高中数学第2章圆锥曲线与方程222椭圆的几何性质二学案苏教版选修21Word格式文档下载.docx

1、相切一解0相离无解0，则直线和椭圆相交；若0，则直线和椭圆相切；若0，则直线和椭圆相离（2）根与系数的关系及弦长公式：设直线l：ykxm（k0，m为常数）与椭圆0）相交，两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长AB，其中x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到1直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切（）2直线y1被椭圆y21截得的弦长为.（）3已知椭圆1（ab0）与点P（b,0），过点P可作出该椭圆的一条切线（）4直线yk（xa）与椭圆1的位置关系是相交（）类型一点、直线与椭圆位置关系的判断例1已知点P（k,1），椭圆1

2、，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_答案解析依题意得，1，解得k.引申探究若将本例中P点坐标改为“P（1，k）”呢？1，解得k2，即km0）上，则mn的最小值为_答案91，而mn（mn） 145529，（当且仅当n2m时等号成立）故mn的最小值为9.例2对不同的实数m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解由消去y，得5x28mx4m240，64m245（4m24）16（5m2）当m时，0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，直线与椭圆相切；当m或m时，0，直线与椭圆相离反思与感悟判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式是解题关键跟踪训练2

3、在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围解由已知条件知直线l的方程为ykx代入椭圆方程得（kx）21，整理得x22kx10，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k220，解得k或k所以k的取值范围为类型二弦长及中点问题例3已知椭圆1的弦AB的中点M的坐标为（2,1），求直线AB的方程解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y1k（x2）将其代入椭圆方程并整理，得（4k21）x28（2k2k）x4（2k1）2160.（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则

4、x1，x2是上述方程的两根，于是x1x2又M为线段AB的中点，2，解得k经检验，当k时，（*）式的判别式0.故所求直线的方程为x2y40.方法二点差法设A（x1，y1），B（x2，y2），x1x2.M（2,1）为线段AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则x4y16，x16，两式相减，得（xx）4（yy）0，于是（x1x2）（x1x2）4（y1y2）（y1y2）0.即直线AB的斜率kAB方法三对称点法（或共线法）设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于点M（2,1）为线段AB的中点，则另一个交点为B（4x,2y）A，B两点都在椭圆上，得x2y40.即点A的坐标满足这个

5、方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40.在本例中求弦AB的长解由上例得直线AB方程为x2y40.联立方程组消去y并整理，得x（x4）0，得x0或x4，得两交点坐标A（0,2），B（4,0），故AB2反思与感悟直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式.解决弦长问题，一般应用弦长公式而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程跟踪训练3已知椭圆1和点P（4,2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点（1）当直线l的斜率为时，求线段AB的

6、长度；（2）当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程解（1）由已知可得直线l的方程为y2（x4），即yx.由消去y可得x2180，若设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1x20，x1x218.于是AB63所以线段AB的长度为3（2）设A（x3，y3），B（x4，y4），则有两式相减得0，整理得kAB由于P（4,2）是AB的中点，x3x48，y3y44，于是kAB于是直线l的方程为y2即x2y80.类型三椭圆中的最值（或范围）问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解（1）由得5x22mxm210，因

7、为直线与椭圆有公共点，所以4m220（m21）0，解得m（2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由（1）知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2（m21），所以AB所以当m0时，AB最大，此时直线方程为yx.反思与感悟求最值问题的基本策略（1）求解形如PAPB的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时PAPB取得最值，即应用“化曲为直”的思想（2）求解形如PA的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围（3）求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决（4）利用不等式，尤其是基本不等式求最值

8、或取值范围跟踪训练4已知动点P（x，y）在椭圆1上，若点A的坐标为（3,0），|1，且0，求|的最小值解由|1，A（3,0），知点M在以A（3,0）为圆心，1为半径的圆上运动，0且P在椭圆上运动，PMAM，即PM为A的切线，连结PA（如图），则|由椭圆方程知a5，c3，当|minac532时，|min1点A（a,1）在椭圆1的内部，则a的取值范围是_答案（解析由题意知1，解得a2已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是_答案相离解析把xy30代入y21，得（3x）21，即5x224x320.（24）2432640, 直线与椭圆相离3已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的

9、椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_答案2解析由题意可设椭圆的方程为2），与直线方程xy40联立，得4（a23）y28（a24）y（16a2）（a24）0，由0，得a，所以椭圆的长轴长为24若直线ykxb与椭圆1恒有两个公共点，则b的取值范围为_答案（2,2）解析直线ykxb恒过定点（0，b），且直线ykxb与椭圆1恒有两个公共点，点（0，b）在椭圆1内部，2b2.5直线l：ykx1与椭圆y21交于M，N两点，且MN，求直线l的方程解设直线l与椭圆的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），由消去y并化简，得（12k2）x24kx0，x1x20.由MN，得（x1x2）2（y

10、1y2）2所以（1k2）（x1x2）2所以（1k2）（x1x2）24x1x2即（1k2） 2化简得k4k220，所以k21，所以k所以所求直线l的方程是yx1或yx1.1直线与椭圆相交弦长的有关问题：（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长（2）当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则有AB或AB（k为直线斜率）（3）如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况2解决椭圆中点弦问题的三种方法：（1）根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决（2）点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系（3）共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P（x0，y0），设其一交点为A（x，y），则另一交点为B（2x0x,2y0y），