人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组教案.docx

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人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组教案

第八章二元一次方程组

教材内容

本章主要内容包括：

二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。

教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解。

接着，以消元思想为基础，依次讨论了解二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法。

然后，选择了三个具有一定综合性的问题：

“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。

最后，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的体现。

教学目标

〔知识与技能〕

1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；3、了解三元一次方程组的解法；4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

〔过程与方法〕

1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关糸，设未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。

2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。

〔情感、态度与价值观〕

通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。

重点难点

二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决实际问题是重点；以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是难点。

课时分配

8.1二元一次方程组……………………………………1课时

8.2消元——二元一次方程组的解法…………………4课时

8.3再探实际问题与二元一次方程组…………………3课时

*8.4三元一次方程组解法举例…………………………2课时

本章小结…………………………………………………2课时

8.1二元一次方程组

[教学目标]理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念，会检验一对数是不是二元一次方程组的解。

[重点难点]二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义是重点；理解二元一次方程组的解是难点。

[教学过程]

一、问题导入

我们很多同学喜欢打篮球，这里面也有学问。

看下面的问题：

[投影1]

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？

你知道吗？

二、二元一次方程和二元一次方程组

这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？

胜的场数＋负的场数＝总场数，

胜场积分＋负场积分＝总积分.

若设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？

x＋y＝22

2x＋y＝40

这两个方程与一元一次方程有什么不同？

它们有什么特点？

所含未知数的个数不同；特点是：

（1）含有两个未知数，

（2）含有未知数的项的次数是1。

像这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫做二元一次方程。

上面的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x、y必须同时满足方程x＋y＝22和2x＋y＝40

把两个方程合在一起，写成

x＋y＝22 ①

2x＋y＝40 ②

像这样，把具有两个未知数且含未知数的项的次数是1的两个方程合在一起，就组成了二元一次方程组.

三、二元一次方程、二元一次方程组的解

探究：

[投影2]满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？

把它们填入表中.

为此我们用含x的式子表示y，即y＝22－x（x可取一些自然数）。

显然，上表中每一对x、y的值都是方程①的解。

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

如果不考虑方程的实际意义，那么x、y还可以取哪些值？

这些值是有限的吗？

还可以取x＝－1，y＝23；x＝0.5，y＝21.5，等等。

所以，二元一次方程的解有无数对。

上表中哪对x、y的值还满足方程②？

x＝18，y＝2还满足方程②.也就是说，它们是方程①与方程②的公共解，记作

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

四、例题

例1　若方程x2m–1+5y2–3n =7是二元一次方程.求m2＋n的值。

分析：

由二元一次方程的概念你可以知道什么？

解：

依题意，得

2m–1＝1，2–3n＝1.

由2m–1＝1，得m＝1

由2–3n＝1得n＝1/3

∴m2＋n＝1＋1/3＝4/3.

五、课堂练习[投影3]

1、下列各对数值中是二元一次方程x＋2y=2的解的是〔 〕

A

 B

 C

 D

2、课本94面练习。

六、课堂小结

1、二元一次方程、二元一次方程组的概念；

2、二元一次方程、二元一次方程组的解.

七、作业：

课本95面1－4.

八、教学反思

在教学中引导学生对知识进行迁移与类比，让学生用原有的利用一元一次方程进行认知结构去童话新的知识，符合建构主义理念。

通过探究活动得出结论：

1.二元一次方程组的解是成对出现的；

2.二元一次方程组的解有无数多个，这与一元一次方程有着显著的区别。

通过对比，让学生体验到从算术方法到代数方法是一种进步。

而当我们遇到求多个未知量，而且数量关系较复杂时，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，它大大减轻了我们的思维负担。

8.2消元

（一）

[教学目标]1、掌握代入法解二元一次方程组；2、经历探索二元一次方程组的解法的过程，初步体会“消元”的基本思想.

[重点难点]代入消元法解二元一次方程组是重点；理解“消元”的基本思想是难点。

[教学过程]

一、情景导入

下面是我们讨论过的一个关于篮球比赛的问题：

[投影1]

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？

请你求出结果。

设这个队胜了x场，依题意，得 2x+（22-x）=40

解得　x＝18

22－x＝4

所以，这个队胜了18场，负了4场.

我们知道，设胜的场数是x，负的场数是y，可列方程组：

x＋y＝22

2x＋y＝40

那么怎样求这个方程组的解呢？

二、代入消元法

上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？

可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝22说明y＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x+（22-x）=40。

这就是说，二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程。

这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.

例1解方程组：

分析：

根据消元的思想，解方程组要把两个未知数转化为一个未知数，为此，需要用一个未知数表示另一个未知数。

怎样表示呢？

转化成的一元一次方程是什么？

解：

由①得x=y+3③

把③代入②，得3（y＋3）-8y＝14

解得y=－1

把y=－1代人③得x=2.

∴

归纳：

[投影2]上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

解上面的方程组能消去y吗？

试试看。

三、课堂练习：

课本98面1；99面2题。

四、课堂小结

1、什么是消元的思想？

什么是代入消元法？

2、用代入消元法解二元一次方程组。

五、作业：

课本103面1、2题。

3、

（1） 4x－y=5

2x＋4y=24

（2）  

六、教学反思

在教学过程中，重视知识的发生过程，让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程及依据，体会未知向已知，陌生向熟悉转化这一重要思想——转化思想。

及时梳理知识，形成模式化，同时起到了小结作用，使学生认识到用代入法解二元一次方程的一般步骤。

然后通过练习进一步熟练掌握解二元一次方程的一般步骤。

8.2消元

（二）

〔教学目标〕初步学会用二元一次方程组解决简单的实际问题及有关的数学问题。

〔重点难点〕二元一次方程的运用是重点；用二元一次方程组解决简单的实际问题是难点。

〔教学过程〕

一、复习导入

上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，回忆一下：

怎样用代入消元法解二元一次方程组？

什么是二元一次方程组的解？

今天我们学习用二元一次方程组解决有关的问题。

二、例题

例1[投影1]已知

是方程组

的解，求

、

的值.

分析：

根据方程组的解的意义，我们可以知道什么？

①②

解：

把 

代入 

，得

把①代入②，得

8+2a-1=a+5 解得a＝－2

把a＝－2代入①，得b=-5

∴

例2[投影2]根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：

5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？

分析：

问题中有哪些未知量？

消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数。

问题中有哪些等量关系？

大瓶数︰小瓶数＝2︰5

大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝22.5吨

设怎样的未知数可以表示上面的两个等量关系？

设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则

请你用代入消元法解答上面的方程组。

解之得，

答：

这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.

三、课堂练习

课本99面3、4题。

四、课堂小结

列二元一次方程组解决实际问题与列一元一次方程解决实际问题的思想和步骤是相同的，不同的是一个设一个未知数，一个设两个未知数.一般地，同一个问题既可以列一元一次方程来解决，也可以列二元一次方程组来解决，不过，有时设两个未知数列方程组更方便些。

五、作业：

课本103面4、6.

补充题：

已知方程组

的解为

，求a＋b的值.

六、教学反思

本课是代入消元法的巩固和深化，设置活动目的在于帮助学生迅速再现以往的知识经验，起到承上启下的作用。

在教学中安排层次练，让学生根据自身的需要自由选择题目，在自我挑战中获得成就感。

教师根据实际情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的学生获得发展，这符合新课标的理念，使不同的学生都获得不同的发展。

8.2消元（三）

〔教学目标〕掌握加减法解二元一次方程组。

〔重点难点〕用加减法解二元一次方程组是重点；用加减法解相同未知数的系数不成整数倍的二元一次方程组是难点。

〔教学过程〕

一、情景导入

[投影1]王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？

比一比看谁求得快．

最简便的方法：

抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．

这种思想也可以用来解二元一次方程组。

二、加减消元法

①②

我们知道，对于方程组

   ,可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有别的方法呢？

这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？

利用这种关系你能发现新的消元方法吗？

y的系数相等；用②－①可消去未知数y，

得（2x+y）-（x+y）=40-22 解得x=18

把x=18代入①得y=4。

显然，由①－②也能消去未知数y.

①②

思考：

联系上面的解法，想一想应怎样解方程组

这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。

我们看到，把两个二元一次方程的两边分别相加减，可以达到“消元”的目的。

[投影2]当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

三、例题 

①②

例用加减法解方程组

分析：

这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同，直接加减不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。

解：

①×3,得 9x+12y=48 ③

②×2,得 10x-12y=66④

③＋④,得 19x=114

x=6

把x=6代入①，得3×6+4y=16

4y=-2,y=-

所以，这个方程组的解是

想一想：

本题如果用加减法消去x该怎么办？

把①×5，②×3即可。

四、课堂练习

课本102面1题。

五、课堂小结

1、什么是加减消元法？

2、用加减消元法解二元一次方程。

六、作业：

课本103面3、5题。

七、教学反思

在教学开始，在解决实际问题的过程中，引入朴素的加减消元思想。

使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程，并在体会“代入法”存在不足时，感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性，并掌握“加减法”。

8．2　消元（四）

[教学目标]初步学会用二元一次方程组解决有关的问题，进一步认识方程模型的重要性。

[重点难点]用二元一次方程组解决有关的问题是重点；列二元一次方程组是难点。

[教学过程]

一、复习导入

1、什么是二元一次方程组？

什么是二元一次方程组的解？

2、解二元一次方组的基本思想是什么？

有哪些方法？

今天我们来运用二元一次方程组解决有关的问题。

二、例题

例1[投影1]甲、乙两人同求方程ax－by=7的整数解，甲求出的一组解为    而乙把方程中的7错看成了1，求得一组解为    试求

a、b的值。

分析：

由甲求出的一组解，我们可以知道什么？

由乙求出的一组解我们可以知道什么？

怎样求a、b的值呢？

解：

把x=3,y=4代入ax－by=7，得

3a－4b=7①

把x=1,y=2代入ax－by=1，得  

a－2b=1②

联立①②得方程组

解之，得

故a、b的值分别是5、2。

例2[投影2]2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3．6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，问：

1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？

分析：

本题要我们求什么？

1台大收割机1小时收割小麦的公顷数和1台小收割机1小时收割小麦公顷数。

本题的等量关系是什么？

2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量=3.6

3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量=8

若设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.请你列出方程组。

①②

整理,得

②-①,得11x=4.4

∴x=0.4

把x=0.4代入①,得y=0.2

∴ 

答:

1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.

三、课堂练习

课本102面练习2、3题。

四、作业：

课本103面7；104面8、9题。

五、教学反思

引用生动活泼的例子，激发学生的探究欲望，让学生在看、听、想的过程中愉悦地获得数学知识。

尝试不同的解法，培养学生的发散思维和择优意识。

解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择不同的方法可以减少弯路，加快速度使解题过程简洁、提高正确率。

]第八章复习一（8.1－8.2）

一、双基回顾

1、二元一次方程

含有     ，并且未知项的次数是 的方程叫做二元一次方程。

〔1〕下列方程中是二元一次方程的是     .

①2x-5=y;②x+1/2=1;③xy=3;④5x+2/y=1;⑤x2-3y=0;⑥x＋1/2y=3.

2、二元一次方程组

两个含有     ，并且未知项的次数是 的两个方程组成二元一次方程组。

3、二元一次方程的解

使二元一次方程    的两个未知数  ，叫做二元一次方程的解。

〔2〕写出二元一次方程3x+2y=14的非负整数解。

4、二元一次方程组的解

二元一次方程组的两个方程的   叫做二元一次方程组的解。

〔3〕

是方程组

的解吗？

为什么？

5、怎样用代入消元法解二元一次方程组？

怎样用加减消元法解二元一次方程组？

〔4〕用两种方法解方程组

二、例题导引

例1解方程组

例2 若（a-3）x+y︱a︱-2=9是关于的x、y的二元一次方程，求a的值。

例3 已知方程组

与方程组

的解相同，求

a－b的值。

例4 兴华学校美术小组的同学分铅笔若干枝，若其中4人每人各取4枝，其余的人每人取3枝，则还剩16枝；若有1人只取2枝，则其余的人恰好每人各得6枝，问同学有多少人？

铅笔有多少枝？

三、练习升华

夯实基础

1、将二元一次方程5x＋2y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y=   ；化成用含有y的式子表示x的形式是x=   。

2、若方程

是二元一次方程，则m  ，n  .

3、已知x＝2，y＝2是方程ax－2y＝4的解，则a＝________.

4、方程x＋2y=7在自然数范围内的解〔 〕

A有无数个B有一个C 有两个D有三个

5、若

是方程组

的解则

6、解方程组

（1）

（2）

（3）

   （4）

7、已知方程组

，求

的值。

8、超市里某种罐头比解渴饮料贵1元，小彬和同学买了3听罐头和2听解渴饮料一共用了16元，你能求出罐头和解渴饮料的单价各是多少元吗？

能力提高

9、二元一次方程组

的解满足2x－ky=10，则k的值等于〔 〕

 A．4   B．－4   C．8   D．－8

10、在

中，当

时

，当

时

，则

   ，

   .

11、二元一次方程组

的解互为相反数，则

＝〔 〕

A、－7  B、－8  C、－10 D、－12

12、解方程组

（1）

（2）

13、已知

求

的值。

14、为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为200克,试问1号电池和5号电池每节分别重多少克?

探究创新

15、阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：

解方程组

时，我们如果直接考虑消元，那将非常繁琐，而采用下面的解法却轻而易举：

（1）－

（2）得2x+2y=2,所以x+y=1（3）.（3）×16,得16x+16y=16（4）.

（2）-（4），得x=-1,从而y=2.所以原方程组的解是

，请用上述方法解方程组

8.3实际问题与二元一次方程

（1）

[教学目标]学会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。

[重点难点]解决含有多个未知数的实际问题是重点；找出问题中的两个等量关系是难点。

[教学过程]

一、导入新课

前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．

二、例题 

看下面的问题。

[投影1]

例养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20kg,每只小牛1天约需用饲料7～8kg.你能否通过计算检验他的估计？

分析：

怎样检验李大叔的估计是否正确？

（1）先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验；

（2）根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．

本题的等量关系是什么？

30只母牛一天用的饲料量+15只小牛一天用的饲料量=675

（1）

（30+12）只母牛一天用的饲料量+（15+5）只小牛一天用的饲料量=940

（2）

设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg，根据题意可列怎样的方程组？

解这个方程组得

答：

每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲料员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛食量估计有一定的偏差。

三、课堂练习[投影]

某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？

[答案：

]

四、作业：

课本108面1、2、3题。

补充练习：

《一千零一夜》中有这样一段文字：

有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：

“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

五、教学反思

引导学生探寻解题思路，并对各种方法进行比较，方法一主要是对估算的运用，而方法二是方程思想的应用。

在教学中，注重解题分步到位，渗透模型化的思想。

规范解题步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯。

让学生认识到检验的重要性，并学会正确作答。

8.3实际问题与二元一次方程

（2）

[教学目标]学会借助二元一次方程组解决有关配套与设计的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用。

[重点难点]运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题是重点；找出问题中的两个等量关系是难点。

[教学过程]

一、导入新课

前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．

二、例题 

看下面的问题：

[投影1]

例据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：

1：

5，现要在一块长200m，宽100m的长方形土地，分为两块长方形土地，分别种植两种作物，怎样划分这块地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：

4（结果取整数）？

分析：

本题中的基本关系是什么？

本题中的等量关系有哪些？

总产量＝单位面积产量×面积

甲作物的单位面积产量︰乙作物的单位面积产量＝1︰1.5

甲作物的总产量︰乙作物的总产量＝3︰4

怎样划分这块土地呢？

第一种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE，如图

（1）；第二种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE和FECD,如图

（2）。

（1）             

（2）

对第一种种植方案，设AE=xm，BE=ym，可得怎样的方程组？

解这个方程组，得

具体怎么划分呢？

请你作答。

过长方形土地的长边上离一端约106m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．

你能求出第二种种植方案的答案吗？

试试看。

三、课堂练习[投影2]

一种圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？

作业：

课本108面4、6题

[投影3