小学六年级数学应用题分类答案及详解.docx
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小学六年级数学应用题分类答案及详解
小学六年级数学应用题分类（答案及详解）
公约公倍问题
需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。
最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。
例1、一硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。
问正方形的边长是多少?
解：
硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60和56的最大公约数是4。
答：
正方形的边长是4厘米。
例2、甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇?
解：
要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。
因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。
36、30、48的最小公倍数是720。
答：
至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。
例3、一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树?
解：
相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。
所以，至少应植树（60+72+96+84）÷12=26（棵）
答：
至少要植26棵树。
例4、一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。
又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。
解：
如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。
因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为
60×3+1=181（个）
答：
棋子的总数是181个。
行船问题
行船问题也就是与航行有关的问题。
解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速
（顺水速度-逆水速度）÷2=水速
顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2
逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2
【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1、一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时?
解：
由条件知，顺水速=船速+水速=320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320÷8-15=25（千米）
船的逆水速为25-15=10（千米）
船逆水行这段路程的时间为320÷10=32（小时）
答：
这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2、甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间?
解：
由题意得甲船速+水速=360÷10=36
甲船速-水速=360÷18=20
可见（36-20）相当于水速的2倍，
所以，水速为每小时（36-20）÷2=8（千米）
又因为，乙船速-水速=360÷15，
所以，乙船速为360÷15+8=32（千米）
乙船顺水速为32+8=40（千米）
所以，乙船顺水航行360千米需要
360÷40=9（小时）
答：
乙船返回原地需要9小时。
例3、一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时?
解：
这道题可以按照流水问题来解答。
（1）两城相距多少千米?
（576-24）×3=1656（千米）
（2）顺风飞回需要多少小时?
1656÷（576+24）=2。
76（小时）
列成综合算式[（576-24）×3]÷（576+24）=2.76（小时）
答：
飞机顺风飞回需要2.76小时。
工程问题
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作时间=总工作量÷（甲工作效率+乙工作效率）
【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1、一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成?
解：
题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。
由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;
乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15;
两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10+1/15）。
由此可以列出算式：
1÷（1/10+1/15）=1÷1/6=6（天）
答：
两队合做需要6天完成。
例2、一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。
现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?
解：
设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6-1/8），二人合做时每小时完成（1/6+1/8）。
因为二人合做需要[1÷（1/6+1/8）]小时，这个时间，甲比乙多做24个零件，所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件?
24÷[1÷（1/6+1/8）]=7（个）
（2）这批零件共有多少个?
7÷（1/6-1/8）=168（个）
答：
这批零件共有168个。
解二：
上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7
所以，这批零件共有24÷1/7=168（个）
例3、一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。
现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?
解：
必须先求出各人每小时的工作效率。
如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
60÷12=560÷10=660÷15=4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60-5×2）÷（6+4）=5（小时）
答：
还需要5小时才能完成。
例4、一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。
当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?
解：
注（排）水问题是一类特殊的工程问题。
往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间水的流量就是工作效率。
要2小时将水池注满，即要使2小时的进水量与排水量之差刚好是一池水。
为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。
只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为（1×2×15-1×4×5）÷（15-5）=1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。
由此可知
一池水的总工作量为1×4×5-1×5=15
又因为在2小时，每个进水管的注水量为1×2，
所以，2小时注满一池水
至少需要多少个进水管?
（15+1×2）÷（1×2）=8。
5≈9（个）
答：
至少需要9个进水管。
正反比例问题
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。
许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：
把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1、修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米?
解：
由条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度=1∶（1+3）=1∶4=3∶12
现已修长度∶总长度=1∶（1+2）=1∶3=4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4-3）份，从而知公路总长为300÷（4-3）×12=3600（米）
答：
这条公路总长3600米。
例2、晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题?
解：
做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X
28X=91×4X=91×4÷28X=13
答：
91分钟可以做13道应用题。
例3、亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完?
解：
书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完，就有24∶36=X∶15
36X=24×15X=10
答：
10天就可以看完。
按比例分配问题
所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。
这类题的已知条件一般有两种形式：
一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。
总份数=比的前后项之和
【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
例1、学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?
解：
总份数为47+48+45=140
一班植树560×47/140=188（棵）
二班植树560×48/140=192（棵）
三班植树560×45/140=180（棵）
答：
一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例2、用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。
三条边的长各是多少厘米?
解：
3+4+5=1260×3/12=15（厘米）
60×4/12=20（厘米）
60×5/12=25（厘米）
答：
三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
例3、从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
解：
如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。
如果用按比例分配的方法解，则很容易得到
1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2
9+6+2=1717×9/17=9
17×6/17=617×2/17=2
答：
大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。
方阵问题
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数=（每边人数-1）×4
每边人数=四周人数÷4+1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：
总人数=每边人数×每边人数
空心方阵：
总人数=（外边人数）?
-（边人数）?
边人数=外边人数-层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数=（每边人数-层数）×层数×4
【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1、在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?
解：
22×22=484（人）
答：
参加体操表演的同学一共有484人。
例2、有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解：
10-（10-3×2）=84（人）
答：
全方阵84人。
例3、有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最层人数是28人，这队学生共多少人?
解：
（1）中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14（人）
（2）中空方阵层每边人数=28÷4-1=6（人）
（3）中空方阵的总人数=14×14-6×6=160（人）
答：
这队学生共160人。
例4、一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个?
解：
（1）纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数=（13+1）÷2=7（只）
（3）原有棋子数=7×7-9=40（只）
答：
棋子有40只。
例5、有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。
这个树林一共有多少棵树?
解：
第一种方法：
1+2+3+4+5=15（棵）
第二种方法：
（5+1）×5÷2=15（棵）
答：
这个三角形树林一共有15棵树。
追及问题
两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之，后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】
追及时间=追及路程÷（快速-慢速）
追及路程=（快速-慢速）×追及时间
【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1、好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?
解：
（1）劣马先走12天能走多少千米?
75×12=900（千米）
（2）好马几天追上劣马?
900÷（120-75）=20（天）
列成综合算式75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）
答：
好马20天能追上劣马。
例2、小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解：
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40×（500÷200）]秒，
所以小亮的速度是（500-200）÷[40×（500÷200）]=300÷100=3（米）
答：
小亮的速度是每秒3米。
例3、我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。
已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人?
解：
敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22-16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是[10×（22-6）]千米，甲乙两地相距60千米。
由此推知
追及时间=[10×（22-6）+60]÷（30-10）=220÷20=11（小时）
答：
解放军在11小时后可以追上敌人。
例4、一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
解：
这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。
从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为16×2÷（48-40）=4（小时）
所以两站间的距离为（48+40）×4=352（千米）
列成综合算式（48+40）×[16×2÷（48-40）]=88×4=352（千米）
答：
甲乙两站的距离是352千米。
例5、兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。
哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。
问他们家离学校有多远?
解：
要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。
从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90-60）米，
那么，二人从家出走到相遇所用时间为180×2÷（90-60）=12（分钟）
家离学校的距离为90×12-180=900（米）
答：
家离学校有900米远。
例6、亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。
后来算了一下，如果亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。
求亮跑步的速度。
解：
手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10-5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10-5）分钟。
如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用[9-（10-5）]分钟。
所以步行1千米所用时间为1÷[9-（10-5）]=0.25（小时）=15（分钟）
跑步1千米所用时间为15-[9-（10-5）]=11（分钟）
跑步速度为每小时1÷11/60=5.5（千米）
答：
亮跑步速度为每小时5.5千米。
倍比问题
有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】
总量÷一个数量=倍数
另一个数量×倍数=另一总量
【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例1、100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?
解：
（1）3700千克是100千克的多少倍?
3700÷100=37（倍）
（2）可以榨油多少千克?
40×37=1480（千克）
列成综合算式40×（3700÷100）=1480（千克）
答：
可以榨油1480千克。
例2、今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵?
解：
（1）48000名是300名的多少倍?
48000÷300=160（倍）
（2）共植树多少棵?
400×160=64000（棵）
列成综合算式400×（48000÷300）=64000（棵）
答：
全县48000名师生共植树64000棵。
例3、凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?
全县16000亩果园共收入多少元?
解：
（1）800亩是4亩的几倍?
800÷4=200（倍）
（2）800亩收入多少元?
11111×200=2222200（元）
（3）16000亩是800亩的几倍?
16000÷800=20（倍）
（4）16000亩收入多少元?
2222200×20=44444000（元）
答：
全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。
溶液浓度问题
在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。
这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。
例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。
溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】
溶液=溶剂+溶质
浓度=溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例1、爷爷有16%的糖水50克，
（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克?
（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克?
解：
（1）需要加水多少克?
50×16%÷10%-50=30（克）
（2）需要加糖多少克?
50×（1-16%）÷（1-30%）-50=10（克）
答：
（1）需要加水30克，
（2）需要加糖10克。
例2、要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克?
解：
假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出
600×（30%-25%）=30（克）
这是因为30%的糖水多用了。
于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。
这样，每“换掉”100克，就会减少糖100×（30%-15%）=15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100×（30÷15）=200（克）
由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液600-200=400（克）
答：
需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
最值问题
科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。
这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。
例1、在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟?
解：
先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。
再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。
这样做，用的时间最少，为9分钟。
答：
最少需要9分钟。
例2、在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。
现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少?
解：
我们采用尝试比较的方法来解答。
集中到1号场总费用为1×200×10+1×40
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