高中数学第2章圆锥曲线与方程222椭圆的几何性质二学案苏教版选修21Word格式文档下载.docx

高中数学第2章圆锥曲线与方程222椭圆的几何性质二学案苏教版选修21Word格式文档下载.docx

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Δ>

相切

一解

Δ＝0

相离

无解

Δ<

梳理　

（1）判断直线和椭圆位置关系的方法：

将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>

0，则直线和椭圆相交；

若Δ＝0，则直线和椭圆相切；

若Δ<

0，则直线和椭圆相离．

（2）根与系数的关系及弦长公式：

设直线l：

y＝kx＋m（k≠0，m为常数）与椭圆

0）相交，两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．AB＝

·

，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．

1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．（√）

2．直线

－y＝1被椭圆

＋y2＝1截得的弦长为

.（√）

3．已知椭圆

＝1（a＞b＞0）与点P（b,0），过点P可作出该椭圆的一条切线．（×

）

4．直线y＝k（x－a）与椭圆

＝1的位置关系是相交．（√）

类型一　点、直线与椭圆位置关系的判断

例1　已知点P（k,1），椭圆

＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．

答案　

∪

解析　依题意得，

1，

解得k<

－

或k>

.

引申探究

若将本例中P点坐标改为“P（1，k）”呢？

1，解得k2>

，

即k<

反思与感悟　处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．

跟踪训练1　已知点（1,2）在椭圆

＝1（n>

m>

0）上，则m＋n的最小值为________．

答案　9

＝1，

而m＋n＝（m＋n）

＝1＋

＋4

＝5＋

≥5＋2

＝9，

（当且仅当n＝2m时等号成立）

故m＋n的最小值为9.

例2　对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆

＋y2＝1的位置关系．

考点　直线与椭圆的位置关系

题点　直线与椭圆的公共点个数问题

解　由

消去y，

得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，

Δ＝64m2－4×

5×

（4m2－4）＝16×

（5－m2）．

当－

＜m＜

时，Δ＞0，直线与椭圆相交；

当m＝－

或m＝

时，Δ＝0，直线与椭圆相切；

当m＜－

或m＞

时，Δ＜0，直线与椭圆相离．

反思与感悟　判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．

跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，

）且斜率为k的直线l与椭圆

＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．

解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋

代入椭圆方程得

＋（kx＋

）2＝1，

整理得

x2＋2

kx＋1＝0，

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4

＝4k2－2＞0，解得k＜－

或k＞

所以k的取值范围为

类型二　弦长及中点问题

例3　已知椭圆

＝1的弦AB的中点M的坐标为（2,1），求直线AB的方程．

解　方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法

由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y－1＝k（x－2）．

将其代入椭圆方程并整理，

得（4k2＋1）x2－8（2k2－k）x＋4（2k－1）2－16＝0.（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两根，

于是x1＋x2＝

又M为线段AB的中点，

∴

＝

＝2，解得k＝－

经检验，当k＝－

时，（*）式的判别式Δ＞0.

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

方法二　点差法

设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2.

∵M（2,1）为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.

又A，B两点在椭圆上，则x

＋4y

＝16，x

＝16，

两式相减，得（x

－x

）＋4（y

－y

）＝0，

于是（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）·

（y1－y2）＝0.

＝－

即直线AB的斜率kAB＝－

方法三　对称点法（或共线法）

设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），

由于点M（2,1）为线段AB的中点，

则另一个交点为B（4－x,2－y）．

∵A，B两点都在椭圆上，∴

①－②，得x＋2y－4＝0.

即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

在本例中求弦AB的长．

解　由上例得直线AB方程为x＋2y－4＝0.

联立方程组

消去y并整理，得

x（x－4）＝0，得x＝0或x＝4，

得两交点坐标A（0,2），B（4,0），

故AB＝

＝2

反思与感悟　直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．

跟踪训练3　已知椭圆

＝1和点P（4,2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．

（1）当直线l的斜率为

时，求线段AB的长度；

（2）当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程．

解　

（1）由已知可得直线l的方程为y－2＝

（x－4），

即y＝

x.由

消去y可得x2－18＝0，

若设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.

于是AB＝

×

6

＝3

所以线段AB的长度为3

（2）设A（x3，y3），B（x4，y4），

则有

两式相减得

＝0，

整理得kAB＝

由于P（4,2）是AB的中点，

∴x3＋x4＝8，y3＋y4＝4，

于是kAB＝－

于是直线l的方程为y－2＝－

即x＋2y－8＝0.

类型三　椭圆中的最值（或范围）问题

例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．

解　

（1）由

得5x2＋2mx＋m2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝4m2－20（m2－1）≥0，解得－

≤m≤

（2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

由

（1）知：

5x2＋2mx＋m2－1＝0，

所以x1＋x2＝－

，x1x2＝

（m2－1），

所以AB＝

所以当m＝0时，AB最大，此时直线方程为y＝x.

反思与感悟　求最值问题的基本策略

（1）求解形如PA＋PB的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时PA＋PB取得最值，即应用“化曲为直”的思想．

（2）求解形如PA的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．

（3）求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．

（4）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．

跟踪训练4　已知动点P（x，y）在椭圆

＝1上，若点A的坐标为（3,0），|

|＝1，且

＝0，求|

|的最小值．

解　由|

|＝1，A（3,0），知点M在以A（3,0）为圆心，1为半径的圆上运动，

∵

＝0且P在椭圆上运动，

∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连结PA（如图），

则|

|＝

∵由椭圆方程知a＝5，c＝3，

∴当|

|min＝a－c＝5－3＝2时，|

|min＝

1．点A（a,1）在椭圆

＝1的内部，则a的取值范围是________．

答案　（－

解析　由题意知

1，解得－

a<

2．已知直线l：

x＋y－3＝0，椭圆

＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．

答案　相离

解析　把x＋y－3＝0代入

＋y2＝1，

得

＋（3－x）2＝1，即5x2－24x＋32＝0.

∵Δ＝（－24）2－4×

32＝－64<

0,∴直线与椭圆相离．

3．已知以F1（－2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线x＋

y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．

答案　2

解析　由题意可设椭圆的方程为

2），与直线方程x＋

y＋4＝0联立，得4（a2－3）y2＋8

（a2－4）y＋（16－a2）（a2－4）＝0，由Δ＝0，得a＝

，所以椭圆的长轴长为2

4．若直线y＝kx＋b与椭圆

＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________．

答案　（－2,2）

解析　∵直线y＝kx＋b恒过定点（0，b），且直线y＝kx＋b与椭圆

＝1恒有两个公共点，∴点（0，b）在椭圆

＝1内部，∴－2<

b<

2.

5．直线l：

y＝kx＋1与椭圆

＋y2＝1交于M，N两点，且MN＝

，求直线l的方程．

解　设直线l与椭圆的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），

由

消去y并化简，

得（1＋2k2）x2＋4kx＝0，

，x1x2＝0.

由MN＝

，得（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝

所以（1＋k2）（x1－x2）2＝

所以（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝

即（1＋k2）

2＝

化简得k4＋k2－2＝0，

所以k2＝1，所以k＝±

所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.

1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：

（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．

（2）当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则有AB＝

或AB＝

（k为直线斜率）．

（3）如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．

2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：

（1）根与系数的关系法：

联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．

（2）点差法：

利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．

（3）共线法：

利用中点坐标公式，如果弦的中点为P（x0，y0），设其一交点为A（x，y），

则另一交点为B（2x0－x,2y0－y），