中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案Word文档格式.docx
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9、设f:
A→B,g:
B→C。
若f,g都是双射,则gf不是双射。
10、无向图的邻接矩阵是对称阵。
11、一个集合不可以是另一个集合的元素。
12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。
13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。
14、<
{0,1,2,3,4},MAX,MIN>
15、树一定是连通图。
16、单位元不是可逆的。
17、一个命题可赋予一个值,称为真值。
18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。
19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。
20、设f:
若f,g都是满射,则g◦f不是满射。
21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。
22、零元是不可逆的。
23、一般的,把及n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
24、“我正在说谎。
”不是命题。
25、用A表示“是个大学生”,c表示“张三”,则A(c):
张三是个大学生。
26、设F={<
3,3>
<
6,2>
},则F-1={<
6,3>
2,6>
}。
27、欧拉图是有欧拉回路的图。
28、设f:
若f,g都是单射,则g◦f也是单射。
三、计算题(每题10分,共40分)
1、设A={c,d},B={0,1,2},则计算A×
B,B×
A。
2、A={a,b,c},B={1,2},计算A×
B。
3、A={a,b,c},计算A×
4、符号化命题“如果2大于3,则2大于4。
”。
5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。
6、符号化命题“2是素数且是偶数”。
7、设A={a,b,c,d},R是A的二元关系,定义为:
R={<
a,a>
a,b>
b,a>
c,b>
<
c,a>
d,c>
d,b>
d,a>
},写出A上二元关系R的关系矩阵。
8、设A={1,2,3,4},R是A的二元关系,定义为:
1,1>
1,2>
2,1>
3,2>
3,1>
4,3>
4,2>
4,1>
9、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。
10、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。
11、设无向图G如下所示,求它的邻接矩阵。
12、求命题公式┐(p∧┐q)的真值表。
13、设<
2x+y,5>
=<
10,x-3y>
,求x,y。
14、R1、R2是从{1,2,3,4,5}到{2,4,6}的关系,若R1={<
1,2>
3,4>
5,6>
},R2={<
1,4>
2,6>
},计算domR1,ranR1,fldR1,domR2,ranR2,fldR2。
15、例:
设A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},C={1,2,3},A到B的关系R={<
x,y>
|x+y=6},B到C的关系S={<
y,z>
|y-z=2},求R◦S。
16、集合A={a,b,c},B={1,2,3,4,5},R是A上的关系,S是A到B的关系。
a,a>
a,c>
b,b>
c,b>
c,c>
},S={<
a,1>
a,4>
b,2>
c,4>
c,5>
},求R◦S,S–1◦R–1
17、A={1,2,3,4,5,6},D是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。
18、设集合A={a,b,c},A上的关系R={<
b,c>
},求R的自反、对称、传递闭包。
19、求下图中顶点v0及v5之间的最短路径。
20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。
四、证明题(每题10分,共20分)
1、若R和S都是非空集A上的等价关系,证明R
S是A上的等价关系。
2、证明苏格拉底论证:
凡人要死。
苏格拉底是人,苏格拉底要死。
3、P→Q,┐Q
R,┐R,┐S
PÞ
┐S
4、在群<
G,*>
中,除单位元e外,不可能有别的幂等元。
5、设R和S是二元关系,证明:
(R
S)-1=R-1
S-1
6、证明:
((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))=(S∧(P→Q))→R.
7、设I是整数集合,k是正整数,I上的关系R={<
|x,y∈I,且x-y可被k整除},证明R是等价关系。
8、证明((p→q)→r)Û
((┐q∧p)∨r)
9、证明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)Þ
S∨R
10、证明P→┐Q,Q∨┐R,R∧┐SÞ
┐P
11、证(∀x)(P(x)∨Q(x))Þ
┐(∀x)P(x)→($x)Q(x)
12、证明定理:
设<
G,◦>
是群,对于任意a,b∈G,则方程a◦x=b及y◦a=b,在群内有唯一解。
《离散数学》复习题参考答案
一、填空题(每空1分,共20分)
1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。
2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。
3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A⋃B={a,b,c,d,e}。
4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A⋂B={1,3}。
5、若A是2元集合,则2A有4个元素。
a*b=a和b两者的最大值,则2*3=3。
7、设A={a,b,c,d},则∣A∣=4。
8、对实数的普通加法和乘法,0是加法的幂等元,1是乘法的幂等元。
的元素,则-(a+b+c)=(-a)+(-b)+(-c)。
10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。
11、不能再分解的命题称为原子命题,至少包含一个联结词的命题称为复合命题。
12、命题是能够表达判断(分辩其真假)的陈述语句。
13、如果p表示王强是一名大学生,则┐p表示王强不是一名大学生。
14、及一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
全称量词和存在量词。
16、设A、B为集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集。
17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。
18、设A={a,b},则ρ(A)的四个元素分别是:
空集,{a},{b},{a,b}。
19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。
是代数系统,其中是*1,*2二元运算符,如果*1,*2都满足交换律、结合律,并且*1和*2满足吸收律,则称<
21、集合A={a,b,c,d},B={b},则A\B={a,c,d}。
22、设A={1,2},则∣A∣=2。
23、在有向图中,结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数,入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数。
24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。
25、不含回路的连通图是树。
26、不及任何结点相邻接的结点称为孤立结点。
27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则(US规则)、全称推广规则(UG规则)、存在指定规则(ES规则)、存在推广规则(EG规则)。
1、√。
2、√。
3、×
。
4、√。
5、√。
6、×
7、√。
8、√。
9、×
10、√。
11、×
12、√。
13、×
14、√。
15、√。
16、×
17、√。
18、√。
19、×
20、×
21、√。
22、√。
23、×
24、√。
25、√。
26、×
27、√。
28、√。
1、设A={c,d},B={0,1,2},则A×
B={<
c,0>
c,1>
c,2>
d,0>
d,1>
d,2>
},B×
A={<
0,c>
0,d>
1,c>
1,d>
2,c>
2,d>
2、A={a,b,c},B={1,2},A×
B={a,b,c}×
{1,2}={<
a,1>
b,1>
a,2>
b,2>
3、A={a,b,c},A×
A={a,b,c}×
{a,b,c}={<
a,c>
b,b>
c,a,>
c,c>
设L(x,y):
x大于y,a:
2,b:
3,c:
4,则命题符号化为L(a,b)→L(a,c)。
设F(x):
x是兔子。
G(x):
x是乌龟。
H(x,y):
x比y跑得快。
该命题符号化为:
¬
∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。
设F(x):
x是素数。
G(x):
x是偶数。
a:
2,则命题符号化为F(a)∧G(a)。
解:
R的关系矩阵为:
deg(v1)=3,deg+(v1)=1,deg-(v1)=2;
deg(v2)=deg+(v4)=deg-(v2)=0;
deg(v3)=3,deg+(v3)=2,deg-(v3)=1;
deg(v4)=2,deg+(v4)=1,deg-(v4)=1;
答:
deg(v1)=3,deg+(v1)=2,deg-(v1)=1;
deg(v2)=3,deg+(v2)=2,deg-(v2)=1;
deg(v3)=5,deg+(v3)=2,deg-(v3)=3;
deg(v4)=deg+(v4)=deg-(v4)=0;
deg(v5)=1,deg+(v5)=0,deg-(v5)=1;
12、求命题公式┐(p∧┐q)的真值表。
p
q
┐q
p∧┐q
┐(p∧┐q)
1
由定理列出如下方程组:
求解得x=5,y=0。
domR1={1,3,5},ranR1={2,4,6},fldR1=domR1∪ranR1={1,2,3,4,5,6};
domR2={1,2},ranR2={4,6},fldR2=domR2∪ranR2={1,2,4,6}。
1,5>
2,4>
3,3>
},S={<
3,1>
4,2>
5,3>
},从而R◦S={<
1,3>
2,2>
}
或者因<
∈R,<
∈S,所以<
∈R◦S;
因<
∈R◦S;
从而R◦S={<
R◦S={<
a,5>
c,2>
(R◦S)-1={<
1,a>
4,a>
5,a>
2,b>
2,c>
4,c>
5,c>
R–1={<
c,a>
b,c>
},
S–1={<
S–1◦R–1={<
1是A的最小元,没有最大元,1是极小元,4、5、6都是A的极大元。
r(R)={<
s(R)={<
t(R)={<
如下图所示v0及v5之间的最短路径为:
v0,v1,v2,v4,v3,v5
最短路径值为1+2+1+3+2=9
先根遍历:
ABDEHCFIJGK中根遍历:
DBHEAIFJCGK后根遍历:
DHEBIJFKGCA
证明:
a∈A,因为R和S都是A上的等价关系,所以xRx且xSx。
故xR
Sx。
从而R
S是自反的。
a,b∈A,aR
Sb,即aRb且aSb。
因为R和S都是A上的等价关系,所以bRa且bSa。
故bR
Sa。
S是对称的。
a,b,c∈A,aR
Sb且bR
Sc,即aRb,aSb,bRc且bSc。
因为R和S都是A上的等价关系,所以aRc且aSc。
故aR
Sc。
S是传递的。
故R
设:
H(x):
x是人。
M(x):
x是要死的。
s:
苏格拉底。
本题要证明:
("
x)(H(x)→M(x))∧H(s)Þ
M(s)
⑴("
x)(H(x)→M(x))P
⑵H(s)→M(s)US⑴
⑶H(s)P
⑷M(s)⑵、⑶
(1)┐R前提
(2)┐Q
R前提
(3)┐Q
(1),
(2)
(4)P→Q前提
(5)┐P(3),(4)
(6)┐S
P前提
(7)┐S(5),(6)
因为e∗e=e,所以e是幂等元。
设aÎ
G且a∗a=a,则有a=e∗a=(a–1∗a)∗a=a–1∗(a∗a)=a–1∗a=e,即a=e。
.
所以
左边:
((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))
=(┐(Q∧S)∨R)∧(┐S∨(P∨R))
=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
右边:
(S∧(P→Q))→R
=┐(S∧(┐P∨Q))∨R
=(┐S∨(P∧┐Q))∨R
=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
所以((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))=(S∧(P→Q))→R.
(1)对任意的x∈A,有x-x=0可被k整除。
所以<
x,x>
∈R,即R具有自反性。
(2)对任意的x,y∈A,<
∈R,即x-y可被k整除,设x-y=km,则y-x=-km,显然y-x可被k整除。
y,x>
∈R,即R具有对称性。
(3)设x,y,z∈A,若<
∈R,<
∈R,即x-y可被k整除,y-z可被k整除,设x-y=km,y-z=kn,则x-z=k(m+n),即x-z可被k整除。
x,z>
∈R,即R具有传递性。
综上所述,R具有自反性、对称性和传递性,故R是等价关系。
8、证明:
⑴((p→q)→r)Û
⑵p→(q→r)⇔┐r→(q→┐p)
1((p→q)→r)
Û
((┐p∨q)→r)//蕴涵等值式
(┐(┐p∨q))∨r//蕴涵等值式
(p∧(┐q))∨r//德·
摩根律
((┐q∧p)∨r)//交换律
⇔┐p∨(q→r)//蕴涵等值式
⇔┐p∨(┐q∨r)//蕴涵等值式
⇔r∨(┐q∨┐p)//结合律及交换律
⇔r∨(q→┐p)//蕴涵等值式
⇔┐r→(q→┐p)//蕴涵等值式
(1)P∨Q已知前提
(2)┐P→Q由
(1)
(3)Q→S已知前提
(4)┐P→S由
(2)和(3)
(5)┐S→P由(4)
(6)P→R已知前提
(7)┐S→R由(5)和(6)
(8)S∨R由(7)
证明用反证法,把┐(┐P)作为附加前提加入到前提的集合中去,证明由此导致矛盾。
(1)┐(┐P)反证法附加前提
(2)P由
(1)
(3)P→┐Q已知前提
(4)┐Q由
(2)和(3)
(5)Q∨┐R已知前提
(6)┐R由(4)和(5)
(7)R∧┐S已知前提
(8)R由(7)
(9)R∧┐R由(6)和(8),矛盾
11、证(∀x)