二次函数.docx

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二次函数

1.二次函数图象的顶点在原点O,经过点A（1,14）;点F（0,1）在y轴上。

直线y=−1与y轴交于点H.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是

（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=−1交于点M，求证：

FM平分∠OFP；

（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标。

2.如图,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。

据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

（2）足球第一次落地点C距守门员多少米?

（取43√=7）

（3）运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米?

（取26√=5）

3.如图,已知直线y=12x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=12x2+bx+c与直线交于A. E两点,与x轴交于B. C两点,且B点坐标为（1,0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标。

4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=−14x2+bx+c的图象与坐标轴交于A.B. C三点,其中点A的坐标为（0,8）,点B的坐标为（−4,0）.

（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；

（2）点D的坐标为（0,4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.

①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值。

1.如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+1经过点A（4,−3）,顶点为点B,点P为抛物线上的一个动点,l是过点（0,2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO.

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；

（2）①当P点运动到A点处时,计算：

PO=___,PH=___,由此发现,PO___PH（填“>”、“<”或“=”）；

②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图2,设点C（1,−2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似?

若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

2.如图所示,已知抛物线y=x2−1与x轴交于A. B两点，与y轴交于点C.

（1）求A.B. C三点的坐标；

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A. M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似?

若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由。

3如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（12,52）和B（4,m），点P是线段AB上异于A. B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值?

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标。

1.如图,已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a,8）、B两点，点P是抛物线上A. B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C为AB中点，求PC的长；

（3）如图,以PC,PE为边构造矩形PCDE,设点D的坐标为（m,n），请求出m，n之间的关系式。

2.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,O是坐标原点,点A的坐标是（−1,0）,点C的坐标是（0,−3）.在第四象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F.设点D的横坐标为m.

（1）求抛物线的函数表达式； 

（2）连接AC，AF，若∠ACB=∠FAB，求点F的坐标；

（3）在直线DE上作点H，使点H与点D关于点F对称，以H为圆心，HD为半径作H，当H与其中一条坐标轴相切时，求m的值。

3.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①c<0，②abc>0，③a−b+c>0，④2a−3b=0，⑤c−4b>0.其中正确结论的个数是___个。

4.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,给出以下四个结论：

①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac−b2<0;其中正确的结论有（）

A. 1个

B.B. 2个

C. 3个

D. 4个

5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D.

（1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A. B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下：

①求以点E.B.F. D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由。

6.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线C1:

y=32x2+6x+2的顶点为M,与y轴相交于点N,先将抛物线C1沿x轴翻折,再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2:

直线l:

y=kx+b经过M，N两点。

（1）结合图象,直接写出不等式32x2+6x+2

（2）若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称,求p的值及抛物线C2的解析式；

（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后,与

（2）中的抛物线C2存在公共点，求3−4q的最大值。

7.抛物线y=2x2−8x+6与x轴交于点A. B,把抛物线在x轴及其下方的部分记为C1,将C1向右平移得到C2,C2与x轴交于点B. D,若直线y=−x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是___.

8.如图,已知直线y=−34x+3分别交x轴、y轴于点A. B,P是抛物线y=−12x2+2x+5的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=−34x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是___.

9.已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且图象过A（x1,m）、B（x1+n,m）两点,则m、n的关系为（）

A. m=1/2n

B. m=1/4n

C. m=1/2n2

D. m=1/4n2

10.平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2+bx+c经过（−1,m2+2m+1）、（0,m2+2m+2）两点，其中m为常数。

（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；

（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；

（3）设（a,y1）、（a+2,y2）是抛物线y=x2+bx+c上的两点,请比较y2−y1与0的大小，并说明理由。

1.二次函数y=x2+bx的图象如图所示,对称轴为x=2,若关于x的一元二次方程x2+bx−t=0（t为实数）在−1

2.二次函数y=−x2−2x图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象,若直线y=

x+b与该新图象有两个公共点，则b的取值范围为___.

3平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2+bx+c经过（−1,m2+2m+1）、（0,m2+2m+2）两点，其中m为常数。

（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；

（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；

（3）设（a,y1）、（a+2,y2）是抛物线y=x2+bx+c上的两点,请比较y2−y1与0的大小，并说明理由。

4如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=−14x2+bx+c的图象与坐标轴交于A.B. C三点,其中点A的坐标为（0,8）,点B的坐标为（−4,0）.

（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；

（2）点D的坐标为（0,4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.

①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值。

1、已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c−8=0的根的情况是（C）

A.有两个不相等的正实数根

B.有两个异号实数根

C.有两个相等的实数根

D.没有实数根

2、如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1,0）和点B,与y轴交于点C（0,3），抛物线的对称轴与x轴交于点D.

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形?

若存在。

请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积。

解答：

（1）把A（1,0）和C（0,3）代入y=x2+bx+c，

{1+b+c=0c=3

解得：

b=−4，c=3，

4、如图,已知二次函数y=（1−m）x2+4x−3的图象与x轴交于点A和B，与y轴交于C.

（1）求点C的坐标；

（2）若点A的坐标为（1,0），求二次函数的解析式；

（3）在

（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使以P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

5、如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为___．

二次函数图象的顶点在原点O,经过点A（1,14）;点F（0,1）在y轴上。

直线y=−1与y轴交于点H.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是

（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=−1交于点M，求证：

FM平分∠OFP；

（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标。

1、如图,已知抛物线与x轴交于A（−1,0）、E（3,0）两点,与y轴交于点B（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3）△AOB与△DBE是否相似?

如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

2、如图所示,已知抛物线y=x2−1与x轴交于A. B两点，与y轴交于点C.

（1）求A.B. C三点的坐标；

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A. M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似?

若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由。

3、已知抛物线y=13x2−23x−1.

（1）求它的顶点M的坐标；

（2）求它与x轴的两个交点A. B（A左B右）的坐标，并画出草图；

（3）观察草图指出，当x为何值时，y=0?

y<0?

y>0?

（4）设抛物线与y轴的交点为C，求四边形ABMC的面积。

4、二次函数图象的顶点在原点O,经过点A（1,14）;点F（0,1）在y轴上。

直线y=−1与y轴交于点H.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是

（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=−1交于点M，求证：

FM平分∠OFP；

（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标。

5、某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时,身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线。

在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面1023m,入水处距池边的距离为4m,同时运动员在距水面高度5m以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误（跳台支柱距水池1m）.

（1）求这条抛物线相应的函数关系式；

（2）在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是

（1）中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为335m，问：

此次跳水会不会失误?

通过计算说明理由。

4.如图,二次函数y=−12x2+c的图象经过点D（−3√,92），与x轴交于A，B两点。

（1）求c的值；

（2）如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；

（3）设点P,Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点,试猜想：

是否存在这样的点P,Q,使△AQP≌△ABP?

如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由（图②供选用）.

5.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是（3,0）,点C的坐标是（0,−3），动点P在抛物线上。

（1）b=___,c=___,点B的坐标为___;（直接填写结果）

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?

若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线。

垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标。