备战2013中考数学压轴题1.doc
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备战2013中考数学压轴题集锦
1.(北京市)在□ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF(如图1).
(1)在图1中画图探究:
①当P1为射线CD上任意一点(P1不与C点重合)时,连结EP1,将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1,判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明;
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2,判断直线G1G2与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.
(2)若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下,设CP1=x,S△P1FG1=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
A
D
B
C
E
F
图1
A
D
B
C
E
F
图2(备用)
2.(北京市)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-6,0),B(6,0),
C(0,),延长AC到点D,使CD=AC,过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E.
(1)求D点的坐标;
(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(3)设G为轴上一点,点P从直线y=kx+b与轴的交点出发,先沿轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.(要求:
简述确定G点位置的方法,但不要求证明)
1
1
A
B
O
C
E
D
A
B
O
3.(天津市)已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.
(Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标;
A
B
O
(Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定的取值范围;
(Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′′,且使B′′D∥OB,求此时点C的坐标.
A
B
O
4.(天津市)已知函数y1=x,y2=x2+bx+c,α,β为方程y1-y2=0的两个根,点M(1,T)在函数y2的图象上.
(Ⅰ)若α=,β=,求函数y2的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B,当△ABM的面积为时,求t的值;
(Ⅲ)若0<α<β<1,当0<t<1时,试确定T,α,β三者之间的大小关系,并说明理由.
5.(上海市)在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4),直线CM∥轴(如图所示).点B与点A关于原点对称,直线y=x+b(为常数)经过点B,且与直线CM相交于点D,联结OD.
(1)求b的值和点D的坐标;
(2)设点P在轴的正半轴上,若△POD是等腰三角形,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,如果以PD为半径的圆P与圆O外切,求圆O的半径.
C
M
O
x
y
1
3
4
A
1
B
D
y=x+b
2
6.(上海市)已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足=(如图1所示).
(1)当AD=2,且点Q与点B重合时(如图2所示),求线段PC的长;
(2)在图1中,联结AP.当AD=,且点Q在线段AB上时,设点B、Q之间的距离为x,=y,其中表示△APQ的面积,表示△PBC的面积,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域;
(3)当AD<AB,且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示),求∠QPC的大小.
D
A
P
C
B
(Q)
)
图2
图3
C
A
D
P
B
Q
图1
A
D
C
B
Q
P
7.(重庆市)已知:
如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在轴的正半轴上,OC在轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与
(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于
(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
A
D
B
C
E
O
x
y
8.(重庆市江津区)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P,使△PBC的面积最大?
,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若不存在,请说明理由.
O
B
A
C
y
x
9.(重庆市綦江县)如图,已知抛物线y=a(x-1)2+(a≠0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C,B在轴正半轴上,连结BC.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:
当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?
直角梯形?
等腰梯形?
D
C
M
y
O
A
B
Q
P
x
(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?
并求出最小值及此时PQ的长.
2
3
1
-1
1
2
-1
-2
x
y
O
A
y=x2-2x-1
10.(江苏省)如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A,二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.
(1)求点A与点C的坐标;
(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.
11.(江苏省)如图,已知射线DE与x轴和轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4),动点C从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标;
(2)以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.
①当⊙C与射线DE有公共点时,求t的取值A
D
C
M
B
P
E
y
x
O
范围;
②当△PAB为等腰三角形时,求t的值.
12.(浙江省杭州市)已知平行于x轴的直线y=a(a≠0)与函数y=x和函数y=的图象分别交于点A和点B,又有定点P(2,0).
(1)若a>0,且tan∠POB=,求线段AB的长;
(2)在过A,B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中,已知线段AB=,且在它的对称轴左边时,y随着x的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式;
(3)已知经过A,B,P三点的抛物线,平移后能得到y=x2的图象,求点P到直线AB的距离.
O
y
x
1
P(2,0)
y=
3
2
1
4
-1
-2
-1
-2
y=x
13.(浙江省台州市)如图,已知直线y=-x+1交坐标轴于A、B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线另一个交点为E.
(1)请直接写出点C,D的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;
(4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,直至顶点D落在x轴上时停止,求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积.
O
A
B
C
D
E
14.(浙江省温州市)如图,在平面直角坐标系中,点A(,0),B(,2),C(0,2).动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF⊥AB,交BC于点F,连结DA、DF.设运动时间为t秒.
A
B
F
E
x
y
C
D
O
(1)求∠ABC的度数;
(2)当t为何值时,AB∥DF;
(3)设四边形AEFD的面积为S.
①求S关于t的函数关系式;
②若一抛物线y=-x2+mx经过动点E,当S<2时,
求m的取值范围(写出答案即可).
15.(浙江省湖州市)已知:
抛物线y=x2-2x+a(a<0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=x-a分别与x轴,y轴相交于B,C两点,并且与直线AM相交于点N.
(1)填空:
试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标,则M(,),N(,);
(2)如图,将△NAC沿轴翻折,若点N的对应点N′恰好落在抛物线上,AN′与轴交于点D,连结CD,求a的值和四边形ADCN的面积;
(3)在抛物线y=x2-2x+a(a<0)上是否存在一点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,试说明理由.
N′
C
N
x
O
A
M
B
y
D
C
N
x
O
A
M
B
y
备用图
16.(浙江省衢州市、舟山市)如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上.
(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
(2)平移抛物线y=ax2,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
①当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式;
y
O
A
2
4
6
8
-2
-4
-2
-4
2
4
x
B
C
D
②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?
若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明