人教版九年级上册数学 第21章《一元二次方程》讲义 第2讲一元二次方程应用有答案.docx
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人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》讲义第2讲一元二次方程应用有答案
第2讲一元二次方程应用
第一部分知识梳理
知识点一：
根的判别式
1、了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。
（1）
=
（2）根的判别式定理及其逆定理：
对于一元二次方程
（
）
①、当
方程有实数根；
当
方程有两个不相等的实数根；
当
方程有两个相等的实数根；
②当
方程无实数根；
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
2、常见的问题类型
（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况
（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围
（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况
①先计算出判别式（关键步骤）；
②用配方法将判别式恒等变形；
③判断判别式的符号；
④总结出结论.
（4）分类讨论思想的应用：
如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。
（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧
（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合
知识点二：
根与系数的关系
1、如果
是一元二次方程
（
）的两根，根据韦达定理，
2、提示：
利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。
3、利用韦达定理求一些重要代数式（
、
、
）的值：
解题小诀窍：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。
第二部分考点精讲精练
考点1、根的判别式应用
例1、已知关于x的一元二次方程3x2+4x-5=0，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
例2、如果关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有实数根，则m的取值范围是（）
A．m≥-1B．m≤-1C．m＞1D．m＜1
例3、方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，
，那么该方程（）
A．一定没有实数根B．一定有两个不相等的实数根
C．一定又两个相等的实数根D．只有一个实数根
例4、若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是．
例5、已知关于x的方程
=1+x有一个根，那么a的值为 ．
例6、a取什么值时，方程a（a-2）x=4（a-2）①有唯一的解？
②无解？
③有无数多解？
④是正数解？
举一反三：
1、如果关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）
A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1
2、下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+x-1=0 B．x2+8x+1=0 C．x2+x+2=0 D．x2-6x+2=0
3、关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足_______．
4、若关于x的方程x2-k|x|+4=0有四个不同的解，则k的取值范围是 ．
5、已知：
关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
6、已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程
有两个相等的实数根．
（1）求a的最小值；
（2）当a达到最小时，解这个方程．
考点2、根与系数的关系
例1、若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）
A、x2+3x-2=0 B、x2+3x+2=0 C、x2-3x+2=0 D、x2-2x+3=0
例2、已知α，β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）
A．-1B．9C．23D．27
例3、若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3，则p+q=（ ）
A.-6B.-7C.-8D.-9
例4、若关于未知数x的方程x2+（m+2）x+m+5=0的两根都是正数，则m的取值范围是 ．
例5、已知关于x的方程x2-（m+5）x+3（m+2）=0．
（1）求证：
无论m取何实数值，方程总有两个实数根；
（2）如果Rt△ABC的斜边长为5，两条直角边长恰好是这个方程的两个根．求△ABC的面积．
举一反三：
1、已知关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的一个根为2，则另一根是（）
A．4B．1C．2D．-2
2、设a，b是方程x2+x-2019=0的两个根，则a2+2a+b的值为（ ）
A.2009B.2010C.2019D.2019
3、若方程x2+（m2-1）x+m=0的两根互为相反数，则m= ．
4、设α，β是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根，则α2+4α+β= ．
5、已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3-6m=0．
（1）求证：
无论m取何实数，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根xl和x2满足xl+x2=m，求m的值．
6、已知关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+a2-3=0的两个实数根的平方和为4，求a的值．
考点3、配方法的应用
例1、已知P=2x2+4y+13，Q=x2-y2+6x-1，则代数式P，Q的大小关系是（）
A．P≥QB．P≤QC．P＞QD．P＜Q
例2、已知a2+10a+b2-4b+29=0，则a+b的值是（）
A．-1B．-3C．-2D．0
例3、已知x2+y2-2x-4y+5=0，分式
的值为 ．
例4、已知a2b2+a2+b2+1=4ab，则a= ，b= ．
例5、阅读以下材料，解答问题：
例：
设y=x2+6x-1，求y的最小值．
【解析】
y=x2+6x-1
=x2+2•3•x+32-32-1=（x+3）2-10
∵（x+3）2≥0
∴（x+3）2-10≥-10即y的最小值是-10．
问题：
（1）设y=x2-4x+5，求y的最小值．
（2）已知：
a2+2a+b2-4b+5=0，求ab的值．
例6、我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：
求证：
（1）不论m取任何实数，代数式4m2-4（m+1）+9的值总是正数
（2）当m为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．
举一反三：
1、若a，b都是有理数，且a2-2ab+2b2+4b+4=0，则ab等于（）
A．4B．8C．-8D．-4
2、已知实数x，y满足
，则x-y= ．
3、若a，b都是有理数，且a2-2ab+2b2+4a+8=0，则
= ．
4、已知
，求
的值．
5、已知a、b是等腰△ABC的边且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求等腰△ABC的周长．
6、阅读材料：
把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：
x2-2x+4=x2-2x+1+3=（x-1）2+3是x2-2x+4的一种形式的配方，x2-2x+4=x2-4x+4+2x=（x-2）2+2x是x2-2x+4的另一种形式的配方…
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2-4x+1的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2-4x+6y+13=0，求2x-y的值；
（3）已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0，求a+b+c的值．
第三部分课堂小测
1、关于x的一元二次方程x2+3x-1=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
2、若方程8x2+2kx+k-1=0的两个实数根是x1，x2且满足x12+x22=1，则k的值为（）
A．-2或6B．-2C．6D．4
3、已知关于x的方程x2-（a2-2a-15）x+a-1=0两个根是互为相反数，则a的值为______．
4、关于x的方程mx2-2（3m-1）x+9m-1=0有实数根，则m的取值范围是。
5、关于x的方程2x2-mx+2=0的两根的倒数和为3，那么m= ．
6、已知x，y满足x2+y2-6x+2y+10=0，则2y= ．
7、若关于未知数x的方程x2+（m+2）x+m+5=0的两根都是正数，则m的取值范围是 ．
8、若4m2+n2-6n+4m+10=0，求m-n的值．
9、已知关于x的一元二次方程3x2-6x+1-k=0有实数根，k为负整数．
（1）求k的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．
10、已知：
在△ABC中，a、b、c为三边，且a2+b2+c2-ab-ac-bc=0．试说明△ABC为等边三角形．
11、已知关于x的一元二次方程
（1）求证：
不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且满足
，求m的值．
第四部分提高训练
1、若x1，x2是方程x2+2x-k=0的两个不相等的实数根，则x12+x22-2是（）
A．正数B．零C．负数D．不大于零的数
2、以下关于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的说法中，正确的是（）
A．若a+b+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有一根为-1
B．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有一根为1
C．若ac＜0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
D．若b=0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个实数根，并且这两根互为相反数
3、已知：
关于x的一元二次方程x2-2（2m-3）x+4m2-14m+8=0，
（1）若m＞0，求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．
4、已知x1，x2是一元二次方程x2-x+2m-2=0的两个实根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m满足2x1+x2=m+1，求m的值．
5、已知：
x1、x2是关于x的方程x2-（m-2n）x+
mn=0的两个实数根．
（1）若
=2m-4n，且m≠2n，求mn的值；
（2）若n、x1、x2均为正数，且x1=x2，求
的值．
6、已知m2+2mn+2n2-6n+9=0，求
的值．
【解析】
∵m2+2mn+2n2-6n+9=0
∴（m+n）2+（n-3）2=0
∴（m+n）2=0，（n-3）2=0
∴n=3，m=-3
∴
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+4x+4+y2-8y+16=0，求
的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2-8b-10a+41=0，求△ABC中最大边c的取值范围；
（3）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数．
第五部分课后作业
1、下列命题正确的是（）
A．方程x2=x只有一个实数根B．方程x2-8=0有两个相等的实数根
C．方程x2-x+1=0两实根之和为1D．方程2x2-3x+2=0没有实数根
2、关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是（ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
3、方程x2-（m+1）x+m-4=0的两根之和为2，则两根之积为（）
A．-7B．7C．1D．-3
4、下列方程中，有实数根且实数根的和是2的方程是（）
A．x2+2x+4=0B．x2-2x+4=0
C．x2-2x-4=0D．x2+2x-4=0
5、若a2+b2+4a-2b+5=0，则（a+b）2019=（）
A．-1B．1C．32019D．-32019
6、设方程x2+x-1=0的两个实根分别为x1和x2，那么
= ．
7、已知代数式x2+2x可以利用完全平方公式变形为（x+1）2-1，进而可知x2+2x的最小值是-1．依此方法，代数式x2+y2+4x-y+5的最小值是 ．
8、关于x的一元二次方程-x2+（2m+1）x+1-m2=0无实数根，则m的取值范围是
9、已知正整数a，b，c满足等式a2+b2+c2+49=4a+6b+12c，试判断三条长分别为a，b，c的线段能否围成一个三角形，并请说明理由．
10、已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根.
第2讲一元二次方程应用
第二部分考点精讲精练
考点1、根的判别式应用
例1、B
例2、A
例3、B
例4、1
例5、
例6、
举一反三：
1、C
2、C
3、解：
（1）当a-5=0即a=5时，方程变为-4x-1=0，此时方程一定有实数根；
（2）当a-5≠0即a≠5时，
∵关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根
∴16+4（a-5）≥0，
∴a≥1．所以a的取值范围为a≥1．
故答案为：
a≥1．
4、
5、
6、
考点2、根与系数的关系
例1、C
例2、D
例3、B
例4、
例5、
（2）
举一反三：
1、D
2、C
3、
4、
5、
（2）
6、解：
设原方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-（a+1），x1•x2=a2-3，
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=4，
∴[-（a+1）]2-2（a2-3）=4，
∴a2-2a-3=0，
即（a-3）（a+1）=0，解得：
a1=3，a2=-1，
∵当a=3时，原方程的△=[-（a+1）]2-4（a2-3）=-3a2+2a+13=-8＜0，不符合题意舍去，
当a=-1时，原方程的△=-3a2+2a+13=8＞0，∴a=-1．
考点3、配方法的应用
例1、C
例2、B
例3、
例4、
例5、
例6、
举一反三：
1、A
2、
3、
4、
5、
6、
第三部分课堂小测
1、A
2、B
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、
11、
（2）
第四部分提高训练
1、
2、
3、
4、
5、
6、
第五部分课后作业
1、D
2、C
3、D
4、C
5、A
6、
7、
8、
9、
10、
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