特殊平行四边形相关计算与证明(培优专用)Word文件下载.doc
《特殊平行四边形相关计算与证明(培优专用)Word文件下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特殊平行四边形相关计算与证明(培优专用)Word文件下载.doc（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
判定
·
有三个角是直角;
是平行四边形且有一个角是直角;
是平行四边形且两条对角线相等.
四边相等的四边形；
是平行四边形且有一组邻边相等；
是平行四边形且两条对角线互相垂直。
是矩形，且有一组邻边相等；
是菱形，且有一个角是直角。
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形
专题一：
特殊平行四边形的有关证明
一.矩形
矩形定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形或正方形）.矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；
矩形的性质:
（具有平行四边形的一切特征）
性质1:
矩形的四个角都是直角．
性质2:
矩形的对角线相等且互相平分．
如右图，在矩形ABCD中，可以得到
直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的判定方法：
方法1：
对角钱相等的平行四边形是矩形．
方法2：
有三个角是直角的四边形是矩形．
方法3：
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
方法4：
对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
例1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，AB=2.5，则AC的长为。
例2
BFC
AHD
EG
例2.如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.
例3.如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（）
A．1.6 B．2.5C．3 D．3.4
例4.已知：
如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
例5已知：
如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：
CE＝EF．
例6．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
例7、如图，在ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：
AB=CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
二．菱形
菱形定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的性质
性质1菱形的四条边都相等；
性质2菱形的对角线互相平分，且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
方法1:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．方法2:
四边都相等的四边形是菱形．
例1.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（）
A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2
例2.若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）
A16B8C4D1
例3如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_________cm.
例4.菱形ABCD中，∠B＝60°
，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）
A．B．C．D．
例5
已知：
如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：
∠AFD=∠CBE．
例6已知：
如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
四边形AFCE是菱形．
例7、如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：
四边形AFCE是菱形.
例8、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
三．正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
②有一个角是直角的平行四边形（矩形）
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；
因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：
对边平行，四边相等；
角：
四个角都是直角；
对角线：
对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
正方形的判定方法：
1）有一个角是直角的菱形是正方形；
2）有一组邻边相等的矩形是正方形．
例1.如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，B
C
E
A
D
F
折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ;
例2.如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BFN
M
B
题3
、DE，则图中阴影部分的面积是cm2．
例3如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，
点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
例4已知：
如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
OE=OF．
如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
四边形PQMN是正方形．
例6、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
①PE=PD；
②PE⊥PD；
（2）设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
例7：
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
梯形ABCD是等腰梯形．
（2）若∠BDC＝30°
，AD＝5，求CD的长．
四边形动点专题：
证明与计算
与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。
例1.如图l，在四边形A8CD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．
（温馨提示：
在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，可证得HE=HF，从而∠HFE=∠HEF，再利用平行线的性质，可证得∠BME=∠CNE．）
问题一：
如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
问题二：
如图3，在△ABC中，AC>
AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，
若∠EFC=600，连结GD，判断△AGD的形状并证明．A
N
O
H
1
2
图1
图2
图3
G
例2.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º
，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；
若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论是否仍然成立？
通过观察你还能得出什么结论？
图②
图①
图③
6
升级会员 