四点共圆.docx

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【四点共圆的性质及判定】

判定定理1：

若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．

判定定理2：

共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．

判定定理3：

对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆.

判定定理4：

相交弦定理的逆定理：

对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，

若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。

判定定理5：

割线定理的逆定理：

对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P，

若PB·PA=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。

托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．

即：

若四边形内接于圆，则有.

例1：

如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长

解：

延长AB、DC相较于点P

∵∠A=60°∴∠PCB=60°

又∠PBC=90°

∴PC=2BC，PB=BC

∵四边形ABCD是圆的内接四边形

∴PA·PB=PD·PC

∴（PB+AB）·PB=（PC+CD）·PC

∴（BC+2）·BC=（2BC+1）·2BC

∴BC=2-2

例2：

如图，正方形ABCD的面积为5，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，

求AP的长

解：

连接BF。

∵DF=CE，CD=BC，∠CDF=∠BCE∴△CDF≌△BCE

∴∠CFD=∠BEC∵∠DCF+∠CFD=90°∴∠DCF+∠BEC=90°

∴∠EPC=90°又∠BAF=90°∴∠EPC+∠BAF=180°

∴F、A、B、P四点共圆∴AP·BF=PF·AB+AF·PB

∵△CDF∽△CPE∴CD：

CP=CF：

CE=DF：

PE

∴5：

CP=52：

52=52：

PE

∴CP=1，PE=∴PF=CF-CP=-1=，PB=BE-PE=-=2

∴AP×=×5+52×2，∴AP=5

例3：

如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，求BD的长

解:

∵=∴∠BDC=∠DBC

∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠DBC

又∠ACB=∠BCE∴△ABC∽△BEC

∴AC:

BC=BC:

EC∴（AE+EC）:

BC=BC:

EC

即（6+EC）:

4=4:

EC∴EC=2

∵AE·EC=EB·ED即6×2=EB·ED

∴EB·ED=12

∵线段EB和ED的长是正整数，且三角形两边之和大于第三边

∴只能是EB=3，ED=4或EB=4，ED=3

∴BD的长是7

例4：

如图，OQ⊥AB，O为△ABC外接圆的圆心，F为直线OQ与AB的交点，BC与OQ交于P点，A、C、Q三点共线，求证：

OA2=OP·OQ

证明：

延长OF交⊙O于E，连接AP、OB

∵OF⊥AB，∴AF=BF

∴PA=PB又OA=OB，OP=OP

∴△AOP≌△BOP

∴∠APO=∠BPO

∵OF⊥AB∴==

∴∠AOF=∠AOB，又∠ACB=∠AOB

∴∠AOF=∠ACB

∴A、O、P、C四点共圆，∴∠OAQ=∠CPQ

∵∠CPQ=∠BPO，∴∠OAQ=∠BPO

又∠APO=∠BPO，∴∠OAQ=∠APO

又∠AOQ=∠POA，∴△OAQ∽△OPA

∴OA：

OP=OQ：

OA，∴OA2=OP·OQ

例5：

如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，

求证：

PB：

BD=PC：

CD

证明:

过点B作BE∥CD交PO于E,连接OA、OB、OC

∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA

又AD⊥PO，∴PA2=PD·PO

∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB·PC

∵BE∥CD

∴∠BED=∠CDO

∴∠BDE=∠BED

∴BD=BE

∵BE∥CD

∴PB：

BE=PC：

CD

∴PB：

BD=PC：

CD

∴PD·PO=PB·PC

∴B、C、O、D四点共圆，

∴∠BDE=∠BCO

∵OB=OC，

∴∠BCO=∠CBO，

∴∠BDE=∠CBO

又∵∠CBO=∠CDO，

∴∠BDE=∠CDO

例6：

如图，直线AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为6cm、4cm，求P到BC的距离

解：

连接PB、PC、ME、NE

∵PM⊥AB，PE⊥BC

∴∠PMB+∠PEB=180°

∴P、M、B、E四点共圆

∴∠PME=∠PBE

∴△PME∽△PEN

∴PM：

PE=PE：

PN

∴PE2=PM·PN

∴PE2=6×4=24

∴PE=27

同理可证P、N、C、E四点共圆

∴∠NCP=∠NEP

∵AC是圆的切线

∴∠NCP=∠PBE

∴∠PME=∠NEP

同理可证∠PEM=∠PNE

例7：

在半⊙O中，AB为直径，直线CD交半圆于C、D，交AB延长线于M（MB

∠MKO=90°

证明：

连接BC、BK、CK、AD，则

∠BMC=∠ACD-∠BAC

=∠ABD-∠OKC

=∠ODB-∠OKC

=∠OKB-∠OKC

=∠BKC

∴B、M、K、C四点共圆

∴∠MKO=∠MKB+∠OKB

=∠MCB+∠ODB

=∠BAD+∠ODB

=∠ADO+∠ODB

=90°

例8：

如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：

四边形ABCD的面积（用a表示）

解：

∵ABCD是圆O的内接四边形

∴AC·BD=AB·CD+AD·BC

∵解：

∵ABCD是圆O的内接四边形

∴AC·BD=AB·CD+AD·BC

∵AB=AD，∠BAD=60°

∴△ABD是等边三角形

∴AB=AD=BD

∴AC·BD=BD·CD+BD·BC

∴AC=BC+CD

∵∠ACB=∠ADB=60°，

∠ACD=∠ABD=60°

∴S△ABC=（1/2）AC·BC·sin∠ACB=（1/2）AC·BC·sin60°

S△ADC=（1/2）AC·CD·sin∠ACD=（1/2）AC·CD·sin60°

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=（1/2）AC·BC·sin60°+（1/2）AC·CD·sin60°

=（1/2）AC·sin60°·（BC+CD）

=（1/2）AC·sin60°·AC

=3a2/4

【对应练习】

一、选择题

1、设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：

（1）sinA=sinC；

（2）sinA+sinC=0；（3）cosB+cosD=0；（4）cosB=cosD；其中总能成立的关系式的个数是（B）

A、一个；B、两个；C、三个；D、四个；

2、下面的四边形有外接圆的一定是（C）

A、平行四边形；B、梯形；C、等腰梯形；D、两个角互补的四边形；

3、四边形ABCD内接于圆，∠A：

∠B：

∠C=7：

6：

3，则∠D等于（B）

A、36º；B、72º；C、144º；D、54º；

4、如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=AC=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P，若，AP=1，则BD等于（C）

A、；B、2；C、3；D、；

5、对于命题：

①内角相等的圆内接五边形是正五边形；

②内角相等的圆内接四边形是正四边形。

以下四个结论

中正确的是（B）

A、①，②都对；B、①对，②错；

C、①错，②对；D、①，②都错；

二、填空题

6、如图2，△ABC中，∠B=60º，AC=3cm，则△ABC的外接圆半径为3cm。

7、如图3，△ABC中，∠ACB=65º，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则∠AED=65°,∠CED=25°。

8、如图4，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=，BD=，BE=，则AE=ac/b，DE＝bc/a。

9、如图5，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内一点，且∠OPB=45º，PA：

PB＝5：

14，则PB=42cm。

10、如图6，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1，，那么AD=4。

（此题计算过于复杂！

）

三、解答题

11、如图7，在△ABC中，AD为高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：

B、C、F、E四点共圆。

证法1：

在△ABD中，由射影定理得

AD2=AE·AB

同理在△ACD中，由射影定理得

AD2=AF·AC

∴AE·AB=AE·AB

∴B、C、F、E四点共圆

证法2：

连接EF

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°

∵DF⊥AC

∴∠AFD=90°

∴∠AED+∠AFD=180°

∴A、E、D、F四点共圆

∴∠ADE=∠AFE

∵∠EAD+∠B=90°，∠EAD+∠ADE=90°

∴∠B=∠ADE

∴∠B=∠AFE

∴B、C、F、E四点共圆

12、如图8，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于F，AB，DC的延长线交于E，EG平分∠AED交BC于M，交AD于G，FH平分∠AFB交AB于H，交CD于N。

求证：

EG⊥FH。

证法1：

∵∠AGE=∠ADC+∠AED，

∠AHF=∠ABC+∠AFB

∴∠GKH=360°-∠A-∠AGE-∠AHF

=360°-∠A-（∠ADC+∠AED）-（∠ABC+∠AFB）

=360°-∠A-（∠ADC+∠ABC）-（∠AED+∠AFB）

=360°-∠A-180°-（∠AED+∠AFB）

=180°-∠A-（180°-∠A-∠ADC+180°-∠A-∠ABC）

=180°-∠A-[360°-2∠A-（∠ADC+∠ABC）]

=180°-∠A-180°+∠A+×180°

=90°

∴EG⊥FH

证法2：

∵A、B、C、D四点共圆

∴∠ECM=∠BAD

又∠FGM=∠BAD+∠AEG=∠BAD+∠AED

∠FMG=∠ECM+∠DEG=∠ECM+∠AED

∴∠FGM=∠FMG

∴FG=FM

又∠AFH=∠BFH

∴EG⊥FH

13、如图9，AB为圆的直径，AD、BC为圆的两条弦，且BD与AC相交于E。

求证：

AC·AE+BD·BE=AB2。

证明：

过点E作EF⊥AB于F，则

∵∠EFB=90°，∠C=90°

∴∠EFB+∠C=180°

∴B、C、E、F四点共圆

∴AE·AC=AF·AB①

∵∠EFA=90°，∠D=90°

∴∠EFA+∠D=90°

∴A、D、E、F四点共圆

∴BE·BD=BF·AB②

①+②得

∴AE·AC+BE·BD=AF·AB+BF·AB

∵AF+BF=AB

∴AE·AC+BE·BD=AB2

14、如图10，△ABC内接于圆，P为BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。

求证：

D、E、F三点共线。

证明:

连接BP、CP、DE、EF

∵∠BDP=∠BEP=90°

∴B、D、E、F四点共圆

∴∠DEP+∠DBP=180°

∵∠CEP=90°，∠CFP=90°

∴∠CEP+∠CFP=180°

∴P