高考数学二轮复习专题二数列第2讲数列求和及综合应用练习1212229.docx

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高考数学二轮复习专题二数列第2讲数列求和及综合应用练习1212229

第2讲　数列求和及综合应用

高考定位　1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.

真题感悟

1.（2017·全国Ⅲ卷）设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

解　

（1）因为a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，①

故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋（2n－3）an－1＝2（n－1），②

①－②得（2n－1）an＝2，所以an＝，

又n＝1时，a1＝2适合上式，

从而{an}的通项公式为an＝.

（2）记的前n项和为Sn，

由

（1）知＝＝－，

则Sn＝＋＋…＋

＝1－＝.

2.（2017·山东卷）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）{bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.

解　

（1）设{an}的公比为q，

由题意知

又an>0，

解得所以an＝2n.

（2）由题意知：

S2n＋1＝＝（2n＋1）bn＋1，

又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，

所以bn＝2n＋1.

令cn＝，则cn＝，

因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝＋＋＋…＋＋，

又Tn＝＋＋＋…＋＋，

两式相减得Tn＝＋－，

所以Tn＝5－.

考点整合

1.

（1）数列通项an与前n项和Sn的关系，an＝

（2）应用an与Sn的关系式f（an，Sn）＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误.

2.数列求和

（1）分组转化求和：

一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.

（2）错位相减法：

主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.

（3）裂项相消法：

即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列.

温馨提醒　裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.

3.数列与函数、不等式的交汇

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.

热点一　an与Sn的关系问题

【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值.

解　

（1）因为an＝5Sn＋1，n∈N*，

所以an＋1＝5Sn＋1＋1，

两式相减，得an＋1＝－an，

又当n＝1时，a1＝5a1＋1，知a1＝－，

所以数列{an}是公比、首项均为－的等比数列.

所以数列{an}的通项公式an＝.

（2）bn＝－1－log2|an|＝2n－1，

数列{bn}的前n项和Tn＝n2，

cn＝＝＝－，

所以An＝1－.

因此{An}是单调递增数列，

∴当n＝1时，An有最小值A1＝1－＝；An没有最大值.

探究提高　1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：

一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

2.形如an＋1＝pan＋q（p≠1，q≠0），可构造一个新的等比数列.

【训练1】（2018·安徽江南名校联考）已知数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足2（Sn＋1）＝（n＋3）an.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：

Tn<3.

（1）解　2（Sn＋1）＝（n＋3）an，①

当n≥2时，2（Sn－1＋1）＝（n＋2）an－1，②

①－②得，（n＋1）an＝（n＋2）an－1，

所以＝（n≥2），又∵＝，

故是首项为的常数列.

所以an＝（n＋2）.

（2）证明　由

（1）知，

bn＝＝＝9.

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝9

＝9＝3－<3.

热点二　数列的求和

考法1　分组转化求和

【例2－1】（2018·合肥质检）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝2an＋（－1）n·an，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　

（1）∵{an}为等差数列，

∴解得

因此{an}的通项公式an＝2n＋1.

（2）∵bn＝2an＋（－1）n·an＝22n＋1＋（－1）n·（2n＋1）

＝2×4n＋（－1）n·（2n＋1），

∴Tn＝2×（41＋42＋…＋4n）＋[－3＋5－7＋9－…＋（－1）n（2n＋1）]＝＋Gn.

当n为偶数时，Gn＝2×＝n，

∴Tn＝＋n；

当n为奇数时，Gn＝2×－（2n＋1）＝－n－2，

∴Tn＝－n－2，

∴Tn＝

探究提高　1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.

2.分组求和的策略：

（1）根据等差、等比数列分组；

（2）根据正号、负号分组.

考法2　裂项相消法求和

【例2－2】（2018·郑州调研）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2＋5n.

（1）求证：

数列{3an}为等比数列；

（2）设bn＝2Sn－3n，求数列的前n项和Tn.

（1）证明　∵Sn＝2n2＋5n，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n＋3.

又当n＝1时，a1＝S1＝7也满足an＝4n＋3.

故an＝4n＋3（n∈N*）.

由an＋1－an＝4，得＝3an＋1－an＝34＝81.

∴数列{3an}是公比为81的等比数列.

（2）解　∵bn＝4n2＋7n，

∴＝＝，

∴Tn＝

＝＝.

探究提高　1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.

2.消项规律：

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

【训练2】（2018·成都二诊）设正项等比数列{an}，a4＝81，且a2，a3的等差中项为（a1＋a2）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝log3a2n－1，数列{bn}的前n项和为Sn，数列{cn}满足cn＝，Tn为数列{cn}的前n项和，若Tn<λn恒成立，求λ的取值范围.

解　

（1）设等比数列{an}的公比为q（q>0），

由题意，得解得

所以an＝a1qn－1＝3n.

（2）由

（1）得bn＝log332n－1＝2n－1，

Sn＝＝＝n2

∴cn＝＝，

∴Tn＝

＝.

若Tn＝<λn恒成立，则λ>（n∈N*）恒成立，

则λ>，所以λ>.

考法3　错位相减求和

【例2－3】（2018·潍坊一模）公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝10，且a1，a3，a9成等比数列.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和Tn.

解　

（1）设{an}的公差为d，由题设

得∴

解之得a1＝1，且d＝1.

因此an＝n.

（2）令cn＝，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝＋＋＋…＋＋，①

Tn＝＋＋…＋＋，②

①－②得：

Tn＝－

＝－＝－－，

∴Tn＝－.

探究提高　1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.

2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.

【训练3】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

解　

（1）由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.

当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式.所以an＝6n＋5.

设数列{bn}的公差为d，

由即

可解得所以bn＝3n＋1.

（2）由

（1）知cn＝＝3（n＋1）·2n＋1.，

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，

得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋（n＋1）×2n＋1]，

2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋（n＋1）×2n＋2].

两式作差，得

－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－（n＋1）×2n＋2]

＝3×＝－3n·2n＋2.

所以Tn＝3n·2n＋2.

热点三　与数列相关的综合问题

【例3】设f（x）＝x2＋2x，f′（x）是y＝f（x）的导函数，若数列{an}满足an＋1＝f′（an），且首项a1＝1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.

解　

（1）由f（x）＝x2＋2x，得f′（x）＝x＋2.

∵an＋1＝f′（an），且a1＝1.

∴an＋1＝an＋2则an＋1－an＝2，

因此数列{an}是公差为2，首项为1的等差数列.

∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.

（2）数列{an}的前n项和Sn＝＝n2，

等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，∴q＝3.

∴bn＝3n－1.

∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝＝.

Tn≤Sn可化为≤n2.

又n∈N*，∴n＝1，或n＝2

故适合条件Tn≤Sn的所有n的值为1和2.

探究提高　1.求解数列与函数交汇问题注意两点：

（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集（或它的有限子集），在求数列最值或不等关系时要特别重视；

（2）解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.

2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.

【训练4】（2018·长沙雅礼中学质检）设数列{an}（n＝1，2，3，…）的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值.

解　

（1）由已知Sn＝2an－a1，

有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2），即an＝2an－1（n≥2）.

从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.

又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2（a2＋1），

所以a1＋4a1＝2（2a1＋1），解得a1＝2，

所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

故an＝2n.

（2）由

（1）可得＝，

所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.

由|Tn－1|<，得<，

即2n>1000，又∵n∈N*，

因为29＝512<1000<1024＝210，所以n≥10，

于是，使|Tn