一般形式是y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）这样的函数可以叫做什么函数?
二次函数.
2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?
有.
二、思考探究，获取新知
二次函数的概念及一般形式
在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:
一般地,形如y=ax2+bx+c（a,
b,c是常数,a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
注意:
①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.
三、典例精析，掌握新知
例1指出下列函数中哪些是二次函数.
（1）y=（x-3）2-x2；
（2）y=2x（x-1）；（3）y=32x-1；（4）y=
；（5）y=5-x2+x.
【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.
解:
（2）（5）是二次函数,其余不是.
【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路:
1.将函数化为一般形式.
2.自变量的最高次数是2次.
3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0.
例2讲解教材P3例题.
【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围.
例3已知函数y=（m2-m）x2+mx+（m+1）（m是常数），当m为何值时:
（1）函数是一次函数;
（2）函数是二次函数.
【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式.
解:
（1）由
得
∴m=1.即当m=1时，函数y=（m2-m）x2+mx+（m+1）是一次函数.
（2）由m2-m≠0得m≠0且m≠1,
∴当m≠0且m≠1时，函数y=（m2-m）x2+mx+（m+1）是二次函数.
【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.
四、运用新知，深化理解
1.下列函数中是二次函数的是（）
A.
B.y=3x3+2x2C.y=（x-2）2-x3D.
2.二次函数y=2x（x-1）的一次项系数是（）
A.1B.-1C.2D.-2
3.若函数
是二次函数，则k的值为（）
A.0B.0或3C.3D.不确定
4.若y=（a+2）x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是.
5.已知二次函数y=1-3x+5x2,则二次项系数a=,一次项系数b=,常数项c=.
6.某校九
（1）班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式，它（填“是”或“不是”）二次函数.
7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为x的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y.
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）试求自变量x的取值范围；
（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（π取3.14，结果精确到十分位）.
【答案】1.D2.D3.A4.a≠-25.5,-3,16.
是
7.
（1）y=25-πx2=-πx2+25.
（2）0＜x≤52.
（3）当x=2时，y=-4π+25≈-4×3.14+25=12.44≈12.4.
即剩余部分的面积约为12.4.
【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导.
五、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾二次函数的有关概念.
2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?
与同伴交流.
【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.
1.教材P4第1~3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中.
1.2二次函数的图象与性质
第1课时二次函数y=ax2（a＞0）的图象与性质
【知识与技能】
1.会用描点法画函数y=ax2（a＞0）的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.
2.体会数形结合的转化,能用y=ax2（a＞0）的图象和性质解决简单的实际问题.
【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2（a＞0）图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.
【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2（a＞0）图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.
【教学重点】1.会画y=ax2（a＞0）的图象.2.理解,掌握图象的性质.
【教学难点】
二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.
一、情境导入，初步认识
问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?
二次函数图象是什么形状呢?
问题2如何用描点法画一个函数图象呢?
【教学说明】①略；②列表、描点、连线.
二、思考探究，获取新知
探究1画二次函数y=ax2（a＞0）的图象.
画二次函数y=ax2的图象.
【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.
②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.
③强调画抛物线的三个误区.
误区一:
用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.
如图
（1）就是y=x2的图象的错误画法.
误区二：
并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.
如图
（2）就是漏掉点（0,0）的y=x2的图象的错误画法.
误区三:
忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.
如图（3）,就是到点（-2,4）,（2,4）停住的y=x2图象的错误画法.
探究2y=ax2（a＞0）图象的性质在同一坐标系中，画出y=x2,
y=2x2的图象.
【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征（共同点）,从而归纳二次函数y=ax2（a＞0）的图象和性质.
【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y随x的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.
y=ax2（a＞0）图象的性质
1.图象开口向上.
2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.
3.当x＞0时，y随x的增大而增大，简称右升；当x＜0时，y随x的增大而减小，简称左降.
三、典例精析，掌握新知
例已知函数
是关于x的二次函数.
（1）求k的值.
（2）k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？
在此前提下，当x在哪个范围内取值时，y随x的增大而增大？
【分析】此题是考查二次函数y=ax2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k+2＞0，求出k的取值范围，最后由y随x的增大而增大，求出x的取值范围.
解:
（1）由已知得
解得k=2或k=-3.
所以当k=2或k=-3时，函数
是关于x的二次函数.
（2）若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0.
由
（1）知k=2，最低点是（0,0）,当x≥0时，y随x的增大而增大.
四、运用新知，深化理解
1.（广东广州中考）下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）
A.y=x2B.y=x-1C.
D.y=
2.已知点（-1,y1）,（2,y2）,（-3,y3）都在函数y=x2的图象上，则（）
A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y3
3.抛物线y=
x2的开口向，顶点坐标为，对称轴为，当x=-2时，y=；当y=3时，x=,当x≤0时，y随x的增大而；当x＞0时，y随x的增大而.
4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值.
【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.
【答案】1.D2.A3.上,（0,0）,y轴，
，±3,减小，增大
4.解：
依题意得：
BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y轴对称，又∵BC与y轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：
a=
.
五、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾二次函数y=ax2（a＞0）图象的画法及其性质.
2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?
请与同伴交流.
1.教材P7第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数y=ax2（a＞0）图象的画法，再由图象观察、探究二次函数y=ax2（a＞0）的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.
第2课时二次函数y=ax2（a＜0）的图象与性质
【知识与技能】
1.会用描点法画函数y=ax2（a＜0）的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.
2.体会数形结合的转化,能用y=ax2（a＜0）的图象与性质解决简单的实际问题.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=ax2（a＜0）图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.
【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2（a≠0）图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.
【教学重点】①会画y=ax2（a<0）的图象；②理解、掌握图象的性质.
【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.
一、情境导入，初步认识
1.在坐标系中画出y=
x2的图象，结合y=
x2的图象，谈谈二次函数y=ax2（a＞0）的图象具有哪些性质？
2.你能画出y=-
x2的图象吗？
二、思考探究，获取新知
探究1画y=ax2（a＜0）的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=-
x2的图象.
【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学.
问:
从所画出的图象进行观察,y=
x2与y=-
x2有何关系？
归纳：
y=
x2与y=-
x2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y轴对称.（教师引导学生从理论上进行证明这一结论）
探究2二次函数y=ax2（a＜0）性质问：
你能结合y=-
x2的图象，归纳出y=ax2（a＜0）图象的性质吗？
【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax2（a<0）图象的性质.
1.开口向下.
2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点.
3.当x＞0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x＜0时，y随x的增大而增大，简称左升.
探究3二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
学生回答：
【教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是，顶点是，当a＞0时抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越；当a＜0时，抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越，总之，|a|越大，抛物线开口越.
答案:
y轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小
三、典例精析，掌握新知
例1填空：
①函数y=（-
x）2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是.
②函数y=x2,y=
x2和y=-2x2的图象如图所示，
请指出三条抛物线的解析式.
解:
①抛物线，（0，0），y轴，向上；
②根据抛物线y=ax2中,a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=
x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.
【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小.
例2已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值.
【分析】把点（1,-1）的坐标代入y=ax2,求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值.
解:
∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1,∴抛物线为y=-x2.当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2.
【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值.
四、运用新知，深化理解
1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（）
A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴
B.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称
C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反
D.点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上
2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax（a≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）
3.二次函数
当x＜0时，y随x的增大而减小，则m=.
4.已知点A（-1，y1）,B（1,y2）,C（a,y3）都在函数y=x2的图象上，且a＞1,则y1,y2,y3中最大的是.
5.已知函数y=ax2经过点（1,2）.①求a的值；②当x＜0时，y的值随x值的增大而变化的情况.
【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.
【答案】1.D2.B3.24.y3
5.①a=2②当x＜0时，y随x的增大而减小
五、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？
在学生回答的基础上，教师点评：
（1）y=ax2（a<0）图象的性质；
（2）y=ax2（a≠0）关系式的确定方法.
1.教材P10第1~2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课仍然是从学生画图象,结合上节课y=ax2（a＞0）的图象和性质，从而得出y=ax2（a＜0）的图象和性质，进而得出y=ax2（a≠0）的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.
时二次函数y=a（x-h）2的图象与性质
【知识与技能】
1.能够画出y=a（x-h）2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响.
2.能正确说出y=a（x-h）2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=a（x-h）2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想.
【情感态度】
1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.
2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识.
【教学重点】
掌握y=a（x-h）2的图象及性质.
【教学难点】
理解y=a（x-h）2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响.
一、情境导入，初步认识
1.在同一坐标系中画出y=
x2与y=
（x-1）2的图象，完成下表.
2.二次函数y=
（x-1）2的图象与y=
x2的图象有什么关系？
3.对于二次函数
（x-1）2,当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？
当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?
二、思考探究，获取新知
归纳二次函数y=a（x-h）2的图象与性质并完成下表.
三、典例精析，掌握新知
例1教材P12例3.
【教学说明】二次函数y=ax2与y=a（x-h）2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”.例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a（x+1）2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a（x-2）2的图象.
例2已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合.①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1,y1）,C（x2,y2）在抛物线l上，且-
＜x1＜x2，试比较y1,y2的大小.
解:
①∵y=x+1,∴令y=0，则x=-1,∴A（-1,0），即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2（x+1）2.
②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1,∵a=-2＜0,∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又-
＜x1＜x2,∴y1＞y2.
【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.
四、运用新知，深化理解
1.二次函数y=15（x-1）2的最小值是（）
A.-1B.1C.0D.没有最小值
2.抛物线y=-3（x+1）2不经过的象限是（）
A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限
3.在反比例函数y=
中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k（x-1）2的图象大致是（）
4.
（1）抛物线y=
x2向平移个单位得抛物线y=
（x+1）2;
（2）抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2（x-2）2.
5.（广东广州中考）已知抛物线y=a（x-h）2的对称轴为x=-2,且过点（1，-3）.
（1）求抛物线的解析式;
（2）画出函数的大致图象;
（3）从图象上观察,当x取何值时，y随x的增大而增大？
当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？
【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.
【答案】1.C2.A3.B4.
（1）左,1
（2）y=-2x2
5.解：
（1）y=-
（x+2）2
（2）略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0.
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?
还有哪些疑惑?
2.在学生回答的基础上,教师点评:
（1）y=a（x-h）2的图象与性质；
（2）y=a（x-h）2与y=ax2的图象的关系.
1.教材P12第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
通过本节学习使学生认识到y=a（x-h）2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a,h对y=a（x-h）2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想.
第4课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质
【知识与技能】
1.会用描点法画二次函数y=a（x-h）2+k的图象.掌握y=a（x-h）2+k的图象和性质.
2.掌握y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象的位置关系.
3.理解y=a（x-h）2+k,y=a（x-h）2,y=ax2+k及y=ax2的图象之间的平移转化.
【过程与方法】
经历探索二次函数y=a（x-h）2+k的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力.
【情感态度】
1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性.
2.体验数学活动中充满着探索性,感受通过认识观察,归纳,类比可以获得数学猜想的乐趣.
【教学重点】
二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质.
【教学难点】
由二次函数y=a（x-h）2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线.
一、情境导入，初步认识
复习回顾:
同学们回顾一下:
①y=ax2,y=a（x-h）2,（a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x的增减性分别是什么？
②如何由y=ax2（a≠0）的图象平移得到y=a（x-h）2的图象？
③猜想二次函数y=a（x-h）2+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？
二、思考探究，获取新知
探究1y=a（x-h）2+k的图象和性质
1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：
①y=-
（x+1）2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？
②将抛物线y=-
x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线
y=-
（x+1）2-1.
2.同学们讨论回答：
①一般地，当h＞0,k＞0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向上平移k个单位得抛物线y=a（x-h）2+k;平移的方向和距离由h,k的值来决定.
②抛物线y=a（x-h）2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？
探究2二次函数y=a（x-h）2+k的应用
【教学说明】二次函数y=a（x-h）2+k的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当a＞0时，开口向，当a＜0时，开口向.
答案：
抛物线，直线x=h,（h,k）,上，下
三、典例精析，掌握新知
例1已知抛物线y=a（x-h）2+k,将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=-3（x+1）2-4,求原抛物线的解析式.
【分析】平移过程中,前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式.
解:
抛物线y=-3（x+1）2-4的顶点坐标为（-1,-4）,它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2）.故原抛物线的解析式为y=-3（x+4）2-2.
【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：
顶点的变化.
例2如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台OA的高度为2m，火炬的高度为12m,距发射台OA的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度20m时，相应的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C？
并说明理由.
【分析】建立适当直角坐标系,构建二次函数解析式,然后分析判断.
解:
该火球能点燃目标.如图,以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则点（12，20）为抛物线顶点，设解析式为y=a（x-12）2+20,∵点（0，2）在图象上，∴144a+20=2,∴a=-
∴y=-
（x-12）2+20.当x=20时，y=-
×（20-12）2+20=12,即抛物线过点（20,12）,∴该火球能点燃目标.
【教学说明】二次函数y=a（x-h）2+k的应用关键是构造出二次函数模型.
四、运用新知，深化理解
1.若抛物线y=-7（x+4）2-1平移得到y=-7x2,则必须（）
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