图形变换对角互补和角含半角旋转.习题集.doc

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对角互补和角含半角旋转

真题链接

【例1】在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．

（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；

（2）在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围．

（2012北京中考）

【答案】

（1）补全图形，见图1；；

（2）猜想：

．

证明：

如图2，连结．

是的中点，

．

点在直线上，

．

又为公共边，

．

又，

．

在四边形中，．

（3）的范围是．

课堂练习

一、对角互补旋转

【例1】在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．

【答案】连接．因为且，所以．

因为是的中点，所以，且，则．

因为，所以，所以，

所以．因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．

的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；

当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大．

【例2】如图所示，在四边形中，，，于，若四边形的面积是16，求的长．

【答案】如图，过点作，延长交于点，容易证得（实际上就是把逆时针旋转，得到正方形）

正方形的面积等于四边形面积为，∴．

【例3】在五边形中，已知，，，连接．求证：

平分．

【答案】连接．由于，．

我们以为中心，将逆时针旋转到的位置．因，所以点与点重合，而，

所以、、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，．

所以．

在与中，

因为，，，

故≌，

因此，即平分．

【例4】在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求∠BAO的度数；

（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点 Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．

求证：

PF＝PQ；

（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若 P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？

并说明理由．

图1

图2

【答案】

（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．

∴A（－6，0），B（0，6）．

∴OA=OB．

∴

在△AOB中，．

∴．

（2）在等腰直角三角形APD中，

，DA=DP，．

∴DP⊥AD于D．

由

（1）可得．

∴．

又∵PG⊥x轴于G，

y

∴PG=PD．

∴．

∴．

∴．

即．

又∵PQ⊥PF，

∴．

∴．

在△PGF和△PDQ中，

∴△PGF≌△PDQ（ASA）．

∴PF=PQ．

2

x

图1

A

B

Q

G

P

O

F

D

1

3

4

7

5

6

图2

D

A

E

B

O

y

P

x

H

3

4

1

2

（3）答：

OP⊥DP，OP＝DP．

证明：

延长DP至H，使得PH=PD．

∵P为BE的中点，

∴PB=PE．

在△PBH和△PED中，

∴△PBH≌△PED（SAS）．

∴BH=ED．

∴．

∴BH∥ED．

在等腰直角三角形ADE中，

AD=ED，．

∴AD=BH，.

∴DE∥x轴，BH∥x轴，BH⊥y轴．

∴．

由

（1）可得OA=OB．

在△DAO和△HBO中，

∴△DAO≌△HBO（SAS）．

∴OD=OH，∠5=∠6．

∵,

∴.

∴在等腰直角三角形△DOH中，

∵DP=HP，

∴OP⊥DP，.

∴．∴OP=PD．

二、角含半角旋转

【例5】、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：

．

【答案】延长至，使，连结，易证，，．

再证，全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有．

【例6】如图，点是以为圆心，为直径的半圆的中点，，等腰直角三角板角的顶点与点重合，当此三角板绕点旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径分别相交于、两点．设线段的长为，线段的长为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（）．

A． B．C． D．

（2014海淀一模）

【答案】C

【解析】由角中半角可知，，，，，，，，，，，，，．

故选C．

【例7】阅读下面材料：

小炎遇到这样一个问题：

如图，点、分别在正方形的边，上，，连结，则，试说明理由．

小炎是这样思考的：

要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段，是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将绕着点逆时针旋转得到，再利用全等的知识解决了这个问题（如图）．

参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图，四边形中，，，点，分别在边，上，．若，都不是直角，则当与满足__________关系时，仍有；

（2）如图，在中，，，点、均在边上，且，若，，求的长．

（2014东城一模）

【答案】

（1）（或互补）．

（2）∵，

∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合．

，

，

∵中，，

∴．

即．

∴．

在与中，

．

又∵，，

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

【例8】如图，点、分别是正方形的边、上的点，，连接，则、、之间的数量关系是：

．连结，交、于点、，且、、满足，请证明这个等量关系；

（2）在中，，点、分别为边上的两点．

①如图，当，时，、、应满足的等量关系是__________；

②如图，当，时，、、应满足的等量关系是__________．【参考：

】

（2014平谷一模）

【答案】

（1）在正方形中，，，

．

把绕点逆时针旋转得到．

连结．则，，

，．

∵，

∴，

，

．

∴．

∴．

在中，，

∴，

∴．

（2）①；

②．

【例9】问题：

如图，在等腰梯形中，，，点，分别在，上，若，试探究线段，，有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想，不用证明；

问题：

如图，在四边形中，，，点，分别在，的延长线上，若仍然成立，请你进一步探究线段，，又有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明．

（2013东城一模）

【答案】解：

（1）猜想的结论：

．

（2）猜想的结论：

．

证明：

在截取，连接．

∵，

∴．

又∵，

∴．

∵，，

∴．

∴，．

∴．

即．

∵，

∴．

即．

又∵，，

∴．

∴．

∵，

∴．

【例10】在等边的两边，所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，，探究：

当点分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

（1）如图①，当点在边上，且时，之间的数量关系式_________；此时__________

（2）如图②，当点在边上，且时，猜想

（1）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（3）如图③，当点分别在边的延长线上时，若，则_________（用表示）

【答案】第三问提示：

利用旋转，即可得到两个影印部分全等

三、线段的旋转

【例11】在中，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，旋转角为，且，连接，．

（1）如图，当，时，的大小为__________；

（2）如图2，当，时，求的大小；

（3）已知的大小为（），若的大小与（）中的结果相同，请直接写出的大小．

图1

图2

（2014海淀一模）

【答案】

（1）；

（2）如图作等边，连结、．

∴，．

∵，，

∴．

∴．

∴．①

∵，，

∴．②

∵，③

∴由①②③，得，

∴，．

∵，，

∴．

∵

∴．

∴．

∴．④

∵，，

∴．⑤

∵，⑥

∴由④⑤⑥，得．

∴．

∴．

∴．

∴．

（3），或．

【例12】已知：

在中，，点是边上任意一点，将射线绕点逆时针旋转与过点且平行于边的直线交于点．

（1）如图1，当时，请直接写出线段与之间的数量关系__________；

（2）如图2，当时，判断线段与之间的数量关系，并进行证明；

（3）如图3，当为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段与之间的数量关系：

__________．（用含的式子表示，其中）

（2014门头沟一模）

【答案】

（1）；

（2）；理由如下：

过点作，交于．

∵，

∴．

∵，，

∴．

∴是等腰直角三角形

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

（3）补全图形如图，

关系：

．

四、其他旋转综合

【例13】如图所示，将一个边长为的正方形和一个长为、宽为的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点顺时针旋转至，旋转角为．

（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；

（2）如图，为中点，且，求证：

；

（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？

若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．

（2014密云一模）

【答案】

（1）∵

∴

∴

∴．

（2）∵为中点，

∴

∵

∴

又∵

∴

∴．

（3）能，或

【例14】在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点．四边形和都是正方形．的中点是．

（1）如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，求证：

，；

（2）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：

是等腰直角三角形；

（3）将图2中的缩短到图3的情况，还是等腰直角三角形吗？

（不必说明理由）

【答案】

（1）证明：

∵四边形和都是正方形，

又∵点与点重合，点与点重合，

∴，．

∴．

∴．

∵，

∴．∴．

（2）证明：

连接、，如图，设与交于点．

∵分别是的中点，

∴，

且，

且．

∴四边形是平行四边形．

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴，且．

∴．

∴是等腰直角三角形．

（3）是．

【例15】如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，，．将直线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．

解答问题：

（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为__________；

②在平移过程中，的值为__________（用含的代数式表示）；

（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点落在线段上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；

（3）将图1中的三角板绕点逆时针旋转度，，原题中的其他条件保持不变．计算的值（用含的代数式表示）．

（2013初三上海淀期末）

【答案】（）①；

②；

（）连结．

∵，均为等腰直角三角形，，，

∴，，，，

∴，，．

∴，，

∴点为的中点．

∴，平分，

∴，，．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴

∴．

∴．

∴．

（）过作的垂线交直线于点，连结、．

∴．

∵，

∴．

∴．

∵为等腰直角三角形，

∴，．

∴．

∴．

∴，．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

课后作业

【练1】如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且．求证：

．

【答案】证明：

因为四边形是正方形，所以，

．因为，

所以，所以

，故≌，故．

【练2】如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．