其账户在第12 次、24 次和36 次存款后的余额。并对以上三种情况计算其每年平均的i(12) 。解：第n 次存款后的余额为P(n) = 10000 + 10000 i(12)12 s(12)np 每年的平均i(12) 满足10000 (1 +i(12)12)n = P(n)把n = 12, 24, 36

8、代入得到P(12) = 10634.16 , i(12) = 6.16%P(24) = 11348.67 , i(24) = 6.34%P(36) = 12153.84 , i(36) = 6.52%13 某基金的年初金额为500000 元，年底余额为680000 元。投资收入为60000元，投资成本为5000 元。用资本加权法计算年实际收益率。解：由题意，A = 500000，B = 680000所以，I = 60000 5000 = 55000i =2IA + B I= 9.78%14 某基金的年利率4%，年初余额1000 元，如果在第三个月底存入200 元，第9个月底取款300 元。假定

9、利率按单利计算，计算年底的余额。解：P = 1000 (1 + i) + 200 (1 +34i) 300 (1 +14i)= 1000 1.04 + 200 1.03 300 1.01= 943 元15 (1)假定：1tit = (1 t)i，给出1ti0 的表达式；2）假定：1ti0 = ti ，给出1tit的表达式。解：在考虑福利的前提下有(1 + ti0)(1 +1tit) = 1 + i(1) 由1tit = (1 t)i得i t 0 =(1 + i) 1 (1 t)i1 + (1 t)i=ti1 + (1 t)i(2) 由i t 0 = ti 得1tit =(1 + i) 1 (1

10、 t)i1 + ti=(1 t)i1 + ti16 在初始时刻和第1 年底分别向基金投入1000 元，已知基金在第1 年底的余额为1200 元，第2 年底的余额为2200 元。分别用资本加权法和时间加权法计算年收益率。解：资本加权法1000(1 + i)2 + 1000(1 + i) = 2200解得i 6.52%时间加权法(1 + i)2 =12001000 22001200 + 1000解得i 9.54%北京大学数学科学学院金融数学系第6 页版权所有，翻版必究17 基金在元旦的余额为A，6月底的余额为B，年底的余额为C。(1) 若一年中没有任何资本的注入，证明：投资额加权法和资本加权法计算

11、的年收益率都是CAA；(2) 如果在6 月底计算余额后立即投入资本D ，试分别给出投资额加权法和时间加权法计算收益率的表达式。(3) 如果(2) 中的投资是在余额计算之前投入的，重新计算(2) 中的两种收益率。(4) 说明(2) 和(3) 中投资额加权法的结果相同的原因。(5) 试说明(2) 中时间加权法的结果大于(3) 的结果。解：(1) 资本加权法A(1 + i) = Ci =C AA时间加权法1 + i =BA CBi =C AA(2) 资本加权法A(1 + i) + D(1 +i2) = CC =C A DA + 12D时间加权法1 + i =BA CB + Di =B CA (B +

12、 D) 1(3) 资本加权法A(1 + i) + D(1 +i2) = CC =C A DA + 12D时间加权法1 + i =B DA CBi =(B D) CA B 1北京大学数学科学学院金融数学系第7 页版权所有，翻版必究(4) 资本加权法主要以资本量为衡量标准，所以在6 月底余额计算前投入还是后投入，对收益率没有影响。(5) (2)中时间加权法的结果较大的原因是D从计算余额后投入时，认为这部分资本在下半年产生了利息，而在计算余额前投入，相比较而言，若这部分资本D 是在上半年投入的，则没有产生利息，所以收益率偏大。18 已知：当t = 1, 2, 3, 4, 5 且y = 1, 2, 1

13、0 时，有1 + iyt = (1.08 + 0.005t)1+0.01y如果在y = 5 时投资1000 元，持续3 年。计算等价的均衡利率。解：设等价的均衡利率为i ，利用投资年方法的计算公式有(1 + i51)(1 + i52)(1 + i53) = (1 + i)3代入数据得到i 9.469%19 基金X 在1991 年元旦的单位价值为1.0 元，在1991 年7 月1 日的单位价值为0.8 元，在1992 年元旦的单位价值为1.0 元，如果某投资者在1991 年元旦和7 月1 日分别投入10 元。分别用资本加权法和时间加权法计算该投资者在1991年的收益。解：资本加权法，A = 10

14、,C = 10,B = 10 + 10 10.8= 22.5得到I = 2.5i =2.510 + 12 10= 16.67%时间加权法i =0.81 10.8 1 = 020 某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车：马上付款5000 元；或者，现付2400 元，然后每年底付款1500 元，两年付清。若某购车者的最小可接受的年收益率为10%，问其选择哪个方式购买？解：以最小可接受的年收益率算得购车者以第二种方式购车的现值为：2400 + 1500(1 + i)1 + 1500(1 + i)2 = 5003.31 元 5000北京大学数学科学学院金融数学系第8 页版权所有，翻版必究所以应该选择

15、第一种方式付款。21 如果投资者的可接受利率为12%，说明第3 题的项目是否可以接受。解：用Excel规划求解内部收益率得r 9.56% 12%所以可以接受这个项目。22 如果例子3.19 的项目回报率为15%，计算相应的项目融资利率f 。解：利用r,f 之间的关系式：1 + r =100001600(1 11 + f)把r = 15% 代入解得：f = 22.55%23 已知某项目前五年的现金流如表3-13 所示。若r = 15%, f = 10%，计算B5。表3-13t 0 1 2 3 4 5Ct 1000 2000 -4000 3000 -4000 5000解：B0 = C0 = 100

16、0B1 = B0(1 + r) + C1 = 3150B2 = B1(1 + r) + C2 = 377.5B3 = B2(1 + f) + C3 = 2584.75B4 = B3(1 + r) + C4 = 1027.54B5 = B4(1 + f) + C5 = 3869.71北京大学数学科学学院金融数学系第9 页版权所有，翻版必究24 现有某一种投资，若利息收入要扣除25%的收入税。估计在今后20 年内可以达到年利率8%注：税前，计算在20年底，利息累积额下降的比例。解：税后的等价利率为8% 3/4 = 6%,从而利息累积额下降比例为1.0820 1.06201.0820 1= 39.7

17、%25 某人需要800 元借款，有以下两种方式偿还：(1) 只借800 元，然后期末一次偿还900元；(2) 先借1000 元，期末偿还1120 元。如果最小可接受的利率为10%，分析其选择。解：对于第一种方式，期末的现值为：800(1 + 10%) 900 = 20 元对于第二种方式，期末现值为：1000(1 + 10%) 1100 = 20 元所以两种方式是等价的。此题有待讨论。26 保险公司将寿险保费的收入建立基金，年底计息。受益人可以在今后10 年的每年底从基金中取款，若保单的最低年利率为3%时，每年的取款金额为1000 元。然而，保险公司的基金投资利率为：前四年4%，后六年5%。因而

18、，实际取款金额为：Wt =Fta11tp3% , t = 1, 2, . . . , 10其中Ft 表示基金在时刻t(t = 0 去掉, 1, 2, . . . , 10) 的余额。计算W10 。解：由递推公式Wt =Fta11tp3% , Fn+1 = Fn Wn整理得Ft+1 = Ft 1.03 + + 1.0310t1 + 1.03 + + 1.0310t , t = 1 . . . 9北京大学数学科学学院金融数学系第10 页版权所有，翻版必究F10 = F1 1.0391 + 1.03 + + 1.039= 1000 a10p3% 1.039a10p3% = 1000 1.039= 1

19、304.77W10 =F10a1p3% = 1304.77 元与原答案有出入。27 某基金在1 月1 日的余额为273000 元，在12 月31 日的余额为372000元。该基金一年的利息收入为18000 元，收益率6%。计算平均的存取款日期。解：由题意有A = 273, 000 B = 372, 000 I = 18, 000C = B A I = 81000i =IA + C(1 t)= 6% t =23所以平均的存取款日期是9 月1 日。北京大学数学科学学院金融数学系第11 页版权所有，翻版必究28 某基金的投入为连续方式，起始余额为1，t 时刻的投入为1+t，利息力函数为(1 + t)

20、1。计算n 年末的终值。解：期初的现值为：a(n) = a(0) + n0(1 + x)exp n0(1 + t)1dtdx= 1 + n0(1 + x) 11 + xdx= 1 + nn 年末的终值为AV = a(n) exp n0(1 + t)1dt= (1 + n) (1 + n)= (1 + n)229 某基金在1991 年和1992 年间的运作情况如表3-14 所示。用时间加权法计算这两年的收益率。表3-14日期1/1/91 1/7/91 1/1/92 1/7/92 1/1/93基金价值/元1000000 131* *000 1540000 1420000投入/元250000 250

21、000取出/元150000 150000解：根据题意，所求收益率为：(131 25100 126.5 + 15131 154 25126.5 142 + 15154)12 1 = 9.10247%应注明投资和支取是在计算余额前投入的！北京大学数学科学学院金融数学系第12 页版权所有，翻版必究30 某互助基金的初始单位价值为10000，在随后的5 年底的价值为：11710 元，12694 元，14661 元，14148 元和16836 元，有三个投资者A、B 和C，投资情况如表3-15 所示。(1) 用时间加权法计算该基金在5 年中的年平均收益率；(2) 用资本加权法计算每个投资者在5 年中的年

22、平均回报率。表3-15时间第1 年底第2 年底第3 年底第4 年底第5 年底A 1000 2000 3000 4000 5000B 3000 3000 3000 3000 3000C 5000 4000 3000 2000 1000解：(1) 有资本加权法有：(1 + i)5 =1171010000 1269411710 1466112694 1414814661 1683614148 i = 10.99%(2) 对于投资者A,B0 = 0B1 = C1 = 1000B2 = B1 1269411710+ C2 = 3084.03B3 = B2 1466112694+ C3 = 6561.92

23、B4 = B3 1414814661+ C4 = 10332.31B5 = B4 1683614148+ C5 = 17295.36C1(1 + r)4 + C2(1 + r)3 + C3(1 + r)2 + C4(1 + r) + C5 = 17295.36解得：r 10.60%北京大学数学科学学院金融数学系第13 页版权所有，翻版必究对于投资者B,B0 = 0B1 = C1 = 3000B2 = B1 1269411710+ C2 = 6252.09B3 = B2 1466112694+ C3 = 10220.89B4 = B3 1414814661+ C4 = 12863.25B5 =

24、B4 1683614148+ C5 = 18307.16C1(1 + r)4 + C2(1 + r)3 + C3(1 + r)2 + C4(1 + r) + C5 = 18307.16解得：r 9.98%对于投资者C,B0 = 0B1 = C1 = 5000B2 = B1 1269411710+ C2 = 9420.15B3 = B2 1466112694+ C3 = 13879.86B4 = B3 1414814661+ C4 = 15394.19B5 = B4 1683614148+ C5 = 19318.96C1(1 + r)4 + C2(1 + r)3 + C3(1 + r)2 + C4(1 + r) + C5 = 19318.96解得：r 9.68%北京大学数学科学学院金融数学系第14 页_