秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 25 一元二次方程的应用教案 新版湘教版.docx

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2．5　一元二次方程的应用

第1课时　一元二次方程的应用

（1）

教学目标

【知识与技能】

使学生会用列一元二次方程的方法解应用题．

【过程与方法】

让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值．

【情感态度】

在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力．

【教学重点】

建立一元二次方程模型解决一些代数问题．

【教学难点】

把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题．

教学过程

一、情景导入，初步认知

列方程解应用问题的步骤是什么？

①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答．

【教学说明】七年级学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用．

二、思考探究，获取新知

1．某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假设该省每年产生的秸秆总量不变）

分析：

由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：

今年的使用率×（1＋年平均增长率）2＝后年的使用率

解：

设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：

40%（1＋x）2＝90%

解得：

x1＝50%，x2＝－2.5

根据题意可知：

x＝50%

答：

这两年秸秆使用率的平均年增长率为50%.

2．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．求平均每次降价的百分率．

分析：

问题中涉及的等量关系是：

原价×（1－平均每次降价的百分率）2＝现在的售价

解：

设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系，可列出方程：

100（1－x）2＝81

解得：

x1＝10%，x2＝1.9

根据题意可知：

x＝10%

答：

平均每次降价的百分率为10%.

3．“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？

【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：

分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解．

【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法．

三、运用新知，深化理解

1．见教材P50例2.

2．一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元．如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得________．

【答案】121（1－x）2＝100

3．某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么

这个增长率是多少？

分析：

本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．

解：

设这个增长率是x，根据题意得：

2000×（1＋x）2＝2880

解得：

x1＝20%，x2＝－220%（舍去）

故答案为：

20%.

4．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？

解：

设每年经营总收入的年增长率为a.

列方程，600÷40%×（1＋a）2＝2160

解方程，a1＝0.2，a2＝－2.2，（不符合题意，舍去）

∴每年经营总收入的年增长率为0.2，

则2013年预计经营总收入为：

600÷40%×（1＋0.2）＝600÷40%×1.2＝1800

答：

2013年预计经营总收入为1800万元．

5．将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已

知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润．

（1）写出x与y之间的关系式；

（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？

解∶

（1）商品的单价为50＋x元，每个的利润是（50＋x）－40元，销售量是500－10x个，则依题意得y＝[（50＋x）－40]（500－10x），即y＝－10x2＋400x＋5000.

（2）依题意，得－10x2＋400x＋5000＝8000.

整理，得x2－40x＋300＝0.

解得x1＝10，x2＝30.

所以商品的单价应定为50＋10＝60（元）或50＋30＝80（元）．

当商品的单价为60元时，其进货量只能是500－10×10＝400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500－10×30＝200（个）．

6．“国运兴衰，系于教育”下图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况．

（1）由图可见，1998─2002年的五年内，我国教育经费投入呈现出________趋势；

（2）如果我国的教育经费从2002年的5500亿元增加到2004年的7920亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？

解：

（1）上升或增长．

（2）设平均每年增长率为x.依题意，

5500（1＋x）2＝7920

解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．

答：

这两年的教育经费平均年增长率为20%.

【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的

用途．

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

课

后作业

布置作业：

教材“习题2.5”中第1、2题．

教学反思

一元二次方程的应用——增长率及利润问题与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容．

本节课中，同学们能积极投入到课堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果．

第2课时　一元二次方程的应用

（2）

教学目标

【知识与技能】

会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释．

【过程与方法】

进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学的意识．

【情感态度】

让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识．

【教学重点】

应用一元二次方程解决实际问题．

【教学难点】

从实际问题中建立一元二次方程的模型．

教学过程

一、情景导入，初步认知

复习列方程解应用题的一般步骤：

（1）审题：

仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；

（2）设未知数：

用字母（如x）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；（3）列方程：

根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；（4）解方程：

求出所给方程的解；（5）检验：

既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；（6）作答：

根据题意，选择合理的答案．

2．说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？

【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习作准备．

二、思考探究，获取新知

1．思考：

如图，在一长为40cm，宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米，求截去的四个小正方形的边长．

（1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；

（2）确定本题的等量关系是：

盒子的底面积＝盒子的底面长×盒子的底面宽；

（3）引导学生根据题意设未知数；

（4）引导学生根据等量关系列方程；

（5）引导学生求出所列方程的解；

（6）检验所求方程的解的合理性；

（7）根据题意作答．

【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位，是多项式时要加括号再写单位．

2．如图，一长为32m，宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2，求道路的宽．

分析：

本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍．本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32－x）（20－x）平方米2，进而即可列出方程，求出答案．

解：

设道路宽为x米

（32－x）（20－x）＝540

解得：

x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）

∴x＝2

答：

道路宽为2米．

3．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm.BC＝8cm，点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动，同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点达到终点时，另一点也随之停止移动，问点P、Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2?

解：

设xs后，可使△PCQ的面积为9cm2.

由题意得，AP＝xcm，PC＝（6－x）cm，CQ＝2xcm则

·（6－x）·2x＝9.

整理，得x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.

所以P、Q同时出发，3s后可使△PCQ的面积为9cm2.

【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法．

三、运用新知，深化理解

1．如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横路宽为3xcm，则可列方程为________．

分析：

若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为（30－4x）（20－6x）m2，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程．

则可列方程：

（30－4x）（20－6x）＝

×30×20

【答案】（30－4x）（20－6x）＝

×30×20

2．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．x2＋130x－1400＝0

B．x2＋65x－350＝0

C．x2－130x－1400＝0

D．x2－65x－350＝0

【答案】B

3．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．

（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?

（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？

解：

（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为

（80－x）米．

依题意，得x·

（80－x）＝750.

即，x2－80x＋1500＝0，

解此方程，得x1＝30，x2＝50.

∵墙的长度不超过45m，

∴x2＝50不合题意，应舍去．

当x＝30时，

（80－x）＝

×（80－30）＝25，

所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2.

（2）不能．

因为由x·

（80－x）＝810得

x2－80x＋1620＝0.

又∵b2－4ac＝（－80）2－4×1×1620＝－80＜0，

∴上述方程没有实数根．

因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2.

4．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．

分析：

本题可根据地毯

的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：

（矩形图案的长＋两个花边的宽）×（矩形图案的宽＋两个花边的宽）＝地毯的面积．

解：

设花边的宽为x米，

根据题意得（2x＋6）（2x＋3）＝40，

解得x1＝1，x2＝－

，

x2＝－

不合题意，舍去．

答：

花边的宽为1米．

5．我校原有一块正方形空地，后来在这块空地上划出部分区域栽种花草（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，使剩余的空地面积为12m2，求原正方形的边长．

分析：

本题可设原正方形的边长为xm，

则剩余的空地长为（x－1）m，宽为（x－2）m.根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．

解：

设原正方形的边长为xm，依题意有

（x－1）（x－2）＝12

整理，得x2－3x－10＝0.

∴（x－5）（x＋2）＝0，

∴x1＝5，x2＝－2（不合题意，舍去）

答：

原正方形的边长5m.

6．小明家有一块长8m，宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，求图中的x值．

解：

据题意，得（8－x）（6－x）＝

×8×6.

解得x1＝12，x2＝2.x1不合题意，

舍去．

∴x＝2.

【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

课后作业

布置作业：

教材“习题2.5”中第3、4、7题．

教学反思

本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题．这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运．既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用．

复习与提升

教学目标

【知识与技能】

1．一元二次方程的相关概念．

2．灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．

3．能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况．

4．能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题．

5．构造一元二次方程解决简单的实际问题．

【过程与方法】

通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法．

【情感态度】

通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用．

【教学重点】

运用知识、技能解决问题．

【教学难点】

解题分析能力的提高．

教学过程

一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及之间的关系．

二、释疑解惑，加深理解

1．一元二次方程的概念：

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：

ax2＋bx＋c＝0，（a，b，c是已知数且a≠0），其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．

2．直接开平方法：

对于形如（x＋n）2＝d（d≥0）的方程，可用直接开平方法解．

直接开平方法的步骤是：

把方程变形成（x＋n）2＝d（d≥0），然后直接开平方得x＋n＝

和x＋n＝－

，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解．

3．配方法：

通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法．

用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；

（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；

（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

4．公式法：

求根公式

x＝

（b2－4ac≥0

）

利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式求解．

5．因式分解法：

利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法．

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．

6．一元二次方程的根的判别式：

我们把b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示．即：

Δ＝b2－4ac

（1）当Δ＝b2－4ac>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等实数根即x1＝

，x2＝

.

（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等实数根．

（3）当Δ＝b2－4ac<0时，一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根．

7．一元二次方程的根与系数的关系：

当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：

两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即：

x1＋x2＝－

，x1·x2＝

8．运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：

实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解．

【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫．

三、典例精析，复习新知

1．

（1）方程（m＋1）xm2－2m－1＋7x－m＝0是一元二次方

程，则m是多少？

分析：

首先根据一元二次方程的定义得，m2－2m－1＝2；再由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的定义中a≠0这一条件得m＋1≠0来求m的值．

【答案】m＝3.

（2）若关于x的一元二次方程（m－1）x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m等于（　　）

A．1　　B．2　　C．1或2　　D．0

分析：

首先得出m2－3m＋2＝0；再由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的定义中a≠0这一条件得m－1≠0来求m的值．

【答案】B

【教学说明】此时要注意二次项系数不为0，在

讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设计陷阱．

2．用适当的方法解一元二次方程

（1）x2＝3x　　　　

（2）（x－1）2＝3

（3）x2－2x－99＝0（4）2x2＋5x－3＝0

分析：

方程

（1）选用因式分解法；方程

（2）选用直接开平方法；方程（3）选用配方法；方程（4）选用公式法．

解：

（1）x1＝0，x2＝3；

（2）x1＝1＋

，x2＝1－

；（3）x1＝11，x2＝－9；（4）x1＝

，x2＝－3.

3．若（x2＋y2）2－4（x2＋y2）－5＝0，

则x2＋y2＝________．

分析：

用换元法设x2＋y2＝m得m2－4m－5＝0，解得m1＝5，m2＝－1.

对所求结果，还要结合“x2＋y2”进行取舍，从而得到最后结果．

【答案】5

4．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两不个相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k>－1B．k>－1且k≠0

C．k<1D．k<1且k≠0

分析：

b2－4ac＝（－2）2－4×（－1）k＝4k＋4＞0得k＞－1，再由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的定义中a≠0这一条件得k≠0.

【答案】B

5．某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：

这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？

分析：

如果这种台灯售价上涨x元，那么每个台灯获利（40＋x－30）元，每月平均销售数量为（600－10x）个，销售利润为（40＋x－30）和（600－10x）的积．用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择．

解：

设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得

（40＋x－30）（600－10x）＝10000.

即x2－50x＋400＝0.

解得x1＝10，x2＝40.

所以每个台灯的售价应定为50元或80元．

当台灯售价定为80元时，销售利润率为

，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为

，符合要求．

答：

每个台灯售价应是50元．

6．如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60m，宽40m，有两条纵向甬道和一条横向甬道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的

半径为10m，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍．设横向甬道的宽为2xm.（π的值取3）

（1）用含x的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和；

（2）当所有甬道的面积之和比矩形面积的

多36m2时，求x的值．

解：

（1）两个半圆环形甬道的面积＝π（10＋x）2－π×102＝3x2＋60x（m2）；

（2）依题意，得40×x×2＋60×2x－2x2×2＋3x2＋60x＝

×60×40＋36，

整理，得x2－260x＋516＝0，解得x1＝2，x2＝258（不符合题意，舍去），

∴x＝2；

答：

x的值为2.

【教学说明】列方程解应用题注重考查了能力问题，表面文字比较复杂，但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了．

四、复习训练，巩固提高

1．一元二次方程x2－2x－1＝0的根的情况为（　　）

A．有两个相等的实数根

B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

分析：

b2－4ac＝（－2）2－4×（－1）＝8

【答案】B

2．关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根为0，则实数a的值为（　　）

A．－1　　B．0　　C．1　　D．－1或1

分析：

把x＝0代入方程得：

|a|－1＝0，∴a＝±1.

∵a－1≠0，∴a＝－1.故选A.

【答案】A

3．已知关于x的方程x2＋（2k＋1）x＋k2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k的值为________．