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二次函数
《实际问题与二次函数》典例精析1
【例1】如图1所示，连接着汉口集家嘴的江汉大桥（晴川桥）是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥．它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是武汉的一道靓丽景观．桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距为5米（不考虑系仟的粗细），拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米．以AB所住的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）正中间系杆OC的长度是多少米？
是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？
【分析】
（1）由所建立的平面直角坐标系可知A、B、C三点的坐标，并且抛物线关于y轴对称，因而可设抛物线的解析式为y＝ax2＋c．将A、B、C三点的坐标分别代入，从而确定抛物线的解析式．
（2）先假设等于OC长度一半的系杆存在，然后通过解关于x的方程求出x的值，最后检验是否符合题意．
【小结】本题的关键是恰当地建立坐标系，从而求出函数的表达式，再根据二次函数的性质求解．
【例2】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．
（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积S（m）2关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（π取3.14，结果精确到0.1米）
【分析】①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式，②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
【小结】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
【例3】面对国际金融危机．某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，现推出如下标准
人数
不超过25人
不超过25人但不超过50人
超过50人
人均旅游费
1500元
每增加1人，人均旅游费降低20元
1000元
某单位组织员工去该风景区旅游，没有x人参加，应付旅游费y元．
（1）请写出y与z的函数关系式；
（2）若该单位现有45人，本次旅游至少去26人，则该单位最多应付旅游费多少元？
【分析】
（1）在不同的人数段中，人均旅游费不同，所以应分三段讨论（分段函数）．
（2）本次旅游至少去26人，最多去45人，该单位旅游人数应在25＜x≤50这一人数段中．实质上就是在这一人数段中求最大值．
【小结】本题的易错点是没有考虑到自变量的取值范围，从而导致错误的得出最大值是50000元，因此，在实际问题中，运用二次函数求最大或最小值时，一定要注意自变量的取值范围，这一点要切记．
【例4】一辆装满货后宽度为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行道抛物线形隧道，为保证通车安全，车从正中通过，车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离，求货车的限高应为多少米？
（精确到0.01米）
【分析】根据隧道的形状为抛物线形，画出图形，并建立适当的直角坐标系，将已知数据化为点的坐标，利用待定系数法求出解析式，再将货车的宽度（确定横坐标）代入解析式，求得纵坐标（货车的高）．
【小结】在解决抛物线形问题时，首先要建立直角坐标系，一般建立坐标系时，一是不改变实际问题中抛物线的开口方向（如隧道、拱桥总是开口向下）；二是多以y轴为对称轴，至于x轴，通常以地平面、水平面或过顶点的直线为多，其基本原则是以解析式简单和便于计算为前提．
《实际问题与二次函数》典例精析2
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值是0，那么代数式|a|+4ac－b2的化简结果是（）
A．aB．－aC．0
D．1
解析：
最大值为0，即4ac－b2=0，且a＜0；由此得|a|+4ac－b2=－a．
2．抛物线y=－2x2－8x+3的顶点关于y轴对称的点的坐标为____________．
解析：
先求出抛物线的顶点坐标，顶点坐标为，所以其关于y轴对称点的坐标为
3．两数之和为6，则之积最大为．____________
解析：
设其中一个为x，积为y,则有y=，可求得最大值是．
4．抛物线y=x2+2x+1的顶点是（）
A．（0,1）
B．（－1,0）
C．（1,0）D．（－1,1）
解析：
用配方法或公式法计算求解，．
5．一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y=
那么铅球推出后最大高度是______m，落地时距出手地的距离是____m．
解析：
运用函数的顶点及与坐标轴的交点来解决本题．顶点为；
6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销
售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，该商场平均每天盈利最多？
7．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；
（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？
最大生产总量是多少？
8．已知二次
函数y=x2－6x+m的最小值为1，那么m=_____________．
9．抛物线y=
x2－6x+21，当x=_________，y最大=____________．
10．对于物体，在不计空气阻力的情况下，有关系式h=v0t－
gt2，其中h是上升高度，v0（m/s）是初速度，g（m/s2）是重力加速度，t（s）是物体抛出后经过的时间，图26311是上升高度h与t的函数图象．
（1）求v0，g；
（2）几秒后，物体在离抛出点25m高的地方？
图26－3－1－1
11．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？
并求出最大利润．
12．随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其成本是每吨0．5万元，这种水果市场上的销售量y（吨）是每吨销售价x（万元）的一次函数，且x=0．6时，y=2．4；x=1时，y=2．
（1）求出销售量y（吨）与每吨销售价x（万元）之间的函数关系式；
（2）若销售利润为W（万元），请写出W与x之间的函数关系式，并求出销售价为多少时的销售利润最高？
13．某经营商购进一种商品原料7000千克存在某货场，进价为每千克30元，物价部门最高限价为每千克70元．市场调查发现，单价为70元，日均售60千克，每降一元，日多售2千克．每天需向货场支付500元存货费（不足一天，按一天计）．
问：
（1）日销售单价为多少时，日均获利最大？
（2）如将该种原料全部售完，比较日均获利最大和单价最高这两种销售方式，哪种总获利
多？
多多少？
14．在2010年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
销售价x（元/千克）
…
25
24
23
22
…
销售量y（千克）
…
2000
2500
3000
3500
…
（1）在如图26－3－1－2的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连结各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；
（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？
图26－3－1－2
《实际问题与二次函数》习题
（一）
第一课时
1．抛物线y=2x2+3x+1的对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．二次函数y=（x+2）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（-2，-2） B．（-2，2） C．（2，2） D．（2，-2）
3．y=ax2+a的图象可能是下图中的（ ）
4．二次函数y=2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）．
5．如图26-19，若二次函数y=ax2+bx+c中a>0，b>0，c<0，则抛物线在坐标系中位置大致如（ ）
6．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量
（件）与每件的销售价
（元）满足一次函数：
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润
与每件的销售价
间的函数数关系式．
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？
最大销售利润为多少？
7．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？
每月的最大利润是多少？
8．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x（十万元）
0
1
2
…
y
1
1.5
1.8
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
9．某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可卖出120套（两套服装的市场行情互不影响）．目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：
方案1：
不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案2：
全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；
方案3：
部分转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装．
问：
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？
若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？
此时他在一年内共得利润多少元？
《实际问题与二次函数》习题
（二）
1．如图，已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，其中AB=AC=20cm，BC=24cm．若在△ABC上截出一矩形零件DEFG，使EF在BC上，点D、G分别在边AB、AC上．
问矩形DEFG的最大面积是多少?
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DE∥AC，交AB于E，设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
（2）x为何值时，△ADE的面积最大?
最大面积是多少?
3．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动．如果P，Q同时出发，问经过几秒钟△PBQ的面积最大?
最大面积是多少?
4．如图所示，是某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是16m，宽是6m．抛物线可以用y=
x2+8表示．
（1）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7m，它能否安全通过这个隧道?
说明理由．
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车能否安全通过?
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜?
为什么?
5．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．
（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．
（2）t为何值时，S最小?
最小值是多少?
6．△ABC是锐角三角形，BC=6，面积为12，点P在AB上，点Q在AC上，如图所示，正方形PQRS（RS与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC公共部分的面积为y．
（1）当RS落在BC上时，求x;
（2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式;
（3）求公共部分面积的最大值．
7．如图，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=
表示．在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
（1）在正常水位时，有一艘宽8m、高2．5m的小船，它能通过这座桥吗?
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:
前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问:
如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?
若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?
《实际问题与二次函数》习题（三）
一、选择题
1．二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5
2．若二次函数y=x2－x与y=－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的（ ）
A．这两个函数图象有相同的对称轴B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k=0没有实数根D．二次函数y=－x2＋k的最大值为k
3．抛物线y＝2x2＋4x－3的顶点坐标是（ ）
A．（1，－5） B．（－1，－5）C．（－1，－4） D．（－2，－7）
4．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点A（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
5．某学校依墙建羊圈，各面用木棍围成栅栏（如图），该校计划用木棍围出总长为24m的栅栏．设每间羊圈的长为xm．
（1）请你用含x的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L=_______，三间羊圈的总面积S=____________；
（2）S可以看成x的_________，这里自变量x的取值范围是_________；
（3）请计算，当羊圈的长分别为2m、3m、4m和5m时，羊圈的总面积分别为_____、_____、______、______，在这些数中，x取_____m时，面积S最大．
6．如图所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________，长方体的体积为V=__________，各边长的和L=__________，在上面的三个函数中，_______是关于x的二次函数．
7．根据如图所示的程序计算函数值．
（1）当输入的x的值为
时，输出的结果为________；
（2）当输入的数为________时，输出的值为-4．
8．如图所示，要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，若设AB的长为xm，则矩形的面积y=_______________．
9．如图示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式____________．
三、解答题
10．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：
这种服装每天的销售量
（件），与每件的销售价
（元/件）可看成是一次函数关系：
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润
与每件的销售价
之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：
商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
11．在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）该男同学把铅球推出去多远？
（精确到0．01米，）
12．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？
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