；
当a＝b>0时，e＝
（亦称为等轴双曲线）；
当b>a>0时，e>
.
3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：
当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
双曲线的定义及标准方程
典题导入
[例1]
（1）（2012·湖南高考）已知双曲线C：
－
＝1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
A.
－
＝1 B.
－
＝1
C.
－
＝1D.
－
＝1
（2）（2012·辽宁高考）已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
[自主解答]
（1）∵
－
＝1的焦距为10，
∴c＝5＝
.①
又双曲线渐近线方程为y＝±
x，且P（2,1）在渐近线上，∴
＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2
，b＝
.
（2）不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，
所以（2
）2＝|PF1|2＋|PF2|2，
又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以（|PF1|－|PF2|）2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，
则（|PF1|＋|PF2|）2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2
.
[答案]
（1）A
（2）2
由题悟法
1．应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．
2．双曲线方程的求法
（1）若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn<0）．
（2）与双曲线
－
＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为
－
＝λ（λ≠0）．
（3）若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．
以题试法
1．（2012·大连模拟）设P是双曲线
－
＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝（ ）
A．1B．17
C．1或17D．以上答案均不对
解析：
选B 由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.
双曲线的几何性质
典题导入
[例2] （2012·浙江高考）如图，F1，F2分别是双曲线C：
－
＝1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F1（－c,0），F2（c,0）．
∵B（0，b），∴F1B所在的直线为－
＋
＝1.①
双曲线渐近线为y＝±
x，
由
得Q
.
由
得P
，
∴PQ的中点坐标为
.
由a2＋b2＝c2得，PQ的中点坐标可化为
.
直线F1B的斜率为k＝
，
∴PQ的垂直平分线为y－
＝－
.
令y＝0，得x＝
＋c，
∴M
，∴|F2M|＝
.
由|MF2|＝|F1F2|得
＝
＝2c，
即3a2＝2c2，∴e2＝
，∴e＝
.
[答案] B
若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α，且
＜α＜
”，求双曲线的离心率的取值范围．
解：
根据题意知1＜
＜
，
即1＜
＜
.所以
＜e＜2.
即离心率的取值范围为（
，2）．
由题悟法
1．已知渐近线方程y＝mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m＝
（m＞0）或m＝
，故离心率有两种可能．
2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．
以题试法
2．
（1）（2012·福建高考）已知双曲线
－
＝1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选C 由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝
＝
.
（2）（2012·大同模拟）已知双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±
xB．y＝±
x
C．y＝±
xD．y＝±
x
解析：
选B 设点P（m，n），依题意得，点F（2,0），由点P在抛物线y2＝8x上，且|PF|＝5得
由此解得m＝3，n2＝24.于是有
由此解得a2＝1，b2＝3，该双曲线的渐近线方程为y＝±
x＝±
x.
直线与双曲线的位置关系
典题导入
[例3] （2012·南昌模拟）
已知双曲线
－
＝1（b>a>0），O为坐标原点，离心率e＝2，点M（
，
）在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
·
＝0.求
＋
的值．
[自主解答]
（1）∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
双曲线方程为
－
＝1，即3x2－y2＝3a2.
∵点M（
，
）在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.
∴所求双曲线的方程为
－
＝1.
（2）设直线OP的方程为y＝kx（k≠0），联立
－
＝1，得
∴|OP|2＝x2＋y2＝
.
则OQ的方程为y＝－
x，
同理有|OQ|2＝
＝
，
∴
＋
＝
＝
＝
.
由题悟法
1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x（或y）的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．
2．与中点有关的问题常用点差法．
[注意] 根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．
以题试法
3．（2012·长春模拟）F1，F2分别为双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|
|＝3|
|，则此双曲线的渐近线方程为________________．
解析：
由双曲线的性质可得|
|＝b，则|
|＝3b.在△MF1O中，|
|＝a，|
|＝c，cos∠F1OM＝－
，由余弦定理可知
＝－
，又c2＝a2＋b2，所以a2＝2b2，即
＝
，故此双曲线的渐近线方程为y＝±
x.
答案：
y＝±
x
1．（2013·唐山模拟）已知双曲线的渐近线为y＝±
x，焦点坐标为（－4,0），（4,0），则双曲线方程为（ ）
A.
－
＝1 B.
－
＝1
C.
－
＝1D.
－
＝1
解析：
选A 由题意可设双曲线方程为
－
＝1（a＞0，b＞0），由已知条件可得
即
解得
故双曲线方程为
－
＝1.
2．若双曲线过点（m，n）（m＞n＞0），且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点（ ）
A．在x轴上B．在y轴上
C．在x轴或y轴上D．无法判断是否在坐标轴上
解析：
选A ∵m＞n＞0，∴点（m，n）在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．
3．（2012·华南师大附中模拟）已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2＋
＝1的离心率为（ ）
A.
或
B.
C.
D.
或
解析：
选D ∵m2＝16，∴m＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m＝4时，e＝
＝
＝
.当m＝－4时，e＝
＝
＝
.
4.（2012·浙江高考）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是
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