4.5利用一元二次方程解决实际问题(2017年).doc

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1.（2017山东省潍坊市）2017山东潍坊，23，9分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）

（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大?

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少?

答案：

思路分析：

（1）矩形四角裁去的四个同样大小小正方形画成实线，内部的四个顶点用虚线顺次连接，即得裁剪示意图；设裁掉的正方形的边长为xcm，表示长方体底面的两边长，再利用面积公式构建一元二次方程求解；

（2）利用长不大于宽的五倍，构建一元一次不等式确定裁掉的正方形的边长x（cm）的取值范围，然后设总费用为w（元），根据题设条件列出w（元）与x（cm）的二次函数解析式，利用二次函数的最值解决该实际问题．

解：

（1）如图所示：

设裁掉的正方形的边长为xcm，由题意可得

（10－2x）（6－2x）＝12，即x2－8x＋12＝0，

解之得：

x1＝2或x2＝6（舍去）．

所以裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2．

（2）因为长不大于宽的五倍，所以10－2x≤5（6－2x），

所以0＜x≤2.5．

设总费用为w元，由题意可知：

w＝0.5×2x（16－4x）＋2（10－2x）（6－2x）

＝4x2－48x＋120＝4（x－6）2－24．

因为对称轴为x＝6，开口向上，所以当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，

所以当x＝2.5时，wmin＝25元．

所以当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低为25元．

方法：

对照从平面图形到立体图形的裁剪、竖折的变化过程，理解题意，是解决问题

（1）的关键．

注意：

容易忽略条件0＜x≤2.5，而误认为x＝6时总费用最少．

201710121145056097854.5利用一元二次方程解决实际问题应用题基础知识2017-10-12

2.（2017湖北省襄阳市）】．（6分）（2017•襄阳,19,6分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；

（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？

答案：

】．

考点AD：

一元二次方程的应用．

分析

（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意2013年创造利润250（1+x）万元人民币，2014年创造利润250（1+x）2万元人民币．根据题意得方程求解；

（2）根据该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率来解答．

解答解：

（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得

2（1+x）2=2.88，

解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：

这两年该企业年利润平均增长率为20%．

（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：

2.88（1+20%）=3.456，3.456＞3.4

答：

该企业2017年的利润能超过3.4亿元．

点评此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．

201710120835380009344.5利用一元二次方程解决实际问题应用题基础知识2017-10-12

3.（2017贵州省六盘水市）三角形的两边的夹角为且满足方程，则第三边长的长是（）

A. B. C. D.

答案：

201710111513485315154.5利用一元二次方程解决实际问题选择题基础知识2017-10-11

4.（2017重庆市綦江县）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．

（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？

（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．

答案：

考点AD：

一元二次方程的应用；C9：

一元一次不等式的应用．

分析

（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；

（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．

解答解：

（1）设该果农今年收获樱桃x千克，

根据题意得：

400﹣x≤7x，

解得：

x≥50，

答：

该果农今年收获樱桃至少50千克；

（2）由题意可得：

100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，

令m%=y，原方程可化为：

3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，

整理可得：

8y2﹣y=0

解得：

y1=0，y2=0.125

∴m1=0（舍去），m2=12.5

∴m2=12.5，

答：

m的值为12.5．

201709191600086402714.5利用一元二次方程解决实际问题应用题基础知识2017-9-19

5.（2017重庆市綦江县）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产。

（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？

（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值。

答案：

⑴设该果农今年收获樱桃千克

根据题意得，解得

⑵

令，原方程可化为

整理可得：

解得：

，

∴（舍去），

∴

201709191556209539524.5利用一元二次方程解决实际问题应用题基础知识2017-9-19

6.（2017四川省宜宾市）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是　　．

答案：

　50（1﹣x）2=32　．

考点AC：

由实际问题抽象出一元二次方程．

分析根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．

解答解：

由题意可得，

50（1﹣x）2=32，

故答案为：

50（1﹣x）2=32．

201709191409045151524.5利用一元二次方程解决实际问题填空题基础知识2017-9-19

7.（2017山东省烟台市）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元.

（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；

（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商店有不同的促销方案：

试问去哪个商场购买足球更优惠？

答案：

答案

（1）10%．

（2）去B商场购买足球更优惠．

试题解析：

（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，

根据题意得：

200×（1﹣x）2=162，

解得：

x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）．

答：

2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．

（2）100×≈90.91（个），

在A商城需要的费用为162×91=14742（元），

在B商城需要的费用为162×100×=14580（元）．

14742＞14580．

答：

去B商场购买足球更优惠．

考点：

一元二次方程的应用．

201709191212506560214.5利用一元二次方程解决实际问题应用题基础知识2017-9-19

8.（2017江苏省盐城市）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

答案：

考点AD：

一元二次方程的应用；B7：

分式方程的应用．

分析

（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

解答解：

（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，

根据题意得：

=，

解得：

x=35，

经检验，x=35是原方程的解．

答：

2014年这种礼盒的进价是35元/盒．

（2）设年增长率为m，

2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．

根据题意得：

（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，

解得：

a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：

年增长率为20%．

201709181610577187834.5利用一元二次方程解决实际问题应用题基础知识2017-9-18

9.（2017湖南省常德市）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．

请问：

（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？

（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？

答案：

答案

（1）10%；

（2）甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．

试题解析：

（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，