1、高考数学二轮复习专题二数列第2讲数列求和及综合应用练习1212229第2讲数列求和及综合应用高考定位1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下;2.在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透.真 题 感 悟 1.(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.解(1)因为a13a2(2n1)an2n,故当n2时,a13a2(2n3)an12(n1),得(2n1)an2,所以an,又n1时,a12适合上式,从而an的通项公式为an.(2)记的前n项和为Sn,由
2、(1)知,则Sn1.2.(2017山东卷)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1a26,a1a2a3.(1)求数列an的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n1bnbn1,求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公比为q,由题意知又an0,解得所以an2n.(2)由题意知:S2n1(2n1)bn1,又S2n1bnbn1,bn10,所以bn2n1.令cn,则cn,因此Tnc1c2cn,又Tn,两式相减得Tn,所以Tn5.考 点 整 合1.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系,an(2)应用an与Sn的关系式f(an,Sn)0时,应特别注意n1时的情况,防止产生错
3、误.2.数列求和(1)分组转化求和:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并.(2)错位相减法:主要用于求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列.温馨提醒裂项求和时,易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的
4、表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题、不等关系或恒成立问题.热点一an与Sn的关系问题【例1】 设数列an的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an5Sn1成立,bn1log2|an|,数列bn的前n项和为Tn,cn.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列cn的前n项和An,并求出An的最值.解(1)因为an5Sn1,nN*,所以an15Sn11,两式相减,得an1an,又当n1时,a15a11,知a1,所以数列an是公比、首项均为的等比数列.所以数列an的通项公式
5、an.(2)bn1log2|an|2n1,数列bn的前n项和Tnn2,cn,所以An1.因此An是单调递增数列,当n1时,An有最小值A11;An没有最大值.探究提高1.给出Sn与an的递推关系求an,常用思路是:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.2.形如an1panq(p1,q0),可构造一个新的等比数列.【训练1】 (2018安徽江南名校联考)已知数列an的首项a11,Sn是数列an的前n项和,且满足2(Sn1)(n3)an.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn,记数列bn的前n
6、项和为Tn,求证:Tn3.(1)解2(Sn1)(n3)an,当n2时,2(Sn11)(n2)an1,得,(n1)an(n2)an1,所以(n2),又,故是首项为的常数列.所以an(n2).(2)证明由(1)知,bn9.Tnb1b2b3bn9933.热点二数列的求和考法1分组转化求和【例21】 (2018合肥质检)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足S424,S763.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn2an(1)nan,求数列bn的前n项和Tn.解(1)an为等差数列,解得因此an的通项公式an2n1.(2)bn2an(1)nan22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1),T
7、n2(41424n)3579(1)n(2n1)Gn.当n为偶数时,Gn2n,Tnn;当n为奇数时,Gn2(2n1)n2,Tnn2,Tn探究提高1.在处理一般数列求和时,一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时,常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略:(1)根据等差、等比数列分组;(2)根据正号、负号分组.考法2裂项相消法求和【例22】 (2018郑州调研)设Sn为数列an的前n项和,Sn2n25n.(1)求证:数列3an为等比数列;(2)设bn2Sn3n,求数列的前n项和Tn.(1)证明
8、Sn2n25n,当n2时,anSnSn14n3.又当n1时,a1S17也满足an4n3.故an4n3(nN*).由an1an4,得3an1an3481.数列3an是公比为81的等比数列.(2)解bn4n27n,Tn.探究提高1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项.2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.【训练2】 (2018成都二诊)设正项等比数列an,a481,且a2,a3的等差中项为(a1a2).(1)求数列an的通项公式;(2)若bnlog3a2n1,数列bn的前n
9、项和为Sn,数列cn满足cn,Tn为数列cn的前n项和,若Tn0),由题意,得解得所以ana1qn13n.(2)由(1)得bnlog332n12n1,Snn2cn,Tn.若Tn(nN*)恒成立,则,所以.考法3错位相减求和【例23】 (2018潍坊一模)公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,已知S410,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公差为d,由题设得解之得a11,且d1.因此ann.(2)令cn,则Tnc1c2cn,Tn,得:Tn,Tn.探究提高1.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和
10、时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解.2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练3】 已知数列an的前n项和Sn3n28n,bn是等差数列,且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn,求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知,当n2时,anSnSn16n5.当n1时,a1S111,符合上式.所以an6n5.设数列bn的公差为d,由即可解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.,又Tnc1c2cn,得Tn3222323(n1)2n1,2Tn322
11、3324(n1)2n2.两式作差,得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2.所以Tn3n2n2.热点三与数列相关的综合问题【例3】 设f(x)x22x,f(x)是yf(x)的导函数,若数列an满足an1f(an),且首项a11.(1)求数列an的通项公式;(2)数列an的前n项和为Sn,等比数列bn中,b1a1,b2a2,数列bn的前n项和为Tn,请写出适合条件TnSn的所有n的值.解(1)由f(x)x22x,得f(x)x2.an1f(an),且a11.an1an2则an1an2,因此数列an是公差为2,首项为1的等差数列.an12(n1)2n1.(2)数列an的前n项和Snn2
12、,等比数列bn中,b1a11,b2a23,q3.bn3n1.数列bn的前n项和Tn.TnSn可化为n2.又nN*,n1,或n2故适合条件TnSn的所有n的值为1和2.探究提高1.求解数列与函数交汇问题注意两点:(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集(或它的有限子集),在求数列最值或不等关系时要特别重视;(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明,多与数列的求和相联系,最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练4】 (2018长沙雅礼中学质检)设数列an(n1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn2ana1,且a1,a21,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn1|成立的n的最小值.解(1)由已知Sn2ana1,有anSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2).从而a22a1,a32a24a1.又因为a1,a21,a3成等差数列,即a1a32(a21),所以a14a12(2a11),解得a12,所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,故an2n.(2)由(1)可得,所以Tn1.由|Tn1|,得1 000,又nN*,因为295121 0001 024210,所以n10,于是,使|Tn
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