备战2013中考数学压轴题1.doc

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备战2013中考数学压轴题集锦

1．（北京市）在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）．

（1）在图1中画图探究：

①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连结EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1，判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2，判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．

（2）若AD＝6，tanB＝，AE＝1，在①的条件下，设CP1＝x，S△P1FG1＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

A

D

B

C

E

F

图1

A

D

B

C

E

F

图2（备用）

2．（北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－6，0），B（6，0），

C（0，），延长AC到点D，使CD＝AC，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E．

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与轴的交点出发，先沿轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：

简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

1

1

A

B

O

C

E

D

A

B

O

3．（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；

A

B

O

（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′＝x，OC＝y，试写出y关于x的函数解析式，并确定的取值范围；

（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′′，且使B′′D∥OB，求此时点C的坐标．

A

B

O

4．（天津市）已知函数y1＝x，y2＝x2＋bx＋c，α，β为方程y1－y2＝0的两个根，点M（1，T）在函数y2的图象上．

（Ⅰ）若α＝，β＝，求函数y2的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为时，求t的值；

（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t＜1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．

5．（上海市）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．

（1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

C

M

O

x

y

1

3

4

A

1

B

D

y＝x＋b

2

6．（上海市）已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足＝（如图1所示）．

（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；

（2）在图1中，联结AP．当AD＝，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，＝y，其中表示△APQ的面积，表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．

D

A

P

C

B

（Q）

）

图2

图3

C

A

D

P

B

Q

图1

A

D

C

B

Q

P

7．（重庆市）已知：

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与

（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于

（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

A

D

B

C

E

O

x

y

8．（重庆市江津区）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（1，0），B（－3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在

（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？

，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

O

B

A

C

y

x

9．（重庆市綦江县）如图，已知抛物线y＝a（x－1）2＋（a≠0）经过点A（－2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：

当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？

直角梯形？

等腰梯形？

D

C

M

y

O

A

B

Q

P

x

（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？

并求出最小值及此时PQ的长．

2

3

1

-1

1

2

-1

-2

x

y

O

A

y＝x2－2x－1

10．（江苏省）如图，已知二次函数y＝x2－2x－1的图象的顶点为A，二次函数y＝ax2＋bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x2－2x－1的图象的对称轴上．

（1）求点A与点C的坐标；

（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝ax2＋bx的关系式．

11．（江苏省）如图，已知射线DE与x轴和轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．

①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值A

D

C

M

B

P

E

y

x

O

范围；

②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

12．（浙江省杭州市）已知平行于x轴的直线y＝a（a≠0）与函数y＝x和函数y＝的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）．

（1）若a＞0，且tan∠POB＝，求线段AB的长；

（2）在过A，B两点且顶点在直线y＝x上的抛物线中，已知线段AB＝，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；

（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y＝x2的图象，求点P到直线AB的距离．

O

y

x

1

P（2，0）

y＝

3

2

1

4

-1

-2

-1

-2

y＝x

13．（浙江省台州市）如图，已知直线y＝－x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．

（1）请直接写出点C，D的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

O

A

B

C

D

E

14．（浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF⊥AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．

A

B

F

E

x

y

C

D

O

（1）求∠ABC的度数；

（2）当t为何值时，AB∥DF；

（3）设四边形AEFD的面积为S．

①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y＝－x2＋mx经过动点E，当S＜2时，

求m的取值范围（写出答案即可）．

15．（浙江省湖州市）已知：

抛物线y＝x2－2x＋a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．

（1）填空：

试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（，），N（，）；

（2）如图，将△NAC沿轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

（3）在抛物线y＝x2－2x＋a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．

N′

C

N

x

O

A

M

B

y

D

C

N

x

O

A

M

B

y

备用图

16．（浙江省衢州市、舟山市）如图，已知点A（－4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax2上．

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ＋QB最短，求出点Q的坐标；

（2）平移抛物线y＝ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（－2，0）和点D（－4，0）是x轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C＋CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

y

O

A

2

4

6

8

-2

-4

-2

-4

2

4

x

B

C

D

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？

若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明