二次函数题.docx

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二次函数题

1、将进货单价为40元的仿古瓷瓶，按50元一个销售时能卖出500个．如果这类瓷瓶每个涨价1元时，销售量就减少10个．为了获取最大利润，售价应定为多少元？

2、要用6米长的木料做一个如图所示的窗框．若上、下框的高为1∶2，则长、宽各为多少米时，窗框的光照面积S最大（中间木档所占面积可忽略不计）．

3、快艇和轮船分别从A地、C地同时驶出，沿箭头所示方向航行，如图所示，快艇和轮船的速度各为40千米／时和20千米／时，知AC=150千米，求经过多少小时后快艇与轮船间的距离最近？

4、设抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线与x轴的两个交点间距离是4，与y轴的交点坐标是（0，-6）．求这个二次函数的解析式，并求x取什么值时，y随x的增大而增大或减小？

x取什么值时，y＞0？

y＜0？

5、已知抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为M（2，-1），抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形面积等于4．试求a、b、c的值．

6、已知：

二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+（a-3）x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a，b的值．

7、已知二次函数y=x2-（2m+4）x+m2-4（x为自变量）的图象与y轴的交点在原点的下方，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO，OB满足3（OB-AO）=2AO·OB．直线y=kx+k与这个二次函数图象的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值为4．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）确定直线y=kx+k的解析式．

8、如果抛物线y=-x2+2（m-1）x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．

（1）求m的取值范围；

（2）若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；

（3）设

（2）中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：

抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？

若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

9、已知二次函数y=-3x2．

（1）怎样平移这个图象才能使它过点（0，0），（1，3），写出平移后新的解析式；

（2）证明新图象与x轴必有两个交点；

（3）使新图象位于x轴上方时x的取值范围．

10、已知抛物线y=x2-（m2+4）x-2m2-12，试求m为何实数值时，图象与x轴两个交点间距离最小？

最小距离是多少？

11、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．

（1）试求y与x之间的关系式；

（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？

每月的最大利润是多少？

12、设抛物线y=x2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后，所得抛物线的顶点坐标为（-2，0），求原抛物线的解析式．

13、已知抛物线y=-x2+ax+b与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tgα-tgβ=2，∠ACB=90°．

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积．

参考答案

1、解：

设每个提价x元，即每个售价为（50＋x）元，销量为（500-10x）个，则获利

　　y=（50+x）（500-10x）-40（500-10x）

　　=-10（x-20）2＋9000．

所以x=20时，获利y取得最大值，即销售单价为70元时，获得利润最大．

2、

3、解：

设经t小时后，快艇与轮船分别位于B、D两点时其距离最近，则AB=40t千米，CD=20t千米，BC=（150-40t）千米．在直角△BDC中，

所以t=3时BD取最小值，即驶出3小时，快艇与轮船间距离最近．

4、解：

由对称轴是x=1，与x轴的两个交点距离是4，得抛物线与x轴的两个交点坐标是（-1，0），（3，0），所以设所求二次函数为

y＝a（x+1）（x-3）．

　　因为点（0，-6）在这个二次函数图象上，所以

　　-6＝a（0+1）（0-3），

　　解得a=2．

即y=2（x＋1）（x-3）=2（x-1）2-8

　=2x2-4x-6．

所以x＜1时，y随x的增大而减小；

x＞1时，y随x的增大而增大．

当-1＜x＜3时，y＜0；当x＜-1或x＞3时，y＞0．

5、解设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，则由S△AMB＝4，可得

　　∵由顶点M的坐标为M（2，-1），

　　∴抛物线的对称轴是直线x=2．

　　∴由AB=8可知点A（B）坐标为（6，0）．

　　又∵由已知可设y=a（x-2）2-1（a≠0），

　　∴由0=a（6-2）2-1解得

6、解：

依题意，设M（x1，0），N（x2，0），且x1≠x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，所以x1+x2=-2a，x1·x2=-2b+1．

因为x1，x2又是方程-x2+（a-3）x+b2-1=0的两个实数根，所以x1+x2=a-3，x1·x2=1-b2．由此得方程组

当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以a=1，b=0舍去．

当a=1，b=2时，二次函数为y=x2+2x-3和y=-x2-2x+3符合题意，所以a=1，b=2．

7、解

（1）因为抛物线与x轴有两个交点，所以关于x的方程

x2-（2m+4）x+m2-4=0

有两个不相等的实数根．所以

Δ=[-（2m+4）]2-4（m2-4）＞0，m＞-2．

设A（x1，0），B（x2，0）．因为抛物线与y轴的交点在原点的下方，所以

m2-4＜0即x1·x2=m2-4＜0．

因为点A在点B的左边，所以x1＜0，x2＞0．因为

3（OB-AO）=2AO·OB，

所以3[x2-（-x1）]=2（-x1）·x2，

化简得3（x2+x1）=-2x2·x1．

因为x1，x2为关于x的方程x2-（2m+4）x+m2-4=0的两个实数根，所以x1+x2=2m+4，x1·x2=m2-4．

所以3（2m+4）=-2（m2-4）．

整理，得m2+3m+2=0．

解得m1=-2，m2=-1．因为m＞-2，所以m=-2舍去．又因为m=-1符合题意，所以二次函数的解析式为y=x2-2x-3．

（2）由y=x2-2x-3得A（-1，0），B（3，0）．因为直线y=kx+k与抛物线相交，所以由

因为∠POB为锐角，所以P点在y轴右侧．所以P点坐标为（k+3，k2+4k），且k+3＞0．

k3=-2，k4=-6．

经检验，k3=-2，k4=-6是这个方程的解．但k4+3＜0，所以k4=-6舍去．所以y=-2x-2．

所以所求直线的解析式为

点评本题是代数的综合题，第一问是求二次函数的基本思路，二次函数解析式中含有一个字母m（也可看作待定系数），根据题目给出的条件知x1＜0，x2＞0，再由3（OB-AO）=2AO·OB用AO=-x1，OB=x2代入，用韦达定理可求出m的值．而第二问求y=kx+k的解析式反而比第一问难一些．首先要求直线与抛物线的两个交点（其中一个是定点（-1，0），另一个交点坐标与k有关），不少人不会解这个方程组．由tg∠POB=4，

否则就会丢解．

8、解

（1）设A、B两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0）．因为A、B两点在原点的两侧，所以x1·x2＜0，即-（m+1）＜0．

当m＞-1时，Δ＞0，所以m的取值范围是m＞-1．

（2）因为a∶b=3∶1，设a=3k，b=k（k＞0），则x1=3k，x2=-k，所以

所以m=2．所以抛物线的解析式是y=-x2+2x+3．

（3）易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是A（3，0），B（-1，0）；抛物线与y轴交点坐标是C（0，3）；顶点坐标是M（1，4）．设直线BM的解析式为y=px+q，

所以直线BM的解析式是y=2x+2．设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是（0，2）．所以

设P点坐标是（x，y），因为S△ABP=8S△BCM．所以

所以｜y｜=4，由此得y=±4．

当y=4时，P点与M点重合，即P（1，4）；

所以满足条件的P点存在．

点评这一类题是探索性的，需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难．第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求△BCM的面积时要用分割法，因为△BCM是任意三角形，它的面积不好求，而△BCN和△CMN的面积都好求，底都为CN=1，高都是1．S△BCM=S△BCN+S△CMN这样就化难为易了．方程-x2+2x+3=±4有解则P点存在，如果方程无解则P点不存在，探索性题的思路都是这样的．

9、解

（1）设所求解析式为y=ax2+bx+c．因为新抛物线由y=-3x2平移且过点（0，0），（1，3），所以

所以平移后新的解析式为y=-3x2+6x，即

y=-3（x-1）2+3．

将抛物线y=-3x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到y=-3x2+6x的图象．

（2）由Δ=62-4×（-3）×0=36＞0，所以抛物线y=-3x2+6x与x轴必有两个交点．

（3）要使y=-3x2+6x的图象位于x轴的上方，必有-3x2+6x＞0，即x2-2x＜0，解不等式得0＜x＜2．

点评求一个二次函数解析式需要三个独立的条件，一般采用待定系数法．对于平移要搞清它的实质，在平移过程中哪些量变了，哪些量不变？

实际上经过平移，二次函数解析式变了，顶点坐标、对称轴方程改变了，但抛物线的开口方向和大小均不变，也就是说二次项系数a不变，其他一次项系数和常数项都可能改变．如果保持原抛物线y=a（x-m）2+n的顶点不变，开口方向相反，则得到的新抛物线应为：

y=-a（x-m）2+n

10、解因为Δ=[-（m2+4）]2-4×1×（-2m2-12）

          =（m2+4）2+4（2m2+12）＞0，

所以抛物线与x轴肯定有两个交点，不妨设为（x1，0），（x2，0）．因为x1+x2=m2+4，x1·x2=-2m2-12，

两个交点间距离为

当m=0时，两交点间的距离最小，最小距离是8．

点评求抛物线与x轴两交点间的距离不必解出x1，x2（因为解析（式中含有字母m，也不易解出x1，x2），而要记住公式

11、解

（1）依题意设y=kx+b，则有

所以y=-30x+960（16≤x≤32）．

（2）每月获得利润P=（-30x+960）（x-16）

                  =30（-x+32）（x-16）

                  =30（-x2+48x-512）

                  =-30（x-24）2+1920．

所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．

答：

当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．

点评数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值．

12、解由题意知两次平移后所得抛物线的解析式应为：

y=（x+5）2+b（x+5）+c-1

                     =x2+（b+10）x+（5b+c+24）．

0=（-2）2+（b+10）×（-2）+（5b+c+24）．

解之得b=-6，c=10．原抛物线的解析式为

y=x2-6x+10．

点评关于二次函数图象的平移是很重要的：

一是上、下平移，如将y=ax2+bx+c的图象上移h个单位，则新图象的解析式为y=ax2+bx+c+h（如下移则改为-h）．二是左右平移，如将y=ax2+bx+c的图象向左移k个单位，则新图象解析式应改写为：

y=a（x+k）2+b（x+k）+c，如果是向右平移k个单位，则改写为y=a（x-k）2+b（x-k）+c．

13、解

（1）根据题意设点A（x1，0），点B（x2，0），且C（0，b），x1＜0，x2＞0．因为x1，x2是方程-x2+ax+b＝0的两根，所以x1+x2=a，x1x2=-b．

在Rt△ABC中，OC⊥AB，所以OC2=OA·OB．因为OA=-x1，OB=x2．所以b2=-x1x2=b．因为b＞0，所以b=1．所以C（0，1）．

（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，

所以a=2，抛物线解析式为：

y=-x2+2x+1．

（3）因为y=-x2+2x+1，所以顶点P的坐标为（1，2）．当-x2+2x+1=0

延长PC交x轴于点D，过C、P的直线为y=x+1，所以点D的坐标为（-1，0），所以

S四边形ABPC=S△DPB-S△DCA

点评四边形ABPC是任意四边形，它的面积不好求，这里采用面积割补法，改用三角形DPB面积减去三角形DCA面积来求，而△DPB及△DCA面积都是可以求的，这样的解题方法正是我们所要学习的．