九年级数学上册单元测试《第2章 一元二次方程》.docx
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九年级数学上册单元测试《第2章一元二次方程》
2019-2020年九年级数学上册单元测试《第2章一元二次方程》
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+
=3B．x2+x=yC．（x﹣4）（x+2）=3D．3x﹣2y=0
2．若（a﹣3）x
+4x+5=0是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．无法确定
3．把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A．2、3、﹣1B．2、﹣3、﹣1C．2、﹣3、1D．2、3、1
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=1B．（x+2）2=7C．（x+2）2=13D．（x+2）2=19
6．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1D．k＞5
8．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．
x（x﹣1）=45B．
x（x+1）=45C．x（x﹣1）=45D．x（x+1）=45
10．已知M=
a﹣1，N=a2﹣
a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A．M＜NB．M=NC．M＞ND．不能确定
二．填空题（共8小题）
11．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
12．方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2=6x﹣5的一般形式是 ．
13．若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，且m≠0，则m+n= ．
14．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= ．
15．用换元法解（x2﹣1）2﹣2x2﹣1=0，设x2﹣1=y，则原方程变形成y的形式为 ．
16．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为 ．
17．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22= ．
18．某工程生产一种产品，第一季度共生产了364个，其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为 ．
三．解答题（共7小题）
19．用适当的方法解方程：
①（2x+3）2﹣25=0
②x2+6x+7=0（用配方法解）
③3x2+1=4x．
④2（x﹣3）2=x2﹣9．
20．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
21．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）求证：
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
22．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
23．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：
该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
24．如图，一个农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边AD利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为了方便进出，在CD边留一个1米宽的小门．
（1）若矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长；
（2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边至少应为多少米？
25．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：
求代数式y2+4y+8的最小值．
解：
y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：
当x取何值时，花园的面积最大？
最大面积是多少？
《第2章一元二次方程》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+
=3B．x2+x=yC．（x﹣4）（x+2）=3D．3x﹣2y=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】依据分式方程、二元二次方程、一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：
A、分母中含有位置数，是分式方程，故A错误；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故B错误；
C、整理后可变形为x2﹣2x﹣11=0，是一元二次方程，故C正确；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故D错误．
故选：
C．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．若（a﹣3）x
+4x+5=0是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．无法确定
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可．
【解答】解：
∵（a﹣3）x
+4x+5=0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣3≠0，a2﹣7=2，
解得，a=﹣3，
故选：
B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
3．把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A．2、3、﹣1B．2、﹣3、﹣1C．2、﹣3、1D．2、3、1
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a、b、c的值．
【解答】解：
原方程可整理为：
2x2﹣3x﹣1=0，
∴a=2，b=﹣3，c=﹣1；
故选B．
【点评】一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．当所给方程不是一般形式时，一定要化为一般形式，再确定各项系数的值．
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：
根据题意得：
a2﹣1=0且a﹣1≠0，
解得：
a=﹣1．
故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=1B．（x+2）2=7C．（x+2）2=13D．（x+2）2=19
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可．
【解答】解：
x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
（x+2）2=7．
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：
将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：
①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】解：
∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1D．k＞5
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴
，即
，
解得：
k＜5且k≠1．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．
8．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=﹣
，x1•x2=﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．
【解答】解：
∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，
∴x1+x2=﹣
=﹣
，x1•x2=
=﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2=﹣
﹣（﹣2）=
．
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=﹣
，x1•x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
9．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．
x（x﹣1）=45B．
x（x+1）=45C．x（x﹣1）=45D．x（x+1）=45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛
x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为
x（x﹣1）=45．
【解答】解：
∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为
x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴
x（x﹣1）=45，
故选A．
【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
10．已知M=
a﹣1，N=a2﹣
a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A．M＜NB．M=NC．M＞ND．不能确定
【考点】配方法的应用；非负数的性质：
偶次方．
【分析】将M与N代入N﹣M中，利用完全平方公式变形后，根据完全平方式恒大于等于0得到差为正数，即可判断出大小．
【解答】解：
∵M=
a﹣1，N=a2﹣
a（a为任意实数），
∴
，
∴N＞M，即M＜N．
故选A
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|=1，m﹣1≠0，进而得出答案．
【解答】解：
∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m﹣1≠0，
解得：
m=﹣1．
故答案为：
﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．
12．方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2=6x﹣5的一般形式是 x2﹣4=0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程整理为一元二次方程的一般形式即可．
【解答】解：
方程整理得：
x2+2x+1﹣2x2+4x﹣2=6x﹣5，即x2﹣4=0，
故答案为：
x2﹣4=0
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
13．若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，且m≠0，则m+n= ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将m代入x2+nx+m=0，得m2+nm+m=0，再适当变形整理即可．
【解答】解：
把m代入x2+nx+m=0，得m2+nm+m=0，
∴m（m+n+1）=0，
又∵m≠0，∴m+n+1=0，
∴m+n=﹣1．
【点评】本题考查综合运用所给已知条件处理问题的能力．
14．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= 12 ．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先移项，再配方，变形后求出a、b的值，即可得出答案．
【解答】解：
x2﹣6x+5=0，
x2﹣6x=﹣5，
x2﹣6x+9=﹣5+9，
（x﹣3）2=4，
所以a=3，b=4，
ab=12，
故答案为：
12．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
15．用换元法解（x2﹣1）2﹣2x2﹣1=0，设x2﹣1=y，则原方程变形成y的形式为 y2﹣2y﹣3=0 ．
【考点】换元法解一元二次方程．
【分析】将已知方程转化为（x2﹣1）2﹣2（x2﹣1）﹣3=0的形式，然后将x2﹣1=y代入即可．
【解答】解：
由原方程，得
（x2﹣1）2﹣2（x2﹣1）﹣3=0，
设x2﹣1=y，则原方程变形为：
y2﹣2y﹣3=0．
故答案是：
y2﹣2y﹣3=0．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
16．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为 a≤
且a≠1 ．
【考点】根的判别式．
【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a﹣1≠0，即a≠1，且△≥0，即△=（﹣1）2﹣4（a﹣1）=5﹣4a≥0，然后解两个不等式得到a的取值范围．
【解答】解：
∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，
∴a﹣1≠0即a≠1，且△≥0，即有△=（﹣1）2﹣4（a﹣1）=5﹣4a≥0，解得a≤
，
∴a的取值范围是a≤
且a≠1．
故答案为：
a≤
且a≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
17．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22= 13 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，再利用完全平方公式变形得到x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：
根据题意得x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，
所以x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣3）2﹣（﹣4）=13．
故答案为13．
【点评】本题考查了根与系数的关系：
若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣
，x1x2=
．
18．某工程生产一种产品，第一季度共生产了364个，其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为 100+100（1+x）+100（1+x）2=364 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份的生产平均增长率为x，那么首先可以用x表示二、三月份共生产的机器100（1+x）+100（1+x）2，然后可得出的方程为100+100（1+x）+100（1+x）2=364．
【解答】解：
依题意得二、三月份共生产的机器100（1+x）+100（1+x）2，
则方程为100+100（1+x）+100（1+x）2=364．
故答案为：
100+100（1+x）+100（1+x）2=364．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，要注意增长率问题的规律，然后正确找到数量关系根据题意列出方程．
三．解答题（共7小题）
19．用适当的方法解方程：
①（2x+3）2﹣25=0
②x2+6x+7=0（用配方法解）
③3x2+1=4x．
④2（x﹣3）2=x2﹣9．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】①利用因式分解法解方程；
②利用配方法得到（x+3）2=2，然后利用直接开平方法解方程；
③先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
④先移项得到2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：
①（2x+3+5）（2x+3﹣5）=0，
2x+3+5=0或2x+3﹣5=0，
所以x1=﹣4，x2=1；
②x2+6x+9=2，
（x+3）2=2，
x+3=±
，
所以x1=﹣3+
，x2=﹣3﹣
；
③3x2﹣4x+1=0，
（3x﹣1）（x﹣1）=0，
3x﹣1=0或x﹣1=0，
所以x1=
，x2=1；
④2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，
（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，
x﹣3=0或2x﹣6﹣x﹣3=0，
所以x1=3，x2=9．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：
就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
20．（2016•北京）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式．
【分析】
（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合
（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【解答】解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）=4m+5＞0，
解得：
m＞﹣
．
（2）m=1，此时原方程为x2+3x=0，
即x（x+3）=0，
解得：
x1=0，x2=﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：
（1）根据根的个数结合根的判别式得出关于m的一元一次不等式；
（2）选取m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
21．（2016•周口一模）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）求证：
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】
（1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答；
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【解答】解：
（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得a=
；
方程为x2+
x﹣
=0，即2x2+x﹣3=0，
设另一根为x1，则
1•x1=﹣
，
解得x1=﹣
．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
22．（2016•永州）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】
（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可的出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：
（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：
400×（1﹣x%）2=324，
解得：
x=10，或x=190（舍去）．
答：
该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：
400×（1﹣10%）﹣
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