中考数学中的折叠问题.doc

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中考数学中的折叠问题

为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。

几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。

处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。

所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。

即对应角相等，对应线段相等。

有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。

这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。

例1（成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在或的延长线上，那么∠EMF的度数是（）

A、85°B、90°C、95°D、100°

分析与解答：

本题考查了有关折叠的知识。

由题意可知：

∠BME=∠，∠CMF=∠，°，又与重合，

则∠EMF=∠+∠=°=90°，故选B。

例2（武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠，折痕为AF,点E、D分别落在、。

已知∠AFC=76°，则等于（）

A、31°B、28°C、24°D、22°

分析与解答：

本题同样是考查了折叠的知识。

根据题意得：

180°-76°=104°，则=104°-76°=28°，故选B。

G

E

F

例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点的位置，若OB=，，则点的坐标为。

分析与解答：

本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。

例4（浙江省实验区中考题）现有一张长和宽的比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不同的操作，分别将折痕画在矩形中（规定：

一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。

如图乙和图甲是相同的操作）。

例5（南京市中考题）已知矩形纸片，AB=2，AD=1。

将纸片折叠后，使顶点A与边CD上的点E重合。

（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF=，求DE的长；

（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。

M

N

O

分析与解答：

（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°，根据轴对称的性质，得EF=AF=。

∴DF=AD-AF=，在Rt△DEF中,由勾股定理得。

（2）设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO=EO，取AD的中点M，连接MO，则MO=DE，MO∥DC。

设，则，在矩形ABCD中，

∠C=∠D=90°∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心。

延长MO交BC于

点N，则ON∥CD，∴∠CNM=180°-∠C=90°∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形。

∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=∵△AED的外接圆与BC相切，∴ON是△AED的外接圆的半径。

∴OE=ON=，AE=2ON=4-。

在Rt△AED中，∴解这个方程，得。

∴，。

根据轴对称的性质，得AE⊥FG，∴∠FOE=∠D=90°。

又∵∠FEO=∠AED，∴△FEO∽△AED，∴，∴可得又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO∴△FEO≌△GAO

∴FO=GO∴，∴折痕FG的长是。

中考实战一:

一、选择题

1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（　　）

A．4　　　　　B．3

C．4　　　　　D．8

2.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）

A．6个　　　　　　　B．5个　　　　　　　

C．4个　　　　　　　D．3个

3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（　　）

Ａ．20　　　　　　　Ｂ．22　　　　　　　Ｃ．24　　　　　　　Ｄ．30

4.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？

动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：

（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；

（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE=（　）

A．60°　　B．67.5°　　C．72°　　D．75°

5.（绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图

（1）～（4））.

从图中可知，小敏画平行线的依据有（　）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；

③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．

A．①②　　　　　　　B．②③　　　　　　　C．③④　　　　　　　D．①④

6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）

A．34cm2　　　　　　　B．36cm2　　　　　　　

C．38cm2　　　　　D．40cm2

二、填空题

7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠BEG　　　　　°．

8.（苏州市）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度．

三、解答题

9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

在

（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？

若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

10.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.

求证：

△PBE∽△QAB；

你认为△PBE和△BAE相似吗？

如果相似给出证明，如不相似请说明理由；

如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？

为什么？

11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．

（1）求证：

EF∥BD；

（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长．

12.（烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：

如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：

为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围．

（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）．

13.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．

（1）求证：

△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？

证明你的结论．

14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：

第一步：

对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；

第二步：

再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.

请解答以下问题：

（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？

请证明你的结论．

（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合

（1）中结论的三角形纸片BMP？

（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？

为什么？

15.（邵阳市）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图②）．

（1）在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD．（画图工具不限，不要求写画法）

（2）请你找出完成问题

（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）

16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.

（１）求证：

△PBE∽△QAB；

（２）你认为△PBE和△BAE相似吗？

如果相似给出证明，如补相似请说明理由；

（３）如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？

为什么？

17.（临安市）如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.

（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；

（2）当A′E//x轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；

（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？

若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.

18.（南宁市）如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x（0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．

（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式；

（2）当x取何值时，y