中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案Word文档格式.docx

1、9、设f：AB， g：BC。若f，g都是双射，则gf不是双射。10、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集合的元素。12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值，称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。20、设f：若f，g都是满射，则gf不是满射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的，把及n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。24、“我正在

2、说谎。”不是命题。25、用A表示“是个大学生”，c表示“张三”，则A（c）：张三是个大学生。26、设F,，则 F-1 2,6。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设f：若f，g都是单射，则gf也是单射。三、计算题（每题10分，共40分）1、设A=c,d, B=0,1,2，则计算AB，BA。2、A = a,b,c，B = 1,2，计算AB。3、A = a,b,c，计算A4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。”。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。6、符号化命题“2是素数且是偶数”。7、设A=a,b,c,d，R是A的二元关系，定义为：R=a,bb,ac,b, d,cd,bd

3、,a，写出A上二元关系R的关系矩阵。8、设A=1,2,3,4，R是A的二元关系，定义为：1,11,22,13,23,14,34,24,19、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。11、设无向图G如下所示，求它的邻接矩阵。12、求命题公式 （pq）的真值表。13、设=，求x，y。14、R1、R2是从1, 2, 3, 4, 5到2, 4, 6的关系，若R13, 45, 6，R2=2, 6，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。15、例：设A=1, 2, 3, 4, 5，B=3, 4, 5, C

4、=1, 2, 3，A到B的关系R=|x+y=6，B到C的关系S=|yz=2，求RS。16、集合A=a, b, c，B=1, 2, 3, 4, 5，R是A上的关系，S是A到B的关系。a, aa, cb, bc, bc, c，S=a, 4b, 2c, 4c, 5，求RS，S1R117、A1, 2, 3, 4, 5, 6，D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。18、设集合A=a,b,c，A上的关系R=，求R的自反、对称、传递闭包。19、求下图中顶点v0及v5之间的最短路径。20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。四、证明题（每题10分，共20分）1、若R

5、和S都是非空集A上的等价关系，证明RS是A上的等价关系。2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人，苏格拉底要死。3、PQ，QR，R，SPS4、在群中，除单位元 e 外，不可能有别的幂等元。5、设R和S是二元关系，证明：（RS）-1=R-1S-16、证明：（QS）R）（S（PR） = （S（PQ）R.7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R|x, y I，且xy可被k整除，证明R是等价关系。8、证明（pq）r） （qp）r）9、证明（PQ） （PR） （QS）SR10、证明P Q，QR，RS P11、证 （x）（P（x）Q（x） （x）P（x） （$x）Q（x）12、证明定理：设是群，对

6、于任意a, bG，则方程ax=b及ya=b ，在群内有唯一解。 离散数学复习题参考答案一、填空题（每空1分，共20分）1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。3、集合A=b,c，B=a,b,c,d,e，则AB=a,b,c,d,e。4、集合A=1,2,3,4，B=1,3,5,7,9，则AB=1,3。5、若A是2元集合, 则 2A 有 4 个元素。a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 3 。7、设A=a, b,c,d, 则A= 4 。8、对实数的普通加法和乘法， 0 是加法的幂等元， 1 是乘法的幂等元。的元素，则-（a+b+

7、c）=（-a）+（ -b）+（ -c）。10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。11、不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题。12、命题是能够表达判断（分辩其真假）的陈述语句。13、如果p表示王强是一名大学生，则p表示王强不是一名大学生。14、及一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。全称量词和存在量词。16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。18、设A=a, b，则 （A） 的四个元素分别是：空集，a，b，a, b。19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符

8、组成的系统。是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称21、集合A=a,b,c,d，B=b ，则A B= a, c,d 。22、设A=1, 2, 则A= 2 。23、在有向图中，结点v的出度deg+（v）表示以v为起点的边的条数，入度deg-（v）表示以v为终点的边的条数。24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。25、不含回路的连通图是树。26、不及任何结点相邻接的结点称为孤立结点。27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则 （US规则）、全称推广规则 （UG规则）、存在指定规则 （ES规则） 、存在推广

9、规则 （EG规则）。1、。2、。3、。4、。5、。6、7、。8、。9、10、。11、12、。13、14、。15、。16、17、。18、。19、20、21、。22、。23、24、。25、。26、27、。28、。1、设A=c,d, B=0,1,2，则AB=c,1c,2d,0d,1d,2，BA= 0,d1,c1,d2,c2,d2、A = a,b,c，B = 1,2，AB = a,b,c 1,2 = b,1a,2b,23、A = a,b,c，AA = a,b,c a,b,c = b,bc,a,c,c设 L（x,y）：x大于y， a：2， b：3， c：4，则命题符号化为L（a,b）L（a,c）。设F（

10、x）：x是兔子。G（x）：x是乌龟。H（x,y）：x比y跑得快。该命题符号化为：xy（F（x）G（y）H（x,y）。设 F（x）：x是素数。 G（x）：x是偶数。 a： 2，则命题符号化为F（a）G（a）。解：R的关系矩阵为：deg（v1）3，deg+（v1）1，deg-（v1）2；deg（v2）deg+（v4）deg-（v2）0；deg（v3）3，deg+（v3）2，deg-（v3）1；deg（v4）2，deg+（v4）1，deg-（v4）1；答：deg（v1）3，deg+（v1）2，deg-（v1）1；deg（v2）3，deg+（v2）2，deg-（v2）1；deg（v3）5，deg+（v

11、3）2，deg-（v3）3；deg（v4）deg+（v4）deg-（v4）0；deg（v5）1，deg+（v5）0，deg-（v5）1；12、求命题公式（pq）的真值表。pqqpq （pq）1由定理列出如下方程组：求解得x=5，y=0。domR1=1, 3, 5，ranR1=2, 4, 6，fldR1=dom R1ran R1=1, 2, 3, 4, 5, 6；domR2=1, 2，ranR2=4, 6，fldR2=dom R2ran R2=1, 2, 4, 6。1, 52, 43, 3, S=4, 25, 3，从而RS=2, 2或者因R，S，所以 RS；因 RS；从而RS=RS=c, 2（R

12、S）-1=4, a5, a2, b2, c4, c5, cR1=b, c，S1=S1R1=1是A的最小元，没有最大元，1是极小元，4、5、6都是A的极大元。r（R）=s（R）=t（R）=如下图所示v0及v5之间的最短路径为：v0, v1, v2, v4 , v3, v5最短路径值为1+2+1+3+2=9 先根遍历：ABDEHCFIJGK 中根遍历：DBHEAIFJCGK 后根遍历：DHEBIJFKGCA证明：aA，因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。故x RS x。从而RS是自反的。a,bA，aRSb，即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。故b RS

13、 a。S是对称的。a,b,cA，a RS b且b RS c，即aRb，aSb，bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。故a RS c。S是传递的。故R设： H（x）：x是人。M（x）：x是要死的。s：苏格拉底。本题要证明：（x）（H（x）M（x）H（s）M（s） （x）（H（x）M（x） P H（s）M（s） US H（s） P M（s） 、（1） R 前提（2） QR 前提（3） Q （1），（2）（4） PQ 前提（5） P （3），（4）（6） SP 前提（7） S （5），（6）因为ee=e，所以e是幂等元。设aG且aa=a，则有a=ea=（a 1 a）a=a

14、 1（aa）=a1 a=e， 即a=e。.所以 左边：（QS）R）（S（PR）=（QS）R）（S（PR）=（QSR）（SPR）右边：（S（PQ）R= （S（PQ）R= （S（PQ）R= （QSR）（SPR）所以 （QS） R）（S （PR） = （S（PQ）R.（1） 对任意的x A，有xx=0可被k整除。所以 R，即R具有自反性。（2） 对任意的x，y A， R，即R具有对称性。（3）设x，y，z A，若 R， R，即R具有传递性。综上所述， R具有自反性、对称性和传递性，故R是等价关系。8、证明：（pq）r）p（qr） r（qp）1（pq）r） （pq）r） /蕴涵等值式 （pq）r /蕴

15、涵等值式 （p（q）r /德摩根律 （qp）r） /交换律p（qr） /蕴涵等值式p（qr） /蕴涵等值式r（qp） /结合律及交换律r（qp） /蕴涵等值式r（qp） /蕴涵等值式（1） PQ 已知前提（2） PQ 由（1）（3） QS 已知前提（4） PS 由（2） 和（3）（5） SP 由（4）（6） PR 已知前提（7） SR 由（5） 和（6）（8） SR 由（7）证明用反证法，把（P）作为附加前提加入到前提的集合中去，证明由此导致矛盾。（1） （P） 反证法附加前提 （2） P 由（1） （3） PQ 已知前提 （4） Q 由（2）和（3） （5） QR 已知前提 （6） R 由（4）和（5） （7） RS 已知前提 （8） R 由 （7） （9） RR 由（6）和（8），矛盾11、证 （x）