中考数学中的折叠问题.doc

1、中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM、FM为折痕，折叠后的C点落在或的延长线上，那么EMF的度数是（ ）A、85 B、90 C、95 D、100分析与解答：本题考查了有关折叠

2、的知识。由题意可知：BME=，CMF=，又与重合， 则EMF=+= 90，故选B。例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E、D分别落在、。已知AFC=76，则等于（ ）A、31 B、28 C、24 D、22分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：180-76=104，则=104-76=28，故选B。GEF例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点的位置，若OB=，则点的坐标为 。分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的

3、能力。 例4（浙江省实验区中考题）现有一张长和宽的比为21的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不同的操作，分别将折痕画在矩形中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。例5（南京市中考题）已知矩形纸片，AB=2，AD=1。将纸片折叠后，使顶点A与边CD上的点E重合。(1) 如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF=，求DE的长；(2) 如果折痕

4、FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2），AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。MNO分析与解答：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，D=90，根据轴对称的性质，得EF=AF=。 DF=AD-AF= ，在RtDEF中,由勾股定理得 。（2）设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO=EO， 取AD的中点M，连接MO，则MO=DE，MODC。设，则 ，在矩形ABCD中，C=D=90 AE为AED的外接圆的直径， O为圆心。延长MO交BC 于点N，则ONCD，CNM=180-C=90ONBC，四边形MNCD是矩形。MN=CD=AB=2，ON=MN-MO= AED的外

5、接圆与BC相切， ON是AED的外接圆的半径。 OE=ON=，AE=2ON=4-。在RtAED中， 解这个方程，得。，。 根据轴对称的性质，得AEFG， FOE=D=90。 又 FEO=AED，FEOAED， 可得 又ABCD， EFO=AGO，FEO=GAO FEOGAO FO=GO ， 折痕FG的长是。 中考实战一:一、选择题1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若CD6，则AF等于（）A4 B3C4 D82.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，若DBC22.5，则在不添加任

6、何辅助线的情况下，图中45的角（虚线也视为角的边）有（ ）A6个 B5个 C4个 D3个3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若FPH90，PF8，PH6，则矩形ABCD的边BC长为（）20 22 24 304.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F则AFE =（

7、）A60 B67.5 C72 D755. （绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)(4) ）.从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行A B C D 6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A34cm2 B36 cm2 C38 cm2 D40 cm2二、填空题7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落

8、在C，D的位置上，EC交AD于点G已知EFG58，那么BEG 8. （苏州市）如图，将纸片ABC沿DE折叠，点A落在点A处，已知1+2=100，则A的大小等于_度三、解答题9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；在(2)的情况下，

9、在该抛物线上是否存在点Q，使PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标10. （济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.求证：PBEQAB；你认为PBE和BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，ABCD，ADBC翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF已知CEAB（1）求证：EFBD；（2）若AB7，CD3，求线段EF的长12. （烟台市）

10、生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：如果由信纸折成的长方形纸条(图)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：为了保证能折成图的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围(2)如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D处，折痕为EF（1）求证：ABEADF；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个

11、数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM为y=kx，当MBC=60时，求k的值.此时，将ABM沿BM折叠，点A是否落在EF上（E、

12、F分别为AB、CD中点）？为什么？15.（邵阳市）如图，ABC中，ACB=90，将ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图）（1）在图中画出折痕所在的直线l设直线l与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD（画图工具不限，不要求写画法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形（不要求证明）16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.（）求证：PBEQAB；（）你认为PBE和BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；（）如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？

13、为什么？17.（临安市）如图，OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A，折痕为EF.（1）当AE/x轴时，求点A和E的坐标；（2）当AE/x轴，且抛物线经过点A和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使AEF成为直角三角形？若能，请求出此时点A的坐标；若不能，请你说明理由.18.（南宁市）如图，在锐角ABC中，BC=9，AHBC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DEBC，交AC于点E设ADE的高AF为x(0x6），以DE为折线将ADE翻折，所得的ADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A落在AH所在的直线上）（1）分别求出当0x3与3x6时，y与x的函数关系式；（2）当x取何值时，y