1、9、设f:AB, g:BC。若f,g都是双射,则gf不是双射。10、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集合的元素。12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值,称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。20、设f:若f,g都是满射,则gf不是满射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的,把及n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。24、“我正在
2、说谎。”不是命题。25、用A表示“是个大学生”,c表示“张三”,则A(c):张三是个大学生。26、设F,,则 F-1 2,6。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设f:若f,g都是单射,则gf也是单射。三、计算题(每题10分,共40分)1、设A=c,d, B=0,1,2,则计算AB,BA。2、A = a,b,c,B = 1,2,计算AB。3、A = a,b,c,计算A4、符号化命题“如果2大于3,则2大于4。”。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。6、符号化命题“2是素数且是偶数”。7、设A=a,b,c,d,R是A的二元关系,定义为:R=a,bb,ac,b, d,cd,bd
3、,a,写出A上二元关系R的关系矩阵。8、设A=1,2,3,4,R是A的二元关系,定义为:1,11,22,13,23,14,34,24,19、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。10、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。11、设无向图G如下所示,求它的邻接矩阵。12、求命题公式 (pq)的真值表。13、设=,求x,y。14、R1、R2是从1, 2, 3, 4, 5到2, 4, 6的关系,若R13, 45, 6,R2=2, 6,计算domR1,ranR1,fldR1,domR2,ranR2,fldR2。15、例:设A=1, 2, 3, 4, 5,B=3, 4, 5, C
4、=1, 2, 3,A到B的关系R=|x+y=6,B到C的关系S=|yz=2,求RS。16、集合A=a, b, c,B=1, 2, 3, 4, 5,R是A上的关系,S是A到B的关系。a, aa, cb, bc, bc, c,S=a, 4b, 2c, 4c, 5,求RS,S1R117、A1, 2, 3, 4, 5, 6,D是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。18、设集合A=a,b,c,A上的关系R=,求R的自反、对称、传递闭包。19、求下图中顶点v0及v5之间的最短路径。20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。四、证明题(每题10分,共20分)1、若R
5、和S都是非空集A上的等价关系,证明RS是A上的等价关系。2、证明苏格拉底论证:凡人要死。苏格拉底是人,苏格拉底要死。3、PQ,QR,R,SPS4、在群中,除单位元 e 外,不可能有别的幂等元。5、设R和S是二元关系,证明:(RS)-1=R-1S-16、证明:(QS)R)(S(PR) = (S(PQ)R.7、设I是整数集合,k是正整数,I上的关系R|x, y I,且xy可被k整除,证明R是等价关系。8、证明(pq)r) (qp)r)9、证明(PQ) (PR) (QS)SR10、证明P Q,QR,RS P11、证 (x)(P(x)Q(x) (x)P(x) ($x)Q(x)12、证明定理:设是群,对
6、于任意a, bG,则方程ax=b及ya=b ,在群内有唯一解。 离散数学复习题参考答案一、填空题(每空1分,共20分)1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。3、集合A=b,c,B=a,b,c,d,e,则AB=a,b,c,d,e。4、集合A=1,2,3,4,B=1,3,5,7,9,则AB=1,3。5、若A是2元集合, 则 2A 有 4 个元素。a* b = a和b两者的最大值,则2*3= 3 。7、设A=a, b,c,d, 则A= 4 。8、对实数的普通加法和乘法, 0 是加法的幂等元, 1 是乘法的幂等元。的元素,则-(a+b+
7、c)=(-a)+( -b)+( -c)。10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。11、不能再分解的命题称为原子命题,至少包含一个联结词的命题称为复合命题。12、命题是能够表达判断(分辩其真假)的陈述语句。13、如果p表示王强是一名大学生,则p表示王强不是一名大学生。14、及一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。全称量词和存在量词。16、设A、B为集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集。17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。18、设A=a, b,则 (A) 的四个元素分别是:空集,a,b,a, b。19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符
8、组成的系统。是代数系统,其中是*1,*2二元运算符,如果*1,*2都满足交换律、结合律,并且*1和*2满足吸收律,则称21、集合A=a,b,c,d,B=b ,则A B= a, c,d 。22、设A=1, 2, 则A= 2 。23、在有向图中,结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数,入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数。24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。25、不含回路的连通图是树。26、不及任何结点相邻接的结点称为孤立结点。27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则 (US规则)、全称推广规则 (UG规则)、存在指定规则 (ES规则) 、存在推广
9、规则 (EG规则)。1、。2、。3、。4、。5、。6、7、。8、。9、10、。11、12、。13、14、。15、。16、17、。18、。19、20、21、。22、。23、24、。25、。26、27、。28、。1、设A=c,d, B=0,1,2,则AB=c,1c,2d,0d,1d,2,BA= 0,d1,c1,d2,c2,d2、A = a,b,c,B = 1,2,AB = a,b,c 1,2 = b,1a,2b,23、A = a,b,c,AA = a,b,c a,b,c = b,bc,a,c,c设 L(x,y):x大于y, a:2, b:3, c:4,则命题符号化为L(a,b)L(a,c)。设F(
10、x):x是兔子。G(x):x是乌龟。H(x,y):x比y跑得快。该命题符号化为:xy(F(x)G(y)H(x,y)。设 F(x):x是素数。 G(x):x是偶数。 a: 2,则命题符号化为F(a)G(a)。解:R的关系矩阵为:deg(v1)3,deg+(v1)1,deg-(v1)2;deg(v2)deg+(v4)deg-(v2)0;deg(v3)3,deg+(v3)2,deg-(v3)1;deg(v4)2,deg+(v4)1,deg-(v4)1;答:deg(v1)3,deg+(v1)2,deg-(v1)1;deg(v2)3,deg+(v2)2,deg-(v2)1;deg(v3)5,deg+(v
11、3)2,deg-(v3)3;deg(v4)deg+(v4)deg-(v4)0;deg(v5)1,deg+(v5)0,deg-(v5)1;12、求命题公式(pq)的真值表。pqqpq (pq)1由定理列出如下方程组:求解得x=5,y=0。domR1=1, 3, 5,ranR1=2, 4, 6,fldR1=dom R1ran R1=1, 2, 3, 4, 5, 6;domR2=1, 2,ranR2=4, 6,fldR2=dom R2ran R2=1, 2, 4, 6。1, 52, 43, 3, S=4, 25, 3,从而RS=2, 2或者因R,S,所以 RS;因 RS;从而RS=RS=c, 2(R
12、S)-1=4, a5, a2, b2, c4, c5, cR1=b, c,S1=S1R1=1是A的最小元,没有最大元,1是极小元,4、5、6都是A的极大元。r(R)=s(R)=t(R)=如下图所示v0及v5之间的最短路径为:v0, v1, v2, v4 , v3, v5最短路径值为1+2+1+3+2=9 先根遍历:ABDEHCFIJGK 中根遍历:DBHEAIFJCGK 后根遍历:DHEBIJFKGCA证明:aA,因为R和S都是A上的等价关系,所以xRx且xSx。故x RS x。从而RS是自反的。a,bA,aRSb,即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系,所以bRa且bSa。故b RS
13、 a。S是对称的。a,b,cA,a RS b且b RS c,即aRb,aSb,bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系,所以aRc且aSc。故a RS c。S是传递的。故R设: H(x):x是人。M(x):x是要死的。s:苏格拉底。本题要证明:(x)(H(x)M(x)H(s)M(s) (x)(H(x)M(x) P H(s)M(s) US H(s) P M(s) 、(1) R 前提(2) QR 前提(3) Q (1),(2)(4) PQ 前提(5) P (3),(4)(6) SP 前提(7) S (5),(6)因为ee=e,所以e是幂等元。设aG且aa=a,则有a=ea=(a 1 a)a=a
14、 1(aa)=a1 a=e, 即a=e。.所以 左边:(QS)R)(S(PR)=(QS)R)(S(PR)=(QSR)(SPR)右边:(S(PQ)R= (S(PQ)R= (S(PQ)R= (QSR)(SPR)所以 (QS) R)(S (PR) = (S(PQ)R.(1) 对任意的x A,有xx=0可被k整除。所以 R,即R具有自反性。(2) 对任意的x,y A, R,即R具有对称性。(3)设x,y,z A,若 R, R,即R具有传递性。综上所述, R具有自反性、对称性和传递性,故R是等价关系。8、证明:(pq)r)p(qr) r(qp)1(pq)r) (pq)r) /蕴涵等值式 (pq)r /蕴
15、涵等值式 (p(q)r /德摩根律 (qp)r) /交换律p(qr) /蕴涵等值式p(qr) /蕴涵等值式r(qp) /结合律及交换律r(qp) /蕴涵等值式r(qp) /蕴涵等值式(1) PQ 已知前提(2) PQ 由(1)(3) QS 已知前提(4) PS 由(2) 和(3)(5) SP 由(4)(6) PR 已知前提(7) SR 由(5) 和(6)(8) SR 由(7)证明用反证法,把(P)作为附加前提加入到前提的集合中去,证明由此导致矛盾。(1) (P) 反证法附加前提 (2) P 由(1) (3) PQ 已知前提 (4) Q 由(2)和(3) (5) QR 已知前提 (6) R 由(4)和(5) (7) RS 已知前提 (8) R 由 (7) (9) RR 由(6)和(8),矛盾11、证 (x)
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