二次函数题.docx

1、二次函数题 1、将进货单价为40元的仿古瓷瓶，按50元一个销售时能卖出500个如果这类瓷瓶每个涨价1元时，销售量就减少10个为了获取最大利润，售价应定为多少元？2、要用6米长的木料做一个如图所示的窗框若上、下框的高为12，则长、宽各为多少米时，窗框的光照面积S最大(中间木档所占面积可忽略不计)3、快艇和轮船分别从A地、C地同时驶出，沿箭头所示方向航行，如图所示，快艇和轮船的速度各为40千米时和20千米时，知AC=150千米，求经过多少小时后快艇与轮船间的距离最近？4、设抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线与x轴的两个交点间距离是4，与y轴的交点坐标是(0，-6)求这个二次函数的解析式，并求x取什

2、么值时，y随x的增大而增大或减小？x取什么值时，y0？ y0？5、已知抛物线y=ax2bxc(a0)的顶点坐标为M(2，-1)，抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形面积等于4试求a、b、c的值6、已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求 a，b的值7、 已知二次函数y=x2-(2m+4)x+m2-4(x为自变量)的图象与y轴的交点在原点的下方，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO，OB满足3(OB-AO)=2AOOB直线y=kx+k与这个二次函数图象的一个交点为P，且锐角POB的正

3、切值为4(1)求这个二次函数的解析式；(2)确定直线y=kx+k的解析式8、如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b(1)求m的取值范围；(2)若ab=31，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使PAB的面积等于BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由9、 已知二次函数y=-3x2(1)怎样平移这个图象才能使它过点(0，0)，(1，3)，写出平移后新的解析式；(2)证明新图象与x轴必有两个交点；

4、(3)使新图象位于x轴上方时x的取值范围10、已知抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12，试求m为何实数值时，图象与x轴两个交点间距离最小？最小距离是多少？11、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数(1)试求y与x之间的关系式；(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？12、设抛物线y=x2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后，所得抛物线的顶点坐标为(

5、-2，0)，求原抛物线的解析式13、已知抛物线y=-x2+ax+b与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴交于点C，且BAC=，ABC=，tg-tg=2，ACB=90(1)求点C的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积参考答案1、解：设每个提价x元，即每个售价为(50x)元，销量为(500-10x)个，则获利y=(50+x)(500-10x)-40(500-10x)=-10(x-20)29000所以x=20时，获利y取得最大值，即销售单价为70元时，获得利润最大2、3、解：设经t小时后，快艇与轮船分别位于B、D两点时其距离最近，则AB=40t千米，CD=20

6、t千米，BC=(150-40t)千米在直角BDC中， 所以t=3时BD取最小值，即驶出3小时，快艇与轮船间距离最近4、解：由对称轴是x=1，与x轴的两个交点距离是4，得抛物线与x轴的两个交点坐标是(-1，0)，(3，0)，所以设所求二次函数为ya(x+1)(x-3)因为点(0，-6)在这个二次函数图象上，所以-6a(0+1)(0-3)，解得a=2即y=2(x1)(x-3)=2(x-1)2-8 =2x2-4x-6所以x1时，y随x的增大而减小；x1时，y随x的增大而增大当-1x3时，y0；当x-1或x3时，y05、解 设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，则由SAMB4，可得由顶点M的坐标为M(

7、2，-1)，抛物线的对称轴是直线x=2由AB=8可知点A(B)坐标为(6，0)又由已知可设y=a(x-2)2-1(a0)，由0=a(6-2)2-1解得 6、解：依题意，设M(x1，0)，N(x2，0)，且x1x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，所以x1+x2=-2a，x1x2=-2b+1因为x1，x2又是方程-x2+(a-3)x+b2-1=0的两个实数根，所以x1+x2=a-3，x1x2=1-b2由此得方程组当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以 a=1，b=0舍去当a=1，b=2时， 二次函数为y=x2+2x-3和y=-x2-2x+3符合题意，

8、所以a=1，b=27、解 (1)因为抛物线与x轴有两个交点，所以关于x的方程x2-(2m+4)x+m2-4=0有两个不相等的实数根所以=-(2m+4)2-4(m2-4)0，m-2设A(x1，0)，B(x2，0)因为抛物线与y轴的交点在原点的下方，所以m2-40即x1x2=m2-40因为点A在点B的左边，所以x10，x20因为3(OB-AO)=2AOOB，所以 3x2-(-x1)=2(-x1)x2，化简得 3(x2+x1)=-2x2x1因为x1，x2为关于x的方程x2-(2m+4)x+m2-4=0的两个实数根，所以x1+x2=2m+4， x1x2=m2-4所以3(2m+4)=-2(m2-4)整理

9、，得m2+3m+2=0解得m1=-2，m2=-1因为m-2，所以m=-2舍去又因为m=-1符合题意，所以二次函数的解析式为y=x2-2x-3(2)由y=x2-2x-3得A(-1，0)，B(3，0)因为直线y=kx+k与抛物线相交，所以由因为POB为锐角，所以P点在y轴右侧所以P点坐标为(k+3，k2+4k)，且k+30k3=-2，k4=-6经检验，k3=-2，k4=-6是这个方程的解但k4+30，所以k4=-6舍去所以y=-2x-2所以所求直线的解析式为点评 本题是代数的综合题，第一问是求二次函数的基本思路，二次函数解析式中含有一个字母m(也可看作待定系数)，根据题目给出的条件知x10，x20

10、，再由3(OB-AO)=2AOOB用AO=-x1，OB=x2代入，用韦达定理可求出m的值而第二问求y=kx+k的解析式反而比第一问难一些首先要求直线与抛物线的两个交点(其中一个是定点(-1，0)，另一个交点坐标与k有关)，不少人不会解这个方程组由tgPOB=4，否则就会丢解8、解 (1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)因为A、B两点在原点的两侧，所以x1x20，即-(m+1)0当m-1时，0，所以m的取值范围是m-1(2)因为ab=31，设a=3k，b=k(k0)，则x1=3k，x2=-k，所以所以m=2所以抛物线的解析式是y=-x2+2x+3(3)易求抛物线y=-x2+2x

11、+3与x轴的两个交点坐标是A(3，0)，B(-1，0)；抛物线与y轴交点坐标是C(0，3)；顶点坐标是M(1，4)设直线BM的解析式为y=px+q，所以直线BM的解析式是y=2x+2设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是(0，2)所以设P点坐标是(x，y)，因为SABP=8SBCM所以所以y=4，由此得y=4当y=4时，P点与M点重合，即P(1，4)；所以满足条件的P点存在点评 这一类题是探索性的，需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求BCM的面积时要用分割法，因为BCM是任意三角形，它的面积不好求，而BCN和CMN的面积都好求，底都

12、为CN=1，高都是1SBCM=SBCN+SCMN这样就化难为易了方程-x2+2x+3=4有解则P点存在，如果方程无解则P点不存在，探索性题的思路都是这样的9、解 (1)设所求解析式为y=ax2+bx+c因为新抛物线由y=-3x2平移且过点(0，0)，(1，3)，所以所以平移后新的解析式为y=-3x2+6x，即y=-3(x-1)2+3将抛物线y=-3x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到y=-3x2+6x的图象(2)由=62-4(-3)0=360，所以抛物线y=-3x2+6x与x轴必有两个交点(3)要使y=-3x2+6x的图象位于x轴的上方，必有-3x2+6x0，即x2-2x0，解不等式得

13、0x2点评 求一个二次函数解析式需要三个独立的条件，一般采用待定系数法对于平移要搞清它的实质，在平移过程中哪些量变了，哪些量不变？实际上经过平移，二次函数解析式变了，顶点坐标、对称轴方程改变了，但抛物线的开口方向和大小均不变，也就是说二次项系数a不变，其他一次项系数和常数项都可能改变如果保持原抛物线y=a(x-m)2+n的顶点不变，开口方向相反，则得到的新抛物线应为：y=-a(x-m)2+n10、解 因为=-(m2+4)2-41(-2m2-12) =(m2+4)2+4(2m2+12)0，所以抛物线与x轴肯定有两个交点，不妨设为(x1，0)，(x2，0)因为x1+x2=m2+4， x1x2=-2

14、m2-12，两个交点间距离为当m=0时，两交点间的距离最小，最小距离是8点评 求抛物线与x轴两交点间的距离不必解出x1，x2 (因为解析(式中含有字母m，也不易解出x1，x2)，而要记住公式11、解 (1)依题意设y=kx+b，则有所以y=-30x+960(16x32)(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16) =30(-x+32)(x-16) =30(-x2+48x-512) =-30(x-24)2+1920所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元点评 数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下

15、，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值12、解 由题意知两次平移后所得抛物线的解析式应为：y=(x+5)2+b(x+5)+c-1 =x2+(b+10)x+(5b+c+24)0=(-2)2+(b+10)(-2)+(5b+c+24)解之得b=-6，c=10原抛物线的解析式为y=x2-6x+10点评 关于二次函数图象的平移是很重要的：一是上、下平移，如将y=ax2+bx+c的图象上移h个单位，则新图象的解析式为y=ax2+bx+c+h(如下移则改为-h)二是左右平移，如将y=ax2+bx+c的图象向左移k个单位，则新图象解析式应改写为：y=a(

16、x+k)2+b(x+k)+c，如果是向右平移k个单位，则改写为y=a(x-k)2+b(x-k)+c13、解 (1)根据题意设点A(x1，0)，点B(x2，0)，且C(0，b)，x10，x20因为x1，x2是方程-x2+ax+b0的两根，所以x1+x2=a，x1x2=-b在RtABC中，OCAB，所以OC2=OAOB因为OA=-x1，OB=x2所以b2=-x1x2=b因为b0，所以b=1所以C(0，1)(2)在RtAOC和RtBOC中，所以a=2，抛物线解析式为：y=-x2+2x+1(3)因为y=-x2+2x+1，所以顶点P的坐标为(1，2)当-x2+2x+1=0延长PC交x轴于点D，过C、P的直线为y=x+1，所以点D的坐标为(-1，0)，所以S四边形ABPC=SDPB-SDCA点评 四边形ABPC是任意四边形，它的面积不好求，这里采用面积割补法，改用三角形DPB面积减去三角形DCA面积来求，而DPB及DCA面积都是可以求的，这样的解题方法正是我们所要学习的