1、【四点共圆的性质及判定】判定定理1:若两个直角三角形共斜边,则四个顶点共圆,且直角三角形的斜边为圆的直径判定定理2:共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆判定定理3:对于凸四边形ABCD,若对角互补,则A、B、C、D四点共圆.判定定理4:相交弦定理的逆定理:对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P,若PAPC=PBPD,则A、B、C、D四点共圆。判定定理5:割线定理的逆定理:对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P,若PBPA=PCPD,则A、B、C、D四点共圆。托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和即:若四边形内接于圆,则有.例1:
2、如图,在圆内接四边形ABCD中,A=60,B=90,AB=2,CD=1,求BC的长解:延长AB、DC相较于点PA=60PCB=60又PBC=90PC=2BC,PB=BC四边形ABCD是圆的内接四边形PAPB=PDPC(PB+AB)PB=(PC+CD)PC(BC+2)BC=(2BC+1)2BCBC=2-2例2:如图,正方形ABCD的面积为5,E、F分别为CD、DA的中点,BE、CF相交于P,求AP的长解:连接BF。DF=CE,CD=BC,CDF=BCECDFBCECFD=BECDCF+CFD=90DCF+BEC=90EPC=90又BAF=90EPC+BAF=180F、A、B、P四点共圆APBF=
3、PFAB+AFPBCDFCPECD:CP=CF:CE=DF:PE5:CP=52:52= 52:PECP=1,PE=PF=CF-CP=-1= ,PB=BE-PE=-=2AP=5+ 522,AP=5例3:如图,四边形ABCD内接于O,CB=CD=4,AC与BD相交于E,AE=6,线段BE和DE的长都是正整数,求BD的长解:=BDC=DBCBAC=BDCBAC=DBC又ACB=BCEABCBECAC:BC=BC:EC(AE+EC):BC=BC:EC即(6+EC):4=4:ECEC=2AEEC=EBED即62=EBEDEBED=12线段EB和ED的长是正整数,且三角形两边之和大于第三边只能是EB=3,
4、ED=4或EB=4,ED=3BD的长是7例4:如图,OQAB,O为ABC外接圆的圆心,F为直线OQ与AB的交点,BC与OQ交于P点,A、C、Q三点共线,求证:OA2=OPOQ证明:延长OF交O于E,连接AP、OBOFAB,AF=BFPA=PB又OA=OB,OP=OPAOPBOPAPO=BPOOFAB=AOF=AOB,又ACB=AOBAOF=ACBA、O、P、C四点共圆,OAQ=CPQCPQ=BPO,OAQ=BPO又APO=BPO,OAQ=APO又AOQ=POA,OAQOPAOA:OP=OQ:OA,OA2=OPOQ例5:如图,P是O外一点,PA与O切于点A,PBC是O的割线,ADPO于D,求证:
5、PB:BD=PC:CD证明:过点B作BECD交PO于E,连接OA、OB、OCPA是O的切线,PAOA又ADPO,PA2=PDPOPA是O的切线,PA2=PBPCBECDBED=CDOBDE=BEDBD=BEBECDPB:BE=PC:CDPB:BD=PC:CDPDPO=PBPCB、C、O、D四点共圆,BDE=BCOOB=OC,BCO=CBO,BDE=CBO又CBO=CDO,BDE=CDO例6:如图,直线AB、AC与O分别相切于B、C两点,P为圆上一点,P到AB、AC的距离分别为6cm、4cm,求P到BC的距离解:连接PB、PC、ME、NEPMAB,PEBCPMB+PEB=180P、M、B、E四点
6、共圆PME=PBEPMEPENPM:PE=PE:PNPE2=PMPNPE2=64=24PE=27同理可证P、N、C、E四点共圆NCP=NEPAC是圆的切线NCP=PBEPME=NEP同理可证PEM=PNE例7: 在半O中,AB为直径,直线CD交半圆于C、D,交AB延长线于M(MBMA,ACMD),设 K是AOC与DOB的外接圆除点O外的另一个交点,求证:MKO=90证明:连接BC、BK、CK、AD,则BMC=ACD-BAC =ABD-OKC =ODB-OKC =OKB-OKC =BKCB、M、K、C四点共圆MKO =MKB+OKB=MCB+ODB =BAD+ODB =ADO+ODB =90例8
7、:如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=AD,BAD=60,AC=a,求:四边形ABCD的面积(用a表示)解:ABCD是圆O的内接四边形ACBD=ABCD+ADBC解:ABCD是圆O的内接四边形ACBD=ABCD+ADBCAB=AD,BAD=60ABD是等边三角形AB=AD=BDACBD=BDCD+BDBCAC=BC+CDACB=ADB=60, ACD=ABD=60SABC=(1/2)ACBCsinACB =(1/2)ACBCsin60 SADC=(1/2)ACCDsinACD =(1/2)ACCDsin60S四边形ABCD=SABC+SADC=(1/2)ACBCsin60+(1/2)ACCD
8、sin60 =(1/2)ACsin60(BC+CD) =(1/2)ACsin60AC =3a2/4【对应练习】一、选择题1、设ABCD为圆内接四边形,现给出四个关系式:(1)sinA=sinC; (2)sinA+sinC=0; (3)cosB+cosD=0; (4)cosB=cosD;其中总能成立的关系式的个数是( B )A、一个; B、两个; C、三个; D、四个;2、下面的四边形有外接圆的一定是( C )A、平行四边形; B、梯形; C、等腰梯形; D、两个角互补的四边形;3、四边形ABCD内接于圆,A:B:C=7:6:3,则D等于( B )A、36; B、72; C、144; D、54;
9、4、如图1,在四边形ABCD中,AB=BC=AC=AD,AHCD于H,CPBC交AH于P,若,AP=1,则BD等于( C )A、; B、2; C、3; D、;5、对于命题:内角相等的圆内接五边形是正五边形;内角相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论中正确的是( B )A、,都对; B、对,错;C、错,对; D、,都错;二、填空题6、如图2,ABC中,B=60,AC=3cm,则ABC的外接圆半径为 3cm 。7、如图3,ABC中,ACB=65,BDAC于D,CEAB于E,则AED= 65 ,CED= 25 。8、如图4,ABC中,AD是BAC的平分线,延长AD交ABC的外接圆于E,已知AB=
10、,BD=,BE=,则AE= ac/b ,DE bc/a 。9、如图5,正方形ABCD的中心为O,面积为1989,P为正方形内一点,且OPB=45,PA:PB5:14,则PB= 42cm 。10、如图6,四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中,若AB和BC的长度各为1,那么AD= 4 。(此题计算过于复杂!)三、解答题11、如图7,在ABC中,AD为高线,DEAB于E,DFAC于F。求证:B、C、F、E四点共圆。证法1:在ABD中,由射影定理得AD2=AEAB同理在ACD中,由射影定理得AD2=AFACAEAB =AEABB、C、F、E四点共圆证法2:连接EFDEAB,AED=90DFACAFD
11、=90AED+AFD=180A、E、D、F四点共圆ADE=AFEEAD+B=90,EAD+ADE=90B=ADEB=AFEB、C、F、E四点共圆12、如图8,四边形ABCD内接于圆,AD、BC的延长线交于F,AB,DC的延长线交于E,EG平分AED交BC于M,交AD于G,FH平分AFB交AB于H,交CD于N。求证:EGFH。证法1:AGE=ADC+AED,AHF=ABC+AFBGKH=360-A-AGE-AHF=360-A-(ADC+AED)-(ABC+AFB)=360-A-(ADC+ABC)- (AED+AFB)=360-A-180- (AED+AFB)=180-A- (180-A-ADC+
12、180-A-ABC)=180-A- 360-2A-(ADC+ABC)=180-A-180+A+180=90EGFH证法2:A、B、C、D四点共圆ECM=BAD又FGM=BAD+AEG=BAD+AEDFMG=ECM+DEG=ECM+AEDFGM=FMGFG=FM又AFH=BFHEGFH13、如图9, AB为圆的直径,AD、BC为圆的两条弦,且BD与AC相交于E。求证:ACAE+BDBE=AB2。证明:过点E作EFAB于F,则EFB=90,C=90EFB+C=180B、C、E、F四点共圆AEAC=AFABEFA=90,D=90EFA+D=90A、D、E、F四点共圆BEBD=BFAB+得AEAC+ BEBD= AFAB+ BFABAF+BF=ABAEAC+ BEBD=AB214、如图10,ABC内接于圆,P为BC上一点,PDAB于D,PEBC于E,PFAC于F。求证:D、E、F三点共线。证明:连接BP、CP、DE、EFBDP=BEP=90B、D、E、F四点共圆DEP+DBP=180CEP=90,CFP=90CEP+CFP=180P
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